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Guide donda (cont.). Nella lezione precedente n Risolta lequazione donda per Guida a Piatti piani paralleli n Introdotta la guida rettangolare.

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Presentazione sul tema: "Guide donda (cont.). Nella lezione precedente n Risolta lequazione donda per Guida a Piatti piani paralleli n Introdotta la guida rettangolare."— Transcript della presentazione:

1 Guide donda (cont.)

2 Nella lezione precedente n Risolta lequazione donda per Guida a Piatti piani paralleli n Introdotta la guida rettangolare

3 n Possiamo immaginare almeno alcune delle soluzioni con unargomentazione molto semplice; chiaramente non supporta un modo TEM (1 solo cond.) n Potremmo vedere la guida donda rettangolare come una guida a piatti piani paralleli, orientata lungo x, e chiusa su dei corto-circuiti n Chiaramente, a frequenza zero, i 2 punti A e B (posti per esempio sul piano di simmetria) sono allo stesso potenziale: uneventuale generatore connesso tra A e B risulterebbe completamente cortocircuitato n Ma la guida a piatti piani paralleli supporta un modo TEM, cioè tipo linea di trasmissione; sappiamo che con segnali tempovarianti, la linea può produrre onde stazionarie, e che un corto circuito può addirittura trasformarsi in un circuito aperto in presenza di una linea lunga un quarto donda, ovvero se a b x y z A B n A tale frequenza potremmo ben applicare un generatore tra A e B: vedremo che tale frequenza è LA FREQUENZA DI TAGLIO DEL MODO FONDAMENTALE di una guida

4 n Chiaramente una condizione simile si ripete in virtù del periodo della linea n Inoltre potremmo applicare lo stesso ragionamento in direzione y: otterremmo unaltra frequenza di taglio, maggiore della precedente se b

5 n Sostituendo nellequazione donda otteniamo n Dividendo per XY otteniamo n I due termini a sinistra sono uno solo funzione di x (e quindi costanti per variazioni in y) e laltro solo funzione di y: possiamo porli separatamente uguali ad una costante n E chiaramente deve essere

6 n Entrambe hanno soluzioni armoniche n Imponendo le condizioni al contorno si ottiene n n ed m sono numeri naturali, eccetto 0: se uno dei due indici diviene 0, Ez si annulla, ed il TM diverrebbe un TEM che sappiamo non possibile

7 n Costante di propagazione e, conseguentemente, impedenza modale sono determinate da kc n La frequenza di taglio del primo modo è quella con indici 1,1; non sappiamo ancora però se esistono frequenze di taglio più basse per i TE; il primo modo si definisce modo fondamentale

8 TE n Analogo, solo che ora risolveremo per Hz ottenendo n Le condizioni al contorno vanno imposte sulle derivate n Da cui n Con gli stessi autovalori (modi degeneri) n Solo che ora n OPPURE m possono essere z. Non contemporaneamente o avremmo Hz uniforme (non dipende da x e y)

9 n Hz uniforme non sarebbe ammissibile, visto che il campo magnetico tangenziale n Finirebbe per essere nullo, e così il campo elettrico (che è solo tangenziale), legato dallimpedenza modale al campo magnetico. Tra laltro n ed m=0 darebbero una costante di propagazione coincidente con quella del TEM, impossibile Se a > b il modo fondamentale è il TE 10. Notate che lindice 0, indica che in y non ci sono variazioni n In tal caso i campi non nulli risultano solo Ey, Hx ed Hz (provatelo), come nel caso della guida a piatti piani paralleli: del resto in una della direzioni non vi è variazione, proprio come in tale guida

10 n In tal caso i campi risultano n E la frequenza di taglio n …cioè quella ricavata in principio. Chiaramente il ragionamento iniziale ci consentiva di determinare le frequenze di taglio di modi che avevano uno degli indici 0, non quelli in cui si ha contemporaneamente una variazione in x ed una in y n Noti i campi magnetici, conosciamo le correnti indotte sulle pareti

