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Potenziale Elettrico C B r A r q Superfici Equipotenziali

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Presentazione sul tema: "Potenziale Elettrico C B r A r q Superfici Equipotenziali"— Transcript della presentazione:

1 Potenziale Elettrico C B r A r q Superfici Equipotenziali
V Q Q 4pe0 r 4pe0 R R r R C R B r B A r q A Superfici Equipotenziali independenza dal cammino Fisica II – CdL Informatica

2 Forze Conservative e Conservazione Energia
l’energia totale è costante ed è la somma di energia cinetica e energia potenziale Concetto di Potenziale Elettrico È ben definito ? cioè il Potenziale Elettrico è una proprietà dello spazio e delle sorgenti (di carica) come è il Campo Elettrico ? (le differenze di potenziale sono funzione solo delle posizioni) Fisica II – CdL Informatica

3 Conservazione energia meccanica di una particella
Energia Cinetica non-relativistica Energia Potenziale determinata dalla legge di forza per Forze Conservative l’energia totale è costante: energia totale = K+U è costante esempi di forze conservative gravità; energia potenziale gravitazionale elastica; molla (legge di Hooke): U(x)=kx2 elettrica; energia potenziale elettrica esempi di forze non-conservative (dissipative) attrito moto viscoso (velocità limite) Fisica II – CdL Informatica

4 Le forze elettriche sono conservative
Consideriamo una particella carica che si sposta attraverso una regione in presenza di un campo elettrico statico: una carica negativa è attratta verso la carica positiva fissa la carica negativa possiede più energia potenziale e meno energia cinetica lontano dalla carica fissa positiva, e … più energia cinetica e meno energia potenziale vicino la carica positiva fissa. Tuttavia, l’energia totale si conserva + - Introduciamo ora l’energia potenziale elettrica ed il potenziale elettrostatico …. Fisica II – CdL Informatica

5 Potenziale Elettrico e Energia Potenziale
Immaginiamo una carica di prova, Qo, in un campo elettrico esterno, E(x,y,z) (Ciascuna componente Ex Ey Ez è una funzione di x,y,z) Qual’è l’energia potenziale, U(x,y,z) della carica in questo campo? Definiamo arbitrariamente dove U(x,y,z) è nulla: a distanza infinita (per distribuzioni di carica che sono finite) U(x,y,z) è eguale al lavoro necessario per portare Qo dal punto dove U è nulla al punto (x,y,z) Definiamo V(x,y,z) mediante U(x,y,z) = QoV(x,y,z) U dipende da Qo , ma V è independente da Qo (che può essere + oppure -) V(x,y,z) è il potenziale elettrico associato con E(x,y,z) V(x,y,z) è un campo scalare Fisica II – CdL Informatica

6 Potenziale Elettrico ... Supponiamo che la carica q0 si muova da A a B attraverso una regione di spazio in cui è presente il campo elettrico E. A B q E Poichè sulla carica agirà una forza dovuta ad E, una certa quantità di lavoro WAB dovrà essere fatto per ottenere questo risultato. Definiamo la differenza di potenziale elettrico come: WAB è la differenza di energia potenziale per andare da A a B DV ha una intensità ed un segno: + oppure - Se - (VB più basso), il lavoro svolto dal campo è negativo, mentre è positivo quello svolto dalla forza Fe È una buona definizione ? È VB - VA independente da q0? È VB - VA independente dal cammino? Unità di misura: Volt=Joule/Coulomb Fisica II – CdL Informatica

7 Indipendente dalla carica di prova ?
Per muovere una carica in un campo E, dobbiamo applicare una forza eguale ed opposta a quella cui è soggetta la carica a causa della presenza del campo E. essendo: lavoro = forza  spostamento A B q E Felet Fapplicata = -Felet Þ Indipendente dalla carica. una carica positiva “cadrà” da un potenziale più alto ad uno più basso guadagnando Energia Cinetica, ovvero un lavoro negativo esterno viene svolto. per far andare una carica positiva di prova dal punto a potenziale più basso a quello più alto è necessario “spendere” energia – svolgere un lavoro esterno (ovvero la particella potrebbe perdere energia cinetica) Fisica II – CdL Informatica

8 Esempio 1 una carica singola ( Q = -1mC) è fissa all’origine. Definire un punto A a x=+5m e un punto B a x = +2m. Qual’è il segno della differenza di potenziale tra A e B? (VAB º VB - VA ) x -1mC A B (a) VAB < 0 (b) VAB = 0 (c) VAB > 0 La maniera più semplice per ricavare il segno della differenza di potenziale è di immaginare di porre una carica positiva nel punto A e determinare se un lavoro positivo o negativo debba essere svolto nl muovere la carica al punto B. Una carica positiva in A sarebbe attratta verso la carica da -1mC; pertanto un lavoro esterno NEGATIVO dovrebbe essere svolto per muovere la carica da A a B. (si noti, il campo E esegue un lavoro positivo su questa carica positiva) Si può anche determinare il segno direttamente dalla definizione: Poichè , VAB <0 !! Fisica II – CdL Informatica

9 Independente dal Cammino ?
B q E Felet -Felet Definizione della differenza di potenziale : DVAB=VB - VA. L’integrale è la somma delle componenti tangenziali (al cammino) del campo elettrico lungo il percorso da A a B. La questione è: Dipende questo integrale dallo specifico percorso scelto per andare da A a B ? dl Fisica II – CdL Informatica

10 Vediamo se è veramente indipendente
Consideriamo il caso di un campo costante : via diretta: A - B via più lunga: A - C – B A C B E h r q dl Notare che dl punta in verso opposto a E. dl Abbiamo almeno un esempio di un caso in cui l’integrale è lo stesso per ENTRAMBI i cammini. Fisica II – CdL Informatica

11 Lavoro e differenza (D) di Energia Potenziale
W = F d cos(q) Gravità Elettrico mattone spostato yi yf carica spostata   rf FE = kq1q2/r2 (sinistra) WE = -kq1q2/rf DUE= +kq1q2/rf FG = mg (giù) WG = -mgh DUG= +mgh yf Fg=mg Fg=mg rf Fg=mg h Fg=mg Fg=mg Fg=mg Fg=mg yi Fg=mg Fisica II – CdL Informatica

12 Esempio 1. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche (da +1, +2 e +3 μC rispettivamente) W1 = 0 W2 = k q1 q2 /r =3.6 mJ =(9109)(110-6)(210-6)/5 W3 = k q1 q3/r + k q2 q3/r (9109)(110-6)(310-6)/5 + (9109)(210-6)(310-6)/5 =16.2 mJ Wtotale = mJ WE = mJ DEen.pot.elettrica = mJ (occhio ai segni!) Do this live with balls on the table! 3 5 m 5 m 1 2 5 m Fisica II – CdL Informatica

13 2. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche negative (da -1, -2 e -3 μC rispettivamente)
Esempio Quanto lavoro ci costerà avvicinare 3 cariche negative ? cariche simili si respingono, quindi dovremo ancora eseguire un lavoro positivo ! 3 W = mJ W = 0 mJ W = mJ 5 m 5 m 1 2 5 m Fisica II – CdL Informatica

14 Esempio 1 + 3. Lavoro necessario per avvicinare 3 cariche (uguali in valore assoluto) 5 m 5 m + - 2 5 m 3 Il lavoro totale da eseguire (da parte vostra, cioè dello sperimentatore) per mettere insieme queste cariche è: a) positivo b) nullo c) negativo portare (1): lavoro nullo portare (2): lavoro positivo portare (3): lavoro negativo x 2 Fisica II – CdL Informatica

15 Potenziale Elettrico Unità Joules/Coulomb Volts Batterie
Prese elettriche In realtà sono differenze di Potenziale Linee Equipotenziali (equilivello) Le linee del campo puntano verso il basso V = k q/r (a distanza r dalla carica q) in particolare V() = 0 Comment on lab w/ equipotential lines Fisica II – CdL Informatica

16 Esempio E uniforme  Dati tre punti A, B, C in un campo E uniforme C A
Come è il potenziale elettrico nel punto A rispetto al punto B ? maggiore eguale minore Il campo elettrico va da A a B Il campo è uniforme così il potenziale elettrico è eguale in tutti i punti Il potenziale elettrico in A è minore del potenziale in B perchè il punto C interferisce con il massimo del potenziale in A. Fisica II – CdL Informatica

17 Esempio Dati tre punti, A e B all’interno di un conduttore e C all’esterno, immersi in un campo E uniforme E uniforme  C A B conduttore Il potenziale elettrico nel punto A è __???__ che nel punto B maggiore eguale minore “perchè il campo elettrico è nullo in ogni punto all’interno di un materiale conduttore” Fisica II – CdL Informatica

18 Riassumendo E uniforme  C A B Vfinale - Viniziale Carica Wcampo E + -
Cammino Carica Wcampo E D E.P.E. = q DV + - Negativa A  B Positivo Negativa Positiva Negativo Zero Zero A  C + - Nulla Zero Zero Positivo C  B Negativa Negativa + - Positiva Negativo Fisica II – CdL Informatica

19 Esempio: Potenziale Elettrico
+ C B A Il potenziale elettrico (generato dall’unica carica positiva) nel punto A è __???__ che nel punto B maggiore eguale minore Le linee del campo elettrico puntano “verso il basso” La linea AC è equipotenziale (perpendicolare ad E) La linea CB è “verso il basso”, così B è ad un potenziale più basso di A Fisica II – CdL Informatica

20 Potenziale Elettrico generato da un Protone
Esempio Potenziale Elettrico generato da un Protone Qual’è il potenziale elettrico ad una distanza r=0.5310-10m da un protone ? (Sia V()=0) V =U/q= k q/ r =(9109C2N-1m-2)(1.610-19C) /0.5310-10m= 27.2 volts rf = 0.510-10 m + Fisica II – CdL Informatica

21 Energia Potenziale Elettrica vs. Potenziale Elettrico
Energia Potenziale Elettrica (U) – l’energia di una carica in un punto. Potenziale Elettrico (V) - proprietà di un punto nello spazio – ci dice quale EPE avrebbe una carica se fosse posta in quel punto (generalmente ci riferiamo a differenze di potenziale tra due punti): U = Vq Ciascuna delle due quantità è funzione solo del posto (scalare). Il segno è importante ! Fisica II – CdL Informatica

22 Due Cariche Esempio W=DU=DVq =(+6.3103V)(2mC) =+12.6 mJ
Calcolare il potenziale elettrico nel punto A dovuto alle cariche presenti Calcolare V dalla carica +7mC Calcolare V dalla carica –3.5mC Sommarli V = kq/r V7=(9109C2N-1m-2)(710-6C)/5m = 12.6103V V3=(9109C2N-1m-2)(-3.510-6C)/5m = -6.3103V Vtot = V7+V3 = +6.3103V A 4 m 6 m Q=+7.0mC Q=-3.5 mC W=DU=DVq =(+6.3103V)(2mC) =+12.6 mJ Quanto lavoro bisogna spendere per portare una carica da 2 mC dall’infinito al punto A? Fisica II – CdL Informatica

23 Due Cariche Nella regione II (tra le due cariche) il potenziale elettrico è : 1) sempre positivo 2) positivo in alcuni punti, negativo in altri. 3) sempre negativo I II III Q=+7.0mC Q=-3.5 mC Molto vicino alla carica positiva il potenziale è positivo Molto vicino alla carica negativa il potenziale è negativo Fisica II – CdL Informatica

24 Curve Equipotenziali ed Energia
Potenziale Elettrico Curve Equipotenziali ed Energia Fisica II – CdL Informatica

25 Potenziale Elettrico: dove è nullo?
Abbiamo considerato finora differenze di potenziale. Definiamo il potenziale elettrico di un punto nello spazio come la differenza di potenziale tra quel punto e un punto di riferimento. un buon punto di riferimento è l’infinito ... tipicamente si pone V=0 quindi il potenziale elettrico è definito come: per una carica puntiforme all’origine, integriamo dall’infinito lungo un certo asse, p.es. l’asse x “r” è la distanza dall’origine integrale di linea dl Fisica II – CdL Informatica

26 Potenziale dovuto ad un insieme di N cariche puntiformi
x r1 r2 r3 q1 q3 q2 Il potenziale da un insieme di N cariche è proprio la somma algebrica del potenziale dovuto a ciascuna carica separatamente. DI NUOVO IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE. Þ Fisica II – CdL Informatica

27 Esempio Quale delle seguenti distribuzioni di carica produce V(x)= 0 per tutti i punti sull’asse delle x ? (si definisca V(x) º 0 per x = ¥ ) +2mC +1mC +2mC +1mC +2mC -2mC x x x -2mC -1mC -2mC -1mC +1mC -1mC (c) (a) (b) La soluzione consiste nel rendersi conto che per calcolare il potenziale totale in un punto, dobbiamo solo eseguire una somma ALGEBRICA dei contributi individuali Pertanto, per avere V(x)=0 per tutte le x, dobbiamo avere che i contributi +Q e -Q si annullino a vicenda, il che significa che qualunque punto sull’asse x deve essere equidistante da +2mC e -2mC ed anche da +1mC e -1mC. Questa condizione è rispettata solo nel caso (a)! Fisica II – CdL Informatica

28 Superfici Equipotenziali
Definizione: Il luogo dei punti con lo stesso potenziale. Esempio: per una carica puntiforme, le superfici equipotenziali sono sfere centrate sulla carica. PROPRIETA’ GENERALE : Il campo elettrico è sempre perpendicolare ad una superficie equipotenziale. Perchè ? Sulla superficie, NON vi è variazione di V (perchè è equipotenziale!) Pertanto, Si può concludere allora, che è nullo. Se il prodotto scalare tra il campo vettoriale ed il vettore spostamento è nullo, quindi i due vettori sono perpendicolari, ovvero il campo elettrico è sempre perpendicolare alla superficie equipotenziale. Fisica II – CdL Informatica

29 Superfici Equipotenziali di una sfera carica
Il campo elettrico della sfera carica ha una simmetria sferica. Il potenziale dipende solo dalla distanza dal centro della sfera, come ci si aspetta dalla simmetria sferica. Pertanto, il potenziale è costante su una sfera concentrica alla carica puntiforme. Queste superfici sono dette “equipotenziali”. Notare che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti. Fisica II – CdL Informatica

30 Potenziale di una sfera uniformemente carica
Esercizio Una sfera isolante di raggio R ha una densità di carica positiva ed uniforme con una carica totale Q. Determinare il potenziale elettrico: (a) all’esterno e (b) all’interno della sfera. Fisica II – CdL Informatica

31 Potenziale di una sfera uniformemente carica
Per il teorema di Gauss, al di fuori di una sfera uniformemente carica diretto radialmente verso l’esterno essendo Q positiva. Per ottenere il potenziale nel punto B Per il teorema di Gauss, all’interno di una sfera uniformemente carica Fisica II – CdL Informatica

32 Potenziale di una sfera uniformemente carica
Fisica II – CdL Informatica

33 Potenziale di una sfera uniformemente carica
Fisica II – CdL Informatica

34 Potenziale di un guscio sferico conduttore carico
campo-E (Legge di Gauss) Q 4pe0 a a r V 4pe0 r r < a: Er = 0 1 Q r >a: Er = 4 pe 2 r a Potenziale r > a: r < a: E=0, quindi nessun ulteriore cambiamento in V fino a V(a) Fisica II – CdL Informatica

35 Cosa significa questo risultato ?
Grafico della componente radiale del campo elettrico di un guscio sferico carico: Er Notare che dentro il guscio, il campo elettrico è nullo. Fuori dal guscio, il campo elettrico diminuisce come 1/r2. Il potenziale per r>a è dato dall’integrale di Er. Questo integrale è semplicemente l’area sotto la curva Er . a R r Q 4pe0 a a r V 4pe0 r R a Fisica II – CdL Informatica

36 In definitiva ... Se conosciamo il campo elettrico E,
questa relazione ci permette di calcolare la funzione potenziale V ovunque (noto per definizione VA , p.es. VA = 0 ) Potenziale dovuto ad n cariche: Le superfici equipotenziali sono superfici su cui il potenziale è costante. Fisica II – CdL Informatica

37 Conduttori + Tesi La superficie di un conduttore è sempre una superficie equipotenziale (infatti, l’intero conduttore è equipotenziale) Perchè ? Se la superficie non fosse equipotenziale, ci sarebbe una componente del campo elettrico parallela alla superficie e le cariche si muoverebbero di conseguenza !! Similarmente a quanto avviene all’interno del conduttore. Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti lungo la superficie stessa, altrimenti, le cariche all’interno si muoverebbero. Pertanto, spostandoci lungo la superficie, il potenziale non cambia. Fisica II – CdL Informatica

38 Carica sui Conduttori Come è distribuita la carica sulla superficie di un conduttore ? Deve produrre E=0 dentro il conduttore e E normale alla superficie. esempio Sferico (con piccola carica fuori-centro): - + +q E=0 dentro il guscio conduttore. la densità di carica indotta sulla superficie esterna è uniforme E esterno ha una simmetria sferica rispetto al centro del guscio sferico conduttore. la densità di carica indotta sulla superficie interna è non-uniforme. Fisica II – CdL Informatica

39 Þ Carica sui Conduttori grande σ piccola σ
Come è distribuita la carica su un conduttore non-sferico ? Evidenza: la densità di carica è maggiore nelle zone con il più piccolo raggio di curvatura. grande σ piccola σ r S L 2 sfere, connesse da un filo e “distanti” Entrambe allo stesso potenziale Þ La sfera più piccola ha la densità di carica superficiale maggiore ! Ma: Fisica II – CdL Informatica

40 Superficie Equipotenziale (Esempio)
Le linee del del campo sono più “fitte” in prossimità delle zone con grande curvatura. Le linee del campo sono ^ alla superficie in prossimità della stessa (poichè la superficie è equipotenziale). Le linee equipotenziali hanno forma simile a quella della superficie (in prossimità della stessa). Le linee equipotenziali sono simili ad un cerchio (sfera in 3-D) per grandi r. piccola σ piccolo E grande σ grande E Fisica II – CdL Informatica

41 Sfera conduttrice Il massimo potenziale su un conduttore è limitato dal fatto che l’aria circostante diventa conduttrice se essendo  V=ER R=1 cm R=1m Fisica II – CdL Informatica

42 Calcolo di E da V Possiamo ottenere il campo elettrico E dal potenziale V invertendo la precedente relazione tra E e V: V V+dV Espresso come un vettore, E è il gradiente negativo di V Fisica II – CdL Informatica

43 Calcolo di E da V Che cosa significa che E è il gradiente negativo di V ? coordinate cartesiane : coordinate sferiche : a parole: la direzione della più “rapida diminuzione” di V, (massima pendenza), è la direzione del campo E in quel punto, e l’intensità (modulo) di E è esattamente la pendenza. Analogia con la gravità: Consideriamo il caso di un “paesaggio” (valli e monti)-- una palla accelera verso il basso, e la componente della forza gravitazionale che agisce sulla palla è il “gradiente” lungo il “terreno scosceso”. La palla inizia a muoversi lungo la direzione della maggiore pendenza. Lasciando la palla il gradiente 3-D del potenziale gravitazionale punta verso il centro della Terra, ed è la forza dovuta alla gravità. Fisica II – CdL Informatica

44 Calcolo di E da V: Esempio
Consideriamo il seguente potenziale elettrico: Quale campo elettrico descrive ? ... esprimendolo come un vettore: si ha: Fisica II – CdL Informatica

45 Þ In definitiva ... Se conosciamo il campo E ovunque,
possiamo calcolare la funzione potenziale V ovunque (si rammenti, che spesso definiamo VA = 0 in qualche punto ()) possiamo calcolare il campo elettrico E ovunque Se conosciamo la funzione potenziale V ovunque, Unità di misura del Potenziale V = J/C Unità di misura del Campo Elettrico V/m Fisica II – CdL Informatica


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