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1 SOLUZIONE DELLO STRATO LIMITE SU UNA PARETE PIANA Si consideri il seguente scenario 1.Un Moto a potenziale stazionario presenta una velocità longitudinale.

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1 1 SOLUZIONE DELLO STRATO LIMITE SU UNA PARETE PIANA Si consideri il seguente scenario 1.Un Moto a potenziale stazionario presenta una velocità longitudinale costante pari a U. 2.Una lastra infinitamente sottile è posizionata allinterno di tale moto in direzione parallela alla velocità U (0 angolo di incidenza). La viscosità dovrebbe ritardare il flusso, così creando uno strato limit su entrambi i lati in maniera simmetrica. Il moto si assume laminare. La teoria dello strato limite permette di calcolare lattrito sulla piastra.

2 2 Un moto a potenziale rettilineo e stazionario presenta pressione nulla ovunque Un moto a potenziale stazionario e rettilineo è descritto dalle seguenti relazioni Secondo il terorema di Bernoulli applicato ai moti a potenziale, la pressione dinamica p pd è legata al campo di moto secondo Dalle due ultime equazioni allora si ottiene

3 3 Le equazioni approssimate dello strato limite allora diventano: Condizioni al contorno

4 4 Spessore nominale dello strato limite Nel seguito indicherà lo spessore nominale dello strato limite, che è definito come il valore di y per il quale u = 0.99 U, cioè

5 5 Variazione longitudinale dello strato limite Si consideri una piastra lunga L. Basandosi sulle precedenti stime si può scrivere oppure dove C è una costante. Secondo il medesimo ragionamento lo spessore nominale dello strato limite fino ad una distanza x L dal bordo è pari

6 6 Soluzioni autosimili Si supponga che la soluzione ha la proprietà che quando u/U è diagrammata in funzione di y/ (dove (x) è lo spessore nominale dello strato limite) allora si ottiene una funzione universale, in cui non compare nessunaltra dipendenza da x. Tale soluzione è detta soluzione autosimile. Soluzione autosimile Soluzione no autosimile

7 7 Per una soluzione autosimile del profilo di velocità si deve avere dove g 1 è una funzione universale, indipendente da x (posizione lungo la piastra). Poichè abbiamo ragione di credere dove C è una costante, è possibile riscrivere la soluzione autosimile come Si noti che è una variabile adimensionale.

8 8 Ma il nostro problema ammette soluzioni autosimili? Il problema è: Questo problema può essere ridotto usando le funzioni di corrente (u = / y, v = - / x) alla seguente equazione:

9 9 Metodo per tentativi Noi vogliamo che la funzione di corrente fornisca la velocità u = / y soddisfacente la forma autosimile Così possiamo ipotizzare che dove f è unaltra funzione autosimile. Ma questo non funziona. Infatti, usando lapice per denotare la derivazione rispetto a, se = f( ) allora Ma Così che

10 10 Cioè se assumiamo Allora otteniamo Da questo primo fallimento nella scelta è possibile capire qualè la scelta giusta non OKOK

11 11 Un altro tentativo Se assumiano Allora si ottiene quindi Così abbiamo trovato una forma di che soddisfa la condizione di autosimilitudine per la velocità! Dobbiamo ora risolvere la funzione f( ).

12 12 Riduzione da equazione alle derivate parziali a equazione alle derivate ordinarie Il nostro obiettivo è ridurre lequazione alle derivate parziali ad un equazione alle derivate ordinarie per f( ), dove Per fare ciò è necessario ricavare le seguenti relazioni

13 13 Il passo successivo è ricavare I termini dellequazione Cioè abbiamo bisogno di conoscere / y, 2 / y 2, 3 / y 3, / x and 2 / y x, dove Inoltre sappiamo già che: Così

14 14 Usando di nuovo Risolviamo le due rimanenti derivate:

15 15 Ricapitolando,

16 16 Ora, sostituendo in si ottiene che equivalente a scrivere

17 17 Dalla Slide 9, le condizioni al contorno sono Ma abbiamo già dimostrato che Inoltre poichè = 0 quando y = 0, le condizioni al contorno si riducono a Così si hanno tre condizioni al contorno per una equazione differenziale del terzo ordine Condizini al contorno

18 18 Vi sono diversi modi per risolvere tale equazione numericamente La soluzione è riportata sotto graficamente SOLUZIONE

19 19 Si ricorda che lo spessore nominale è definito in modo che u = 0.99 U quando y =. Poichè u = 0.99 U quando = 4.91 e = y[U/( x)] 1/2, segue che la relazione per lo spessore nominale dello strato limite è Oppure In questo modo è stata determinata la costante C introdotta nella Slide 5. Spessore nominale dello strato limite

20 20 Si consideri una piastra di lunghezza L e larghezza b: Lo sforzo tangenziale o (forza di trascinamento per unintà di superficie) agente su una faccia della piastra è dato Poichè il campo di moto è assunto uniforme in direzione laterale, la forza totale di trascinamento (su una sola faccia) è data a Il termine u/ y = 2 / y 2 è dato dalla Slide 17 come Calcolo della forza di trascinamento sulla piastra L b

21 21 Lo sforzo di taglio o (x) sulla piastra è allora dato Dalla soluzione di f si ottiene f(0) = 0.332, quindi Così lo sforzo alla parete varia come x -1/2. Un esempio è riportato nella slide successiva per il caso U = 10 m/s, = 1x10 -6 m 2 /s, L = 10 m e = 1000 kg/m 3 (acqua).

22 22 Si noti che o = per x = 0. U = 0.04 m/s L = 0.1 m = 1.5x10 -5 m 2 /s = 1.2 kg/m 3 (aria)

23 23 In realtà la forza di trascinamento converge ad un valore finito: Noi possiamo esprimere le medesime relazioni in forma adimensionale definendo un coefficiente adimensionale di attrito c D come Quindi segue che Per valori di U, L, E della precedente slide, e b = 0.05 m, si ottiene che Re L = 267, c D = e F D = 3.90x10 -7 Pa.

24 24 La relazione è riportata sotto.

25 25 La soluzione qui presentata è la soluzione di Blasius-Prandtl per lo strato limite su una lastra piana. Maggiori dettagli sono forniti da: Schlichting, H., 1968, Boundary Layer Theory, McGraw Hill, New York, 748 p. REFERENCE


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