11 Qualche interpretazione n Considerate per semplicità una guida a piatti piani paralleli: sappiamo che Consideriamo il TM: quando kx=0, =k e diviene il TEM; in pratica londa si sta propagando parallelamente ai piatti con costante di propagazione k EtEt x z HyHy k= u z In generale però k non coinciderà con, ed il vettore donda sarà inclinato EtEt x z HyHy k k z n In tal caso Et avrà una componente lungo z (ecco che il TEM diviene un TM)

12 Qualche interpretazione n Londa si propaga per rimbalzi multipli; la velocità di fase, inversamente proporzionale alla costante di propagazione lungo z, può ben essere maggiore della velocità della luce Al taglio, la componente lungo z della costante di propagazione,, è nulla, e londa rimbalza, risuonando, tra le due pareti metalliche. I rimbalzi si schiacciano poi verso lasse allaumentare della frequenza (del resto si avvicina a k) EtEt x z HyHy k=k x u x

13 n La forma di tali correnti è importante: se pratichiamo unincisione sulla guida, essa perturberà il modo più o meno in funzione delle linee di corrente n Unapplicazione JAVA scaricata dal sito ( ) ( courtesy of P. Falstad ) vi consente di familiarizzare con le forme dei campi e delle correnti dei diversi modi. Ecco i campi magnetici

14 n Correnti n Si capisce allora come la fessura centrale sul piano superiore nella linea fessurata, se sufficientemente sottile, poco perturbi il modo n Fessure invece non trascurabili e che intercettino linee di corrente irradiano: le antenne a slot

15 n Relazioni di ortogonalità n I modi allinterno di una guida rettangolare sono ortogonali, ovvero il prodotto scalare (opportunamente definito) tra componenti di campo omologhe di due diversi modi è zero Dove la indica la delta di Kronecker n In realtà, con laccortezza di modificare la definizione di prodotto scalare qualora le soluzioni non possano essere scritte in termini di modi TE o TM (ovvero modi ibridi), una relazione di ortogonalità esiste sempre nel caso di onde guidate, anche se le dimostrazioni risultano più complicate. rappresenta una delle componenti di campo (es. Ez o Hz) e la costante A è legata allampiezza dei campi; rapportando ad A i campi (normalizzazione), i modi risultano ortonormali n Incidentalmente: diremo che la struttura supporta modi ibridi qualora un singolo modo TE o TM non è in grado di soddisfare tutte le condizioni al contorno

16 n Relazioni di ortogonalità: dimostrazione n Nel caso di guide rettangolari, a piatti piani paralleli e circolari, che non hanno modi ibridi, la dimostrazione è semplice. Definiamo in particolare il prodotto scalare come n Scriviamo lequazione donda per ciascuno dei modi n Integriamo a destra e sinistra sulla sezione della guida n Ora utilizziamo una delle identità che consentono di ridurre lordine dintegrazione; usiamo la 2 a identità di Green Premoltiplichiamo la prima per j e la seconda per i e sottraiamo

17 n Essendo n la normale al contorno C, che è il bordo della sezione S. Ora su tale contorno o i campi o le loro derivate vanno a zero (parliamo di conduttori perfettamente metallici), per cui il termine a sinistra si annulla n Ecco che i due casi possibili sono: u il prodotto scalare si annulla u gli autovalori coincidono Gli autovalori possono coincidere o perché i=j, oppure perché si tratta di modi degeneri. Nel caso di modi degeneri, si può dimostrare che si possono costruire due modi, combinazione lineare i e j, tra loro ortogonali

18 n Lortogonalità dei modi implica che due modi in una guida uniforme in z non si scambino energia. Per aversi scambio di energia occorre una perturbazione lungo il percorso n Di fatto i modi costituiscono non solo un insieme di funzioni ortogonali, ma anche COMPLETO: un campo di forma arbitraria può essere ottenuto sommando un numero infinito di modi opportunamente pesati n Il campo di forma arbitraria è quello che potrebbe essere per esempio necessario per descrivere il campo del generatore, oppure un campo che soddisfi le condizioni al contorno in una sezione in cui la guida viene perturbata (per esempio inserendo una vite metallica) Se inseriamo per esempio una vite metallica in un certo punto, nessun modo singolarmente soddisfa le condizioni al contorno (annullamento campi E tangenziali sulla vite), ma una loro sovrapposizione sì: per esempio se rappresentano le componenti x dei campi elettrici dei modi, in una sezione z, poniamo z=0 sarà

