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Sesta Lezione Densità di Energia, Equazioni di Poisson e Laplace.

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Presentazione sul tema: "Sesta Lezione Densità di Energia, Equazioni di Poisson e Laplace."— Transcript della presentazione:

1 Sesta Lezione Densità di Energia, Equazioni di Poisson e Laplace

2 Riassunto della lezione precedente n Approssimazione del potenziale di distribuzioni complesse di cariche in momenti polari n Metodo delle immagini n Capacità e condensatori n Legge di Kirchhoff alle maglie n Combinazioni di condensatori n Lavoro di carica di un condensatore

3 Densità di energia Ma dove viene immagazzinata tale energia? Analizziamo un caso semplice, il caso del condensatore a piatti piani

4 Densità di energia Densità di Energia In realtà questespressione per la densità di Energia è del tutto generale per un campo elettrostatico Lenergia potenziale è Lenergia nel condensatore considerato è immagazzinato tra le piastre

5 Densità di energia: conduttore sferico Calcoliamoci lintegrale del quadrato del campo elettrico: La capacità è Confrontando vediamo che Per cui lenergia immagazzinata è E ancora: Lenergia è immagazzinata in tutto lo spazio circostante

6 Densità di energia: lelettrone Prendiamo un elemento di volume sferico, spessore dr e area 4 r 2 Il campo è Per cui la densità di energia è Energia infinita?? Cè qualcosa che non va

7 Esercizio Un condensatore piano è costituito da due armature aventi area S=20cmq, distanziate tra loro d=1mm, e collegate ai poli di un generatore di fem V=500V. Una lamina di stagnola di spessore t=0.2mm viene inserita al centro tra le due armature. Calcolare C, la carica q su una delle armature e lenergia immagazzinata dal condensatore d t

8 Esercizio (continuo) Cosa accadrebbe se il generatore venisse staccato prima di inserire la stagnola? La capacità finale ovviamente resterebbe la stessa Quantità di carica ed energia andrebbero calcolate considerando la struttura priva di stagnola

9 Esercizio Due sfere concentriche R1 ed R2. La prima ha carica Q1, la seconda Q2. Determinare campo e potenziale ovunque R2 R1 Se r>R2 per il th di Gauss Se R1

10 Esercizio (Cont.) Continuità: Se r

11 Interpretazione matrice di capacità Supponiamo di avere n conduttori, e di usarne uno come riferimento V 23 Riferimento V1V1 V2V2 V3V3 V 12 C 11 C 22 C 33 C 12 C 23 C 13

12 Equazione di Poisson Se il mezzo è omogeneo (costante dielettrica indipendente dalla posizione) In assenza di cariche (eq. Di Laplace) Teorema di Gauss +Conservatività campo elettrostatico

13 Esercizio Data una carica q posta nellorigine, verificare che tutti i punti a distanza r verificano lequazione di Laplace z x y q r

14 Esercizio (Continuo)

15 Come risolvere le equazioni di Laplace e Poisson? Digressione sui numeri complessi n Una variabile complessa è definita da una coppia di variabili reali Z=x+jy essendo j=(-1) 1/2 Gerolamo Cardano [ ] n Le coppie individuano un piano complesso o piano di Gauss n In coordinate polari n Possiamo definire una funzione complessa di variabile complessa:

16 Digressione sui numeri complessi n La derivata di una tale funzione è definita dal limite del rapporto incrementale n Una funzione complessa è analitica (o regolare) se tale limite esiste ed è unico n Condizione necessaria, è che il risultato che si ha derivando lungo dx o lungo jdy sia lo stesso, ovvero n Uguagliando parte reale ed immaginaria si ha Condizioni di Cauchy-Riemann In realtà tali condizioni risultano anche sufficienti

17 Funzioni analitiche e potenziali n Derivando la prima delle condizioni di CR rispetto a x, la seconda rispetto ad y e sommando si ha n cioè lequazione di Laplace in 2 dimensioni n Analogamente, invertendo lordine della derivazione si ottiene n Quindi parte reale e parte immaginaria di una funzione analitica possono essere usate come funzioni di potenziale in problemi 2D n Non solo: se per esempio u è usato come potenziale ( e quindi u=cost individua superfici -anzi curve- equipotenziali), v=cost individua curve perpendicolari proporzionali al flusso n Quindi: fissate delle condizioni al contorno per il potenziale, se troviamo una funzione analitica la cui parte reale (o immag) le soddisfa, abbiamo il potenziale e quindi il campo dappertutto!

18 Esempio n Una funzione analitica n Se tracciamo per esempio su mathcad la parte immaginaria, al variare della costante n otteniamo n Che sono le mappe di campo in prossimità di una lamina di metallo sottile. La parte reale infatti rappresenta le superfici equipotenziali Potenziale nullo

19 Esempio n Se quindi assumiamo che la parte reale è il potenziale per la lamina, possiamo calcolare n Ex in particolare è la componente di campo ortogonale allo spigolo della lamina: sappiamo che i campi ortogonali agli spigoli tendono ad infinito n Se calcoliamo la prima derivata, vedremo che in x=0, per r 0 il campo tende ad infinito come r -1/2 n Quindi abbiamo anche uninformazione quantitativa della singolarità di campo in prossimità di uno spigolo a lama di coltello: diremo che lordine della singolarità è -1/2 In modo analogo (trovando opportune funzioni analitiche che siano in grado di soddisfare le condizioni al contorno) si possono calcolare gli andamenti di campo in prossimità di spigoli diversi. In generale si ottiene che per uno spigolo metallico con angolo il campo tende ad infinito come r con = /(2 - )-1

20 I potenziali governati dalleq. Di Poisson (o da Laplace) in regioni con dati potenziali al contorno sono unici Dimostrazione per assurdo (Laplace): siano 1 e 2 soluzioni Contorno: =0 Applichiamo il th.della divergenza a Introduciamo lidentità: Unicità soluzioni Eq. Poisson

21 Primo integrale nullo per eq Laplace Ultimo integrale nullo per ipotesi =0 sul contorno reale Gradiente reale Quadrato >=0 Integrale nullo argomento nullo Condizione al contorno costante nulla

22 Sovrapposizione degli Effetti Dividere un problema in più problemi più semplici Combinare le soluzioni per ottenere la risposta:LINEARITA EQ. LAPLACE E POISSON

23 Metodi analitici per risolvere le equazioni di Laplace/Poisson: separazione delle variabili Proviamo a cercare

24 Osservazioni Nota: per kx=jky=0 la soluzione è n Quali soluzioni usare? Dipende dalle condizioni al contorno n La prima è periodica in y, la seconda in x n Contorni allinfinito: sostituire f. iperboliche con esponenziali reali n Le costanti di separazione vengono fuori dallimposizione delle condizioni al contorno n Le soluzioni dellequazione di Laplace si definiscono Armoniche n Una sola armonica può non essere sufficiente a soddisfare una o più delle condizioni al contorno: in tal caso si cerca la soluzione per serie di armoniche

25 x y a b =0 =Vo Scegliamo soluzioni sinusoidali in y, perché consentono di avere zero in y=0 ed in y=b Il potenziale per x=0 è nullo:A=0 Il potenziale per y=0 è nullo:C=0 Il potenziale per y=b è nullo: kb=n Un solo termine non può soddisfare la condizione in x=a Esempio n Un caso bidimensionale con potenziale 0 su 3 lati, e fissato su un quarto

26 Esempio (Cont.) I coefficienti si determinano imponendo la condizione al contorno restante (x=a) E unespansione in serie di Fourier

27 Esempio (Cont.)

28 Serie di Fourier: (richiamo) Funzioni periodiche di periodo T: T Il th. di Fourier asserisce che è possibile sostituire ad f una serie di seni e coseni di periodo multiplo di T Coefficienti: usiamo ortogonalità sinusoidi, ovvero Lintegrale del prodotto di due sinusoidi qualsiasi a diversa frequenza, nel quale siano commensurabili, è zero

29 Moltiplicando ciascun termine della sommatoria per cos(n t) ed integrando tra 0 e 2, tutti i termini a destra si annullano tranne a n a 0 media di f nel periodo Serie di Fourier: (richiamo) ortogonalità


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