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Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico q A C B r A B r independenza dal cammino Superfici Equipotenziali R R Rr V Q 4 r Q 4 R.

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Presentazione sul tema: "Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico q A C B r A B r independenza dal cammino Superfici Equipotenziali R R Rr V Q 4 r Q 4 R."— Transcript della presentazione:

1 Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico q A C B r A B r independenza dal cammino Superfici Equipotenziali R R Rr V Q 4 r Q 4 R

2 Fisica II – CdL Informatica Forze Conservative e Conservazione Energia –lenergia totale è costante ed è la somma di energia cinetica e energia potenziale Concetto di Potenziale Elettrico –È ben definito ? cioè il Potenziale Elettrico è una proprietà dello spazio e delle sorgenti (di carica) come è il Campo Elettrico ? (le differenze di potenziale sono funzione solo delle posizioni)

3 Fisica II – CdL Informatica Conservazione energia meccanica di una particella Energia Cinetica –non-relativistica Energia Potenziale –determinata dalla legge di forza per Forze Conservative lenergia totale è costante:energia totale = K+U è costante esempi di forze conservative –gravità; energia potenziale gravitazionale –elastica; molla (legge di Hooke): U(x)=kx 2 –elettrica; energia potenziale elettrica esempi di forze non-conservative (dissipative) –attrito –moto viscoso (velocità limite)

4 Fisica II – CdL Informatica Le forze elettriche sono conservative Consideriamo una particella carica che si sposta attraverso una regione in presenza di un campo elettrico statico: una carica negativa è attratta verso la carica positiva fissa la carica negativa possiede più energia potenziale e meno energia cinetica lontano dalla carica fissa positiva, e … più energia cinetica e meno energia potenziale vicino la carica positiva fissa. Tuttavia, lenergia totale si conserva + - Introduciamo ora lenergia potenziale elettrica ed il potenziale elettrostatico ….

5 Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico e Energia Potenziale Immaginiamo una carica di prova, Q o, in un campo elettrico esterno, E(x,y,z) (Ciascuna componente E x E y E z è una funzione di x,y,z) Qualè lenergia potenziale, U(x,y,z) della carica in questo campo? –Definiamo arbitrariamente dove U(x,y,z) è nulla: a distanza infinita (per distribuzioni di carica che sono finite) –U(x,y,z) è eguale al lavoro necessario per portare Q o dal punto dove U è nulla al punto (x,y,z) Definiamo V(x,y,z) mediante U(x,y,z) = Q o V(x,y,z) U dipende da Q o, ma V è independente da Q o (che può essere + oppure -) V(x,y,z) è il potenziale elettrico associato con E(x,y,z) –V(x,y,z) è un campo scalare

6 Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico... Supponiamo che la carica q 0 si muova da A a B attraverso una regione di spazio in cui è presente il campo elettrico E. A B q 0 E Poichè sulla carica agirà una forza dovuta ad E, una certa quantità di lavoro W AB dovrà essere fatto per ottenere questo risultato. Definiamo la differenza di potenziale elettrico come: È una buona definizione ? È V B - V A independente da q 0 ? È V B - V A independente dal cammino? V ha una intensità ed un segno: + oppure - Se - (V B più basso), il lavoro svolto dal campo è negativo, mentre è positivo quello svolto dalla forza F e W AB è la differenza di energia potenziale per andare da A a B Unità di misura: Volt=Joule/Coulomb

7 Fisica II – CdL Informatica Indipendente dalla carica di prova ? Per muovere una carica in un campo E, dobbiamo applicare una forza eguale ed opposta a quella cui è soggetta la carica a causa della presenza del campo E. essendo: lavoro = forza spostamento A B q 0 E F elet F applicata = - F elet Indipendente dalla carica. una carica positiva cadrà da un potenziale più alto ad uno più basso guadagnando Energia Cinetica, ovvero un lavoro negativo esterno viene svolto. per far andare una carica positiva di prova dal punto a potenziale più basso a quello più alto è necessario spendere energia – svolgere un lavoro esterno (ovvero la particella potrebbe perdere energia cinetica)

8 Fisica II – CdL Informatica Esempio 1 una carica singola ( Q = -1 C) è fissa allorigine. Definire un punto A a x=+5m e un punto B a x = +2m. –Qualè il segno della differenza di potenziale tra A e B? ( V AB V B - V A ) x -1 C A B (a) V AB < (b) V AB = (c) V AB > Poichè, V AB <0 !! La maniera più semplice per ricavare il segno della differenza di potenziale è di immaginare di porre una carica positiva nel punto A e determinare se un lavoro positivo o negativo debba essere svolto nl muovere la carica al punto B. Una carica positiva in A sarebbe attratta verso la carica da -1 C; pertanto un lavoro esterno NEGATIVO dovrebbe essere svolto per muovere la carica da A a B. (si noti, il campo E esegue un lavoro positivo su questa carica positiva) Si può anche determinare il segno direttamente dalla definizione:

9 Fisica II – CdL Informatica Independente dal Cammino ? Definizione della differenza di potenziale : V AB =V B - V A. Lintegrale è la somma delle componenti tangenziali (al cammino) del campo elettrico lungo il percorso da A a B. La questione è: Dipende questo integrale dallo specifico percorso scelto per andare da A a B ? A B q 0 E F elet - F elet dldl

10 Fisica II – CdL Informatica Vediamo se è veramente indipendente Consideriamo il caso di un campo costante : –via diretta: A - B via più lunga: A - C – B Abbiamo almeno un esempio di un caso in cui lintegrale è lo stesso per ENTRAMBI i cammini. A C B Eh r dldl Notare che dl punta in verso opposto a E. dldl

11 Fisica II – CdL Informatica Lavoro e differenza ( di Energia Potenziale mattone spostato y i y f carica spostata r f F E = kq 1 q 2 /r 2 (sinistra) W E = -kq 1 q 2 /r f U E = +kq 1 q 2 /r f W = F d cos( ) GravitàElettrico F g =mg y i y f F g =mg h F G = mg (giù) W G = -mgh U G = +mgh rfrf

12 Fisica II – CdL Informatica 1. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche (da +1, +2 e +3 μC rispettivamente) W 1 = 0 m m m W 2 = k q 1 q 2 /r =( )( )( )/5 =3.6 mJ W 3 = k q 1 q 3 /r + k q 2 q 3 /r ( )( )( )/5 + ( )( )( )/5 =16.2 mJ W totale = mJ W E = mJ E en.pot.elettrica = mJ (occhio ai segni!)

13 Fisica II – CdL Informatica 2. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche negative ( da -1, -2 e -3 μC rispettivamente) m m m a)W = mJ b)W = 0 mJ c)W = mJ Quanto lavoro ci costerà avvicinare 3 cariche negative ? cariche simili si respingono, quindi dovremo ancora eseguire un lavoro positivo !

14 Fisica II – CdL Informatica 3. Lavoro necessario per avvicinare 3 cariche (uguali in valore assoluto) Il lavoro totale da eseguire (da parte vostra, cioè dello sperimentatore) per mettere insieme queste cariche è: a)positivo b)nullo c)negativo m m m portare (1): lavoro nullo portare (2): lavoro positivo portare (3): lavoro negativo x

15 Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico Unità Joules/Coulomb Volts –Batterie –Prese elettriche In realtà sono differenze di Potenziale Linee Equipotenziali (equilivello) Le linee del campo puntano verso il basso V = k q/r (a distanza r dalla carica q) in particolare V( ) = 0

16 Fisica II – CdL Informatica Esempio Come è il potenziale elettrico nel punto A rispetto al punto B ? 1)maggiore 2)eguale 3)minore Il campo elettrico va da A a B Il campo è uniforme così il potenziale elettrico è eguale in tutti i punti Il potenziale elettrico in A è minore del potenziale in B perchè il punto C interferisce con il massimo del potenziale in A. E uniforme C AB Dati tre punti A, B, C in un campo E uniforme

17 Fisica II – CdL Informatica Esempio perchè il campo elettrico è nullo in ogni punto allinterno di un materiale conduttore Il potenziale elettrico nel punto A è __???__ che nel punto B 1)maggiore 2)eguale 3)minore E uniforme C AB conduttore Dati tre punti, A e B allinterno di un conduttore e C allesterno, immersi in un campo E uniforme

18 Fisica II – CdL Informatica Riassumendo A B Negativa C B A C Nulla Cammino V finale - V iniziale E.P.E. = q V W campo E Negativa Carica Negativa Positiva Positivo Negativo E uniforme C AB Zero Negativa Zero Negativo Positivo Positiva

19 Fisica II – CdL Informatica A B + Esempio: Potenziale Elettrico C Il potenziale elettrico (generato dallunica carica positiva) nel punto A è __???__ che nel punto B 1)maggiore 2)eguale 3)minore La linea AC è equipotenziale (perpendicolare ad E) Le linee del campo elettrico puntano verso il basso La linea CB è verso il basso, così B è ad un potenziale più basso di A

20 Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico generato da un Protone Qualè il potenziale elettrico ad una distanza r= m da un protone ? (Sia V( )=0) V =U/q= k q/ r =( C 2 N -1 m -2 )( C) / m= 27.2 volts r f = m

21 Fisica II – CdL Informatica Energia Potenziale Elettrica vs. Potenziale Elettrico Energia Potenziale Elettrica (U) – lenergia di una carica in un punto. Potenziale Elettrico (V) - proprietà di un punto nello spazio – ci dice quale EPE avrebbe una carica se fosse posta in quel punto (generalmente ci riferiamo a differenze di potenziale tra due punti): U = Vq Ciascuna delle due quantità è funzione solo del posto (scalare). Il segno è importante !

22 Fisica II – CdL Informatica Due Cariche Q=-3.5 C Q=+7.0 C A 6 m 4 m Quanto lavoro bisogna spendere per portare una carica da 2 C dallinfinito al punto A? W= U= Vq =( V)(2 C) =+12.6 mJ Calcolare il potenziale elettrico nel punto A dovuto alle cariche presenti –Calcolare V dalla carica +7 C –Calcolare V dalla carica –3.5 C –Sommarli V = kq/r V 7 =( C 2 N -1 m -2 )( C)/5m = V V 3 =( C 2 N -1 m -2 )( C)/5m = V V tot = V 7 +V 3 = V

23 Fisica II – CdL Informatica Due Cariche Q=-3.5 C Q=+7.0 C Nella regione II (tra le due cariche) il potenziale elettrico è : 1) sempre positivo 2) positivo in alcuni punti, negativo in altri. 3) sempre negativo Molto vicino alla carica positiva il potenziale è positivo Molto vicino alla carica negativa il potenziale è negativo

24 Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico Curve Equipotenziali ed Energia

25 Fisica II – CdL Informatica Potenziale Elettrico: dove è nullo? Abbiamo considerato finora differenze di potenziale. Definiamo il potenziale elettrico di un punto nello spazio come la differenza di potenziale tra quel punto e un punto di riferimento. un buon punto di riferimento è linfinito... tipicamente si pone V =0 quindi il potenziale elettrico è definito come: per una carica puntiforme allorigine, integriamo dallinfinito lungo un certo asse, p.es. lasse x r è la distanza dallorigine integrale di linea dldl

26 Fisica II – CdL Informatica Potenziale dovuto ad un insieme di N cariche puntiformi Il potenziale da un insieme di N cariche è proprio la somma algebrica del potenziale dovuto a ciascuna carica separatamente. DI NUOVO IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE. x r1r1 r2r2 r3r3 q1q1 q3q3 q2q2

27 Fisica II – CdL Informatica Esempio Quale delle seguenti distribuzioni di carica produce V(x)= 0 per tutti i punti sullasse delle x ? (si definisca V(x) 0 per x = ) (a) x +2 C -2 C +1 C -1 C (b) x +2 C -1 C +1 C -2 C (c) x +2 C -1 C -2 C +1 C La soluzione consiste nel rendersi conto che per calcolare il potenziale totale in un punto, dobbiamo solo eseguire una somma ALGEBRICA dei contributi individuali Pertanto, per avere V ( x )=0 per tutte le x, dobbiamo avere che i contributi + Q e - Q si annullino a vicenda, il che significa che qualunque punto sullasse x deve essere equidistante da +2 C e -2 C ed anche da +1 C e -1 C. Questa condizione è rispettata solo nel caso (a)!

28 Fisica II – CdL Informatica Superfici Equipotenziali PROPRIETA GENERALE : –Il campo elettrico è sempre perpendicolare ad una superficie equipotenziale. Definizione: Il luogo dei punti con lo stesso potenziale. Esempio: per una carica puntiforme, le superfici equipotenziali sono sfere centrate sulla carica. Sulla superficie, NON vi è variazione di V (perchè è equipotenziale!) Pertanto, Si può concludere allora, che è nullo. Se il prodotto scalare tra il campo vettoriale ed il vettore spostamento è nullo, quindi i due vettori sono perpendicolari, ovvero il campo elettrico è sempre perpendicolare alla superficie equipotenziale. Perchè ?

29 Fisica II – CdL Informatica Superfici Equipotenziali di una sfera carica Il campo elettrico della sfera carica ha una simmetria sferica. Il potenziale dipende solo dalla distanza dal centro della sfera, come ci si aspetta dalla simmetria sferica. Pertanto, il potenziale è costante su una sfera concentrica alla carica puntiforme. Queste superfici sono dette equipotenziali. Notare che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti. ErEr Superfici Equipotenziali

30 Fisica II – CdL Informatica Potenziale di una sfera uniformemente carica Esercizio Una sfera isolante di raggio R ha una densità di carica positiva ed uniforme con una carica totale Q. Determinare il potenziale elettrico: (a) allesterno e (b) allinterno della sfera.

31 Fisica II – CdL Informatica Potenziale di una sfera uniformemente carica Per il teorema di Gauss, al di fuori di una sfera uniformemente carica diretto radialmente verso lesterno essendo Q positiva. Per ottenere il potenziale nel punto B Per il teorema di Gauss, allinterno di una sfera uniformemente carica

32 Fisica II – CdL Informatica Potenziale di una sfera uniformemente carica

33 Fisica II – CdL Informatica Potenziale di una sfera uniformemente carica

34 Fisica II – CdL Informatica Potenziale di un guscio sferico conduttore carico a a Q 4 a ar V Q 4 r Potenziale r > a : r < a : E=0, quindi nessun ulteriore cambiamento in V fino a V(a) campo- E (Legge di Gauss) E r = 0 r < a : E r = Q r 2 r > a :

35 Fisica II – CdL Informatica Cosa significa questo risultato ? Grafico della componente radiale del campo elettrico di un guscio sferico carico: Notare che dentro il guscio, il campo elettrico è nullo. Fuori dal guscio, il campo elettrico diminuisce come 1/ r 2. Il potenziale per r > a è dato dallintegrale di E r. Questo integrale è semplicemente larea sotto la curva E r. a a ar ErEr R Q 4 a ar V Q 4 r R

36 Fisica II – CdL Informatica In definitiva... Se conosciamo il campo elettrico E, questa relazione ci permette di calcolare la funzione potenziale V ovunque (noto per definizione V A, p.es. V A = 0 ) Potenziale dovuto ad n cariche: Le superfici equipotenziali sono superfici su cui il potenziale è costante.

37 Fisica II – CdL Informatica Conduttori Tesi La superficie di un conduttore è sempre una superficie equipotenziale (infatti, lintero conduttore è equipotenziale) Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti lungo la superficie stessa, altrimenti, le cariche allinterno si muoverebbero. Pertanto, spostandoci lungo la superficie, il potenziale non cambia. Perchè ? Se la superficie non fosse equipotenziale, ci sarebbe una componente del campo elettrico parallela alla superficie e le cariche si muoverebbero di conseguenza !! Similarmente a quanto avviene allinterno del conduttore.

38 Fisica II – CdL Informatica Carica sui Conduttori Come è distribuita la carica sulla superficie di un conduttore ? –Deve produrre E =0 dentro il conduttore e E normale alla superficie. esempio Sferico (con piccola carica fuori-centro): q+q E =0 dentro il guscio conduttore. la densità di carica indotta sulla superficie esterna è uniforme E esterno ha una simmetria sferica rispetto al centro del guscio sferico conduttore. la densità di carica indotta sulla superficie interna è non-uniforme.

39 Fisica II – CdL Informatica Carica sui Conduttori grande σpiccola σ Come è distribuita la carica su un conduttore non-sferico ? Evidenza: la densità di carica è maggiore nelle zone con il più piccolo raggio di curvatura. Ma: r S r L La sfera più piccola ha la densità di carica superficiale maggiore ! 2 sfere, connesse da un filo e distanti Entrambe allo stesso potenziale

40 Fisica II – CdL Informatica Superficie Equipotenziale (Esempio) Le linee del del campo sono più fitte in prossimità delle zone con grande curvatura. Le linee del campo sono alla superficie in prossimità della stessa (poichè la superficie è equipotenziale). Le linee equipotenziali hanno forma simile a quella della superficie (in prossimità della stessa). Le linee equipotenziali sono simili ad un cerchio (sfera in 3-D) per grandi r. grande σ grande E piccola σ piccolo E

41 Fisica II – CdL Informatica Sfera conduttrice Il massimo potenziale su un conduttore è limitato dal fatto che laria circostante diventa conduttrice se essendo V=ER R=1 cm R=1m

42 Fisica II – CdL Informatica Possiamo ottenere il campo elettrico E dal potenziale V invertendo la precedente relazione tra E e V : V V +d V Espresso come un vettore, E è il gradiente negativo di V Calcolo di E da V

43 Fisica II – CdL Informatica coordinate cartesiane : coordinate sferiche : Calcolo di E da V a parole: –la direzione della più rapida diminuzione di V, (massima pendenza), è la direzione del campo E in quel punto, e lintensità (modulo) di E è esattamente la pendenza. Analogia con la gravità: –Consideriamo il caso di un paesaggio (valli e monti)-- una palla accelera verso il basso, e la componente della forza gravitazionale che agisce sulla palla è il gradiente lungo il terreno scosceso. La palla inizia a muoversi lungo la direzione della maggiore pendenza. –Lasciando la palla il gradiente 3-D del potenziale gravitazionale punta verso il centro della Terra, ed è la forza dovuta alla gravità. Che cosa significa che E è il gradiente negativo di V ?

44 Fisica II – CdL Informatica Consideriamo il seguente potenziale elettrico: Quale campo elettrico descrive ?... esprimendolo come un vettore: Calcolo di E da V : Esempio si ha:

45 Fisica II – CdL Informatica possiamo calcolare la funzione potenziale V ovunque (si rammenti, che spesso definiamo V A = 0 in qualche punto ( )) possiamo calcolare il campo elettrico E ovunque Se conosciamo la funzione potenziale V ovunque, Unità di misura del Potenziale V = J/C Unità di misura del Campo Elettrico V/m In definitiva... Se conosciamo il campo E ovunque,


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