19 Il calcolo dei coefficienti V n è immediato: se vogliamo per esempio conoscere V i, facciamo il prodotto scalare a destra e sinistra per i n Poiché tutti i prodotti scalari si sono annullati tranne quello per i=n (abbiamo poi considerato i modi normalizzati) n Pensiamo alla guida più semplice: i TM hanno campi (Ex,Ez, Hy) ed i TE (Ey, Hx, Hz). Se vogliamo rappresentare tutto il campo elettrico trasversale, avremo bisogno di sovrapporre sia i modi TE (che ci danno le componenti in x) che quelle TM (per avere le componenti in y). In una sezione arbitraria n In realtà, lapice + preannuncia che occorrerà considerare sia onde progressive che onde regressive.

20 n Le espressioni appena introdotte suggeriscono di trattare le guide come insiemi di linee di trasmissione, che non si vedono per via dellortogonalità dei modi n In un tratto con un solo modo, basta una linea, con laccortezza di considerare V non la tensione, ma lampiezza elettrica del modo. Ecco che, sebbene non valgano le leggi di Kirchoff, e sebbene non si sia il più delle volte in presenza di modi TEM (in cui il concetto di differenza di potenziale resta valido purché ci si limiti a sezioni trasversali), POSSIAMO RECUPERARE UNA RAPPRESENTAZIONE CIRCUITALE n Infatti per il campo magnetico n Ma sappiamo di poter usare il concetto di impedenza modale

21 n Guide circolari n La maggiore complicazione discende dalla necessità di utilizzare le coordinate cilindriche: basta verificare come si scrive il laplaciano. Per i TM n Proviamo di nuovo con la separazione di variabili n Ottenendo n E dividendo per

22 Mentre la prima è la solita, la seconda ha come soluzione funzioni di Bessel di ordine n Le J si dicono di prima specie ed hanno un comportamento simile alle funzioni armoniche: di fatto si approssimano con coseni per argomenti grandi Notiamo che, perché il comportamento angolare si ripeta dopo =2, deve essere intero (dopo tutto F descrive il campo al variare dellangolo nella sezione della guida). Inoltre =0 è accettabile, poiché individua solo soluzioni senza variazione angolare

23 n Le N (Y in figura, notazione di Mathcad) si dicono di seconda specie: sono singolari nellorigine ed approssimano dei seni per argomenti grandi n Poiché non ci aspettiamo un campo Ez infinito nel centro, scartiamo le N: B=0

24 n Notiamo che delle funzioni seno e coseno possiamo ritenerne una sola, eventualmente sfasata. Per determinare kc dobbiamo imporre lannullamento per r=a, se a è il raggio della guida: questo restituisce lequazione caratteristica (quella che che da i kc, che abbiamo detto sono gli autovalori) Ora, per ogno, avremo infiniti zeri. Per esempio per =0 avremo il primo zero a In generale se indichiamo con p n,m lm-simo zero della funzione di Bessel di ordine n, otterremo n In particolare per il primo modo n Per i TE dovremo risolvere lequazione duale: tutto segue allo stesso modo, ma ora la condizione al contorno va applicata alla derivata di Hz n E dovremo trovare max e min di J

25 n Troviamo così che il primo modo è il TE11, per il quale n E che risulta anche il modo fondamentale n Quanto detto ci consente anche di calcolare i modi superiori di un cavo coassiale, per il quale, come sappiamo, il modo fondamentale è TEM n In tal caso, però, non potremo scartare le funzioni di Bessel di seconda specie, perché andremo a costruire la soluzione solo tra r i ed r e riri rere n Dovremo imporre lannullamento di Ez su r i ed r e, essendo

26 n Imponendo le condizioni al contorno si ha n E un sistema omogeneo che ammette soluzioni solo se il determinante della matrice associate è nullo, ovvero se n Che è la nostra equazione caratteristica; si risolve numericamente. Analogamente si fa per i TE, in cui le condizioni sono applicate sulle derivate prime n Unespressione approssimata del primo TE, che risulta effettivamente il primo modo superiore, è n Che consente di calcolare la frequenza oltre il quale il coassiale smette di essere monomodale


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