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1 © Alberto Montresor Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 14 - Greedy Alberto Montresor Università di Trento This work is licensed under the Creative Commons.

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1 1 © Alberto Montresor Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 14 - Greedy Alberto Montresor Università di Trento This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy of this license, visit or send a letter to Creative Commons, 543 Howard Street, 5th Floor, San Francisco, California, 94105, USA.

2 2 © Alberto Montresor Introduzione Gli algoritmi per problemi di ottimizzazione Eseguono una sequenza di decisioni La programmazione dinamica In maniera bottom-up, valuta tutte le decisioni possibili Evitando però di ripetere sotto-problemi (decisioni) già percorse Un algoritmo greedy (ingordo, goloso) Seleziona una sola delle possibili decisioni quella che sembra ottima (ovvero, è localmente ottima) Sperabilmente, si ottiene così un ottimo globale

3 3 © Alberto Montresor Introduzione Quando applicare la tecnica greedy? Quando è possibile dimostrare che esiste una scelta ingorda Fra le molte scelte possibili, ne può essere facilmente individuata una che porta sicuramente alla soluzione ottima Quando il problema ha sottostruttura ottima Fatta tale scelta, resta un sottoproblema con la stessa struttura del problema principale Non tutti i problemi hanno una scelta ingorda Nota: in alcuni casi, soluzioni non ottime possono essere comunque interessanti

4 4 © Alberto Montresor Insieme indipendente di intervalli Problema: Siano dati n intervalli distinti [ a i, b i [ della retta reale trovare un insieme indipendente massimo un sottoinsieme di massima cardinalità formato da intervalli tutti disgiunti tra loro Definizioni: S ={ 1, 2,…, n } un insieme di intervalli Ad ogni intervallo i in S sono associati: a i tempo di inizio b i tempo di fine Che relazione cè con Insieme indipendente di intervalli pesati? i a i b i

5 5 © Alberto Montresor Attività Tempo

6 6 © Alberto Montresor Attività Tempo

7 7 © Alberto Montresor Come affrontare il problema Cerchiamo innanzitutto di risolverlo tramite programmazione dinamica (PD): Individuiamo una sottostruttura ottima Scriviamo una definizione ricorsiva per la dimensione della soluzione ottima Scriviamo una versione iterativa bottom-up dell'algoritmo Passiamo poi alla tecnica greedy Cerchiamo una possibile scelta ingorda Dimostriamo che la scelta ingorda porta alla soluzione ottima Scriviamo un algoritmo ricorsivo o iterativo che effettua sempre la scelta ingorda

8 8 © Alberto Montresor Sottostruttura ottima Si assuma che le attività siano ordinate per tempo di fine: b 1 b 2 … b n Sottoproblema S[i,j] S [ i, j ] = { k | b i a k < b k a j } Il sottoinsieme di attività che iniziano dopo che i ha finito finiscono prima che j abbia iniziato Aggiungiamo due attività fittizie: 0 b 0 = 0 n +1 a n +1 = + Così S[0, n+1] corrisponde al problema completo S Domanda Dimostrare che se i j, allora S [ i, j ] è vuoto bibi akak bkbk ajaj

9 9 © Alberto Montresor Sottostruttura ottima: caratterizzazione Se A[i,j] è una soluzione ottimale di S[i,j], e l'attività k è inclusa in A[i,j], allora Il problema S [ i, j ] viene suddiviso in due sottoproblemi: S [ i, k ]: le attività di S [ i, j ] che finiscono prima di k S [ k, j ]: le attività di S [ i, j ] che iniziano dopo di k A [ i, j ] contiene le soluzioni ottimali di S [ i, k ] e S [ k, j ] A [ i, j ] S [ i, k ] è la soluzione ottimale di S [ i, k ] A [ i, j ] S [ k, j ] è la soluzione ottimale di S [ k, j ] Dimostrazione: Utilizzando il metodo cut-and-paste

10 10 © Alberto Montresor Definizione ricorsiva Descrizione ricorsiva della soluzione: A [ i, j ] = A [ i, k ] { k } A [ k, j ] Come determinare k ? Analizzando tutte le possibilità... Definizione: D[i, j] La dimensione del più grande sottoinsieme A [ i, j ] S [ i, j ] di attività mutualmente compatibili Come si calcola?

11 11 © Alberto Montresor Verso una soluzione greedy La definizione precedente: Ci permette di scrivere un algoritmo basato su programmazione dinamica o su memoization Complessità: θ(n 3 ) Devo risolvere tutti i sottoproblemi con i j, nel caso peggiore tempo O ( n ) per un sottoproblema Posso fare di meglio? Avevamo visto una soluzione O ( n log n ) Richiedeva pre-elaborazione Questa soluzione è peggiore, ma... Siamo sicuri che sia necessario analizzare tutti i possibili valori per k ?

12 12 © Alberto Montresor Teorema: Greedy choice Sia S[i,j] un sottoproblema non vuoto, e m l'attività di S[i,j] con il minor tempo di fine; allora m è compresa in qualche soluzione ottima di S [ i, j ] Il sottoproblema S [ i, m ] è vuoto Dimostrazione Conseguenze: Non è più necessario analizzare tutti i possibili valori di k Faccio una scelta ingorda, ma sicura: seleziono l'attività m con il minor tempo di fine Non è più necessario analizzare due sottoproblemi: Elimino tutte le attività che non sono compatibili con la scelta ingorda Mi resta solo un sottoproblema da risolvere: S [ m, j ]

13 13 © Alberto Montresor Realizzazione iterativa Complessità Inserisce la prima attività: è sempre compatibile Se l'input è già ordinato: θ ( n ) Altrimenti, è necessario un passo di ordinamento: θ ( n log n )

14 14 © Alberto Montresor Attività Tempo i=0

15 15 © Alberto Montresor Attività Tempo i=1

16 16 © Alberto Montresor Attività Tempo i=1

17 17 © Alberto Montresor Attività Tempo i=1

18 18 © Alberto Montresor Attività Tempo i=4

19 19 © Alberto Montresor Attività Tempo i=4

20 20 © Alberto Montresor Attività Tempo i=4

21 21 © Alberto Montresor Attività Tempo i=4

22 22 © Alberto Montresor Attività Tempo i=8

23 23 © Alberto Montresor Attività Tempo i=8

24 24 © Alberto Montresor Attività Tempo i=8

25 25 © Alberto Montresor Attività Tempo i=11

26 26 © Alberto Montresor Abbiamo cercato di risolvere il problema della selezione delle attività tramite programmazione dinamica: Abbiamo individuato una sottostruttura ottima Abbiamo scritto una definizione ricorsiva per la dimensione della soluzione ottima Abbiamo dimostrato la proprietà della scelta greedy: Per ogni sottoproblema, esiste almeno una soluzione ottima che inizia con la scelta greedy Abbiamo scritto un algoritmo iterativo che effettua sempre la scelta ingorda Tecnica greedy – approccio a partire da PD

27 27 © Alberto Montresor Problema del resto Input Un numero intero positivo n Output Il più piccolo numero intero di pezzi per dare un resto di n centesimi utilizzando monete da 50c, 10c, 5c e 1c. Esempi n = 78,7 pezzi: n = 18,5 pezzi: Seguiamo la stessa procedura precedente: Programmazione dinamica approccio greedy

28 28 © Alberto Montresor Problema del resto Domanda Descrivere un alg. goloso per dare il resto con le monete specificate Sottostruttura ottima Scelta ingorda Provare che tale algoritmo fornisce sempre una soluzione ottima Domanda Supponete di avere un insieme di monete i cui valori siano potenze di c : c 0, c 1, c 2,..., c k L'algoritmo visto in precedenza funziona ancora? Domanda Trovare un insieme di pezzature per cui la scelta golosa non è applicabile

29 29 © Alberto Montresor Tecnica greedy – approccio senza passare per PD Evidenziare i passi di decisione Trasformare il problema di ottimizzazione in un problema di scelte successive Evidenziare una possibile scelta ingorda Dimostrare che tale scelta rispetto il principio della scelta ingorda Evidenziare la sottostruttura ottima Dimostrare che la soluzione ottima del problema residuo dopo la scelta ingorda può essere unito a tale scelta Scrittura codice: top-down, anche in maniera iterativa Nota: può essere necessario pre-processare l'input

30 30 © Alberto Montresor Algoritmo di scheduling Definizione: 1 processore, n job p 1, p 2,..., p n Ogni job p i ha un tempo di esecuzione t[i] Minimizzare il tempo di completamento medio Domanda: Risolvere il problema tramite la tecnica greedy ( )/4 = 34/4 ( )/4 = 27/4 Shortest job first

31 31 © Alberto Montresor Zaino Input Un intero positivo C - la capacità dello zaino n oggetti, tali che loggetto i -esimo è caratterizzato da: un profitto p i e un volume v i, entrambi interi positivi Zaino (o Zaino 0/1) trovare un sottoinsieme S di {1,..., n } di oggetti tale che il volume totale non superi la capacità massima e il profitto totale sia massimo Zaino reale (o Zaino frazionario) E' possibile prendere frazioni di oggetti

32 32 © Alberto Montresor = Scegli per primo loggetto che ha profitto più alto p[]v[] C

33 33 © Alberto Montresor = = 245 Scegli per primo loggetto che ha profitto più alto Scegli per primo loggetto che ha volume più alto p[]v[] C

34 34 © Alberto Montresor per litro 5 per litro 4 per litro / = = = 260 Scegli per primo loggetto che ha il più alto profitto specifico p[]v[] C Scegli per primo loggetto che ha profitto più alto Scegli per primo loggetto che ha volume più alto

35 35 © Alberto Montresor Problema dello zaino Domanda: Dimostrare che il problema dello Zaino Reale gode della scelta greedy Dimostrare che il problema dello Zaino 0-1 non gode di scelta greedy In altre parole: Risolvere il problema dello Zaino Reale con programmazione dinamica è inutile e costoso Risolvere il problema dello Zaino 0-1 con tecnica greedy è scorretto

36 36 © Alberto Montresor Zaino reale Complessità O ( n log n ) per lordinamento O ( n ) per la scelta dei valori

37 37 © Alberto Montresor Problema della compressione Rappresentare i dati in modo efficiente Impiegare il numero minore di bit per la rappresentazione Goal: risparmio spazio su disco e tempo di trasferimento Una possibile tecnica di compressione: codifica di caratteri Tramite funzione di codifica f : f ( c ) = x c è un possibile carattere preso da un alfabeto Σ x è una rappresentazione binaria c è rappresentato da x

38 38 © Alberto Montresor Codici di Huffman Supponiamo di avere un file di n caratteri Composto dai caratteri: abc d ef Con le seguenti frequenze:45%13%12%16%9%5% Codifica tramite ASCII (8 bit per carattere) Dimensione totale: 8 n bit Codifica basata sull'alfabeto (3 bit per carattere) Codifica: Dimensione totale: 3 n bit Possiamo fare di meglio?

39 39 © Alberto Montresor Codici di Huffman Codifica a lunghezza variabile Caratteri: abcd e f Codifica: Costo totale: ( ) n =2.24 n Codice a prefisso (meglio, senza prefissi): Nessun codice è prefisso di un altro codice Condizione necessaria per permettere la decodifica Esempio: ADDAABCA 0·111·111·0·0·101·100·0 Considerate questo codice: f ( a ) = 1, f ( b )=10, f ( c )=11

40 40 © Alberto Montresor Codici di Huffman Alcune domande E' possibile che il testo codificato sia più lungo della rappresentazione con 3 bit? Esistono testi difficili per una rappresentazione di questo tipo? Come organizzare un algoritmo per la decodifica? Come organizzare un algoritmo per la codifica è il tema dei lucidi seguenti Cenni storici David Huffman, 1952 Algoritmo ottimo per costruire codici prefissi Utilizzato in PKZIP

41 41 © Alberto Montresor Rappresentazione ad albero per la decodifica Rappresentazione come alberi binari Figlio sinistro: 0 Figlio destro: 1 Caratteri dell'alfabeto sulle foglie b a ce d 0 Algoritmo di decodifica: 1. parti dalla radice 2. leggi un bit alla volta percorrendo l'albero: 0: sinistra 1: destra 3. stampa il carattere della foglia 4. torna a 1 a: 00 b: 010 c: 011 d: 100 e: 101

42 42 © Alberto Montresor Rappresentazione ad albero per la decodifica Non c'è motivo di avere un nodo interno con un solo figlio Il figlio unico può essere sostituito al proprio genitore Sia che sia una foglia che un nodo interno Spazio sprecato a b ec d a: 00 b: 010 c: 011 d: 100 e: 101

43 43 © Alberto Montresor Rappresentazione ad albero per la decodifica Non c'è motivo di avere un nodo interno con un solo figlio Il figlio unico può essere sostituito al proprio genitore Sia che sia una foglia che un nodo interno In questo albero ogni nodo interno ha due figli a: 00 b: 010 c: 011 d: 10 e: 11 a: 00 b: 010 c: 011 d: 100 e: 101 a b e c d

44 44 © Alberto Montresor Definizione formale del problema Definizione: codice ottimo Dato un file F, un codice C è ottimo per F se non esiste un altro codice tramite il quale F possa essere compresso impiegando un numero inferiore di bit. Nota: Il codice ottimo dipende dal particolare file Possono esistere più soluzioni ottime Nota: I codici a prefisso ottimi sono rappresentati da un albero in cui tutti i nodi interni hanno due figli

45 45 © Alberto Montresor Definizione formale del problema Supponiamo di avere: un file F composto da caratteri nellalfabeto Σ un albero T che rappresenta la codifica Quanti bit sono richiesti per codificare il file? Per ogni c Σ, sia d T ( c ) la profondità della foglia che rappresenta c Il codice per c richiederà allora d T ( c ) bit Se f [c] è il numero di occorrenze di c in F, allora la dimensione della codifica è

46 46 © Alberto Montresor Algoritmo di Huffman Principio del codice di Huffman Minimizzare la lunghezza dei caratteri che compaiono più frequentemente Assegnare ai caratteri con la frequenza minore i codici corrispondenti ai percorsi più lunghi allinterno dellalbero Un codice è progettato per un file specifico Si ottiene la frequenza di tutti i caratteri Si costruisce il codice Si rappresenta il file tramite il codice Si aggiunge al file una rappresentazione del codice

47 47 © Alberto Montresor Costruzione del codice f : 5e : 9c : 12b : 13d : 16a : 45 Passo 1: Costruire una lista ordinata di nodi foglia per ogni carattere, etichettato con la propria frequenza

48 48 © Alberto Montresor Costruzione del codice c : 12b : 13d : 16a : 45 f : 5e : 9 14 Passo 2: Rimuovere i due nodi più piccoli (con frequenze minori) Passo 3: Collegarli ad un nodo padre etichettato con la frequenza combinata (sommata)

49 49 © Alberto Montresor Costruzione del codice c : 12b : 13d : 16a : 45 f : 5e : 9 14 Passo 4: Aggiungere il nodo combinato alla lista.

50 50 © Alberto Montresor Costruzione del codice Ripetere i passi 2-4 fino a quando non resta un solo nodo nella lista f : 5e : 9c : 12b : 13 d : 16a :

51 51 © Alberto Montresor Costruzione del codice Ripetere i passi 2-4 fino a quando non resta un solo nodo nella lista c : 12b : 13 d : 16 a : f : 5e : 9 14

52 52 © Alberto Montresor Costruzione del codice a : c : 12b : 13 d : f : 5e : 9 14 Ripetere i passi 2-4 fino a quando non resta un solo nodo nella lista

53 53 © Alberto Montresor Costruzione del codice Al termine, si etichettano gli archi dell'albero con bit 0-1 a cb d fe

54 54 © Alberto Montresor Algoritmo in pseudo-codice Tree: f// frequenza (key) c// carattere left// figlio sinistro right// figlio destro Complessità θ(n log n)

55 55 © Alberto Montresor Dimostrazione di correttezza Teorema: L'output dell'algoritmo Huffman per un dato file è un codice a prefisso ottimo Schema della dimostrazione: Sottostruttura ottima Dato un problema sull'alfabeto Σ, è possibile costruire un sottoproblema con un alfabeto più piccolo Proprietà della scelta greedy Scegliere i due elementi con la frequenza più bassa conduce sempre ad una soluzione ottimale

56 56 © Alberto Montresor Scelta greedy Sia Σ un alