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Quarta Lezione Calcolo del campo attraverso i potenziali, Generatore di Kelvin,effetto delle punte.

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Presentazione sul tema: "Quarta Lezione Calcolo del campo attraverso i potenziali, Generatore di Kelvin,effetto delle punte."— Transcript della presentazione:

1 Quarta Lezione Calcolo del campo attraverso i potenziali, Generatore di Kelvin,effetto delle punte

2 Riassunto della lezione precedente n Applicazioni del th di Gauss in forma integrale n Teorema di Gauss in forma differenziale n Teorema della divergenza n Il potenziale Scalare n Il concetto di gradiente

3 Considerazioni sul potenziale n Nella lezione precedente avevamo visto come il lavoro compiuto dal campo nello spostare una carica nel campo prodotto da unaltra carica lungo una linea qualunque, definito come dipende solo dai punti A e B e non dal percorso, per cui si poteva definire una energia potenziale elettrica U tale che n Volendo svincolarsi dal valore della carica esplorativa, avevamo definito il potenziale elettrico

4 Considerazioni sul potenziale n Il fatto che se A e B coincidono, indipendentemente dal percorso, W AB =0 indica che il CAMPO ELETTROSTATICO E CONSERVATIVO, ovvero cioè la circuitazione o circolazione del campo elettrostatico è nulla. sempre n Nel seguito useremo questa proprietà per dimostrare che in una gabbia di Faraday il campo è nullo

5 Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday n Immaginiamo di avere in conduttore cavo immerso in un campo elettrico n Applichiamo Gauss in forma integrale alla superficie S S n Siamo nel conduttore, quindi sia campo che relativo flusso sono nulli n Quindi la carica racchiusa totale è nulla, indipendentemente dal campo esterno n Ma questo non ci impedisce di ipotizzare che sulla superficie interna della cavità vi siano distribuzioni di carica esotiche, ma tali che la somma sia zero! Sarebbe compatibile con il th di Gauss!!!

6 Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday n Per escludere questa possibilità, procediamo per assurdo n Ipotizziamo che ci sia una distribuzione di carica, positiva da una parte e negativa dallaltra n In tal caso ci sarebbe anche un campo elettrico interno, ortogonale alla superficie, che va dalle cariche positive alle negative n Calcoliamo la circuitazione lungo una linea C: la linea segue una linea di campo e si chiude NEL conduttore n Ora sappiamo che la circuitazione deve essere zero. Ma il campo nel conduttore (e quindi il contributo alla circuitazione di C nel conduttore) è nullo C

7 Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday n cioè n Ma il percorso C1 è stato scelto lungo una linea di forza che congiunge cariche positive e negative: se ci sono cariche lintegrale non può essere nullo (E non può cambiare di segno lungo tale percorso) n Quindi non cè campo e non vi sono cariche indotte internamente dal campo esterno C1 C2 A B

8 Potenziale per una sfera conduttrice carica (o guscio sferico uniformemente carico Per r

9 Potenziale per una sfera conduttrice carica Per r>R Es: supponiamo R=1m, Q=1 C: Grafico

10 Considerazioni n Quanto trovato non deve sorprendere: il conduttore, in condizioni di equilibrio statico, è equipotenziale. Se cavo, valgono le considerazioni della gabbia di Faraday n del resto internamente non vi è campo n né vi possono essere differenze di potenziale in superficie, o vi sarebbe un campo in direzione non ortogonale alla superficie che farebbe scorrere correnti n ricordate: condizioni al contorno per un conduttore ideali sono: campo nullo allinterno, e campo solo ortogonale alla superficie

11 Il Generatore di Kelvin ( William Thomson, in Proceedings of the Royal Society of London, Volume 16, giugno 1867, pp 67 72) Un generatore che sfrutta solo il passaggio di alcune gocce dacqua...

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13 Il Generatore di Kelvin n Supponiamo per un qualunque motivo (casualità, raggi cosmici, modo in cui si formano le gocce…) larmatura a sinistra sia un po più positiva dellarmatura a destra n Larmatura indurrà cariche negative sulle gocce che lattraversano; tali cariche sono di fatto sottratte dal liquido nella vasca n Tale recipiente è equipotenziale (grazie ad un conduttore) con larmatura di destra che quindi è negativa e induce sul secondo flusso cariche positive, caricando il recipiente di destra n quindi larmatura di sinistra diviene sempre più positiva e quella di destra sempre più negativa n Le gocce cariche negativamente finiscono nel recipiente di sinistra (che deve essere ben isolato), che quindi aumenta la sua carica

14 Il Generatore di Kelvin n In pratica, la differenza di potenziale tra le due vasche cresce proporzionalmente al potenziale stesso (se lacqua fluisce uniformemente) n Qualunque sia stata la causa della differenza di potenziale iniziale Vo, essa cresce esponenzialmente, fino a raggiungere il limite di scarica nellaria! n Di fatto, spesso occorre aspettare un po prima che il fenomeno abbia inizio

15 Effetto parafulmine n Consideriamo per esercizio due sfere cariche con raggio R1<

16 Effetto parafulmine n E chiaro che quindi se R2>>R1, E1>>E2 n Se immaginiamo che R1 è il raggio di curvatura della punta di unasta metallica (per es 1cm) ed R2 quello della terra (6000km), il rapporto tra E1 ed E2 è ! n La punta dellasta sperimenta un campo molto intenso che tende a strappare le cariche n Il fatto che il campo elettrico tende a diventare molto grande (addirittura infinito) in prossimità di una punta di metallo può essere dimostrato matematicamente; nondimeno un semplice ragionamento fisico da conto di questo effetto, che si ritrova in ogni SPIGOLO METALLICO (singolarità di spigolo)

17 Effetto parafulmine n Considerate infatti un piano metallico carico n Le cariche, tutte dello stesso segno, tendono a respingersi, e finiscono per distribuirsi uniformemente lungo la superficie, in un equilibrio delle forze di repulsione

18 Effetto parafulmine n Immaginate ora di piegare il piano a formare uno spigolo n Lequilibrio è (momentaneamente) rotto. Le cariche in cima si ritrovano in una condizione di asimmetria, con molte cariche che spingono dal basso, ma poche (o nessuna per quella al vertice), che spinge dallalto n Le cariche debbono re-distribuirsi per tornare in equilibrio, affollandosi sulla punta

19 Effetto parafulmine n Del resto che il campo su una punta (o su uno spigolo) possa essere infinito non sorprende: pensate solo al campo su una sfera carica, e fate tendere a zero il raggio di curvatura n Fortunatamente la natura non ama gli spigoli, che sono una astrazione, ma sappiamo che il campo in prossimità degli spigoli è molto grande

20 Effetto parafulmine n Il parafulmine sfrutta leffetto delle punte n Le cariche vengono disperse dal parafulmine gradualmente, neutralizzando in modo graduale le cariche dellaria circostante

21 Effetto parafulmine n Lintensità di campo oltre la quale avviene la scarica, per ionizzazione, si chiama rigidità dielettrica n Un fulmine è costituito da ioni in movimento, ad una velocità di circa 100km al secondo

22 Calcolo del campo di un dipolo usando i potenziali n Se vogliamo il campo elettrico in coordinate sferiche (come determinato in una precedente lezione) occorre calcolare il Grad(V) in coordinate sferiche

23 Campo Elettrico del dipolo a partire dal potenziale Il gradiente in coordinate sferiche è (come da appendice Ramo-Whinnery) Poiché V non dipende da Quanto avevamo ottenuto in precedenza…... Nota: mentre il campo elettrico di una carica decresce con r come r -2, il dipolo, a causa della seconda carica ha campo che decresce come r -3

24 Potenziale di una distribuzione continua di cariche Distribuzione di cariche V P r r r-r dV

25 Esercizio Calcolare la differenza di potenziale tra due cilindri conduttori coassiali se il cilindro più interno è uniformemente carico con densità lineare di carica a b r D Avevamo calcolato il campo elettrico qualche tempo fa: riusiamo tale espressione e ricaviamo V

26 Esercizio (continuo) n Dobbiamo scegliere un riferimento per eliminare la costante C n Non conviene qui usare il potenziale allinfinito come riferimento: meglio uno degli elettrodi: otteniamo quindi

27 Potenziale di una carica lineare Una barra sottile (spessore<

28 Potenziale dovuto ad un disco carico Il disco ha densità di carica superficiale (uniforme) n Calcoliamo il potenziale in P n può essere comodo considerare prima un anello del disco, poiché tutti i punti sono a distanza r da P, per cui Ma quantità di carica dellanello è pari a per larea dellanello: n Per cui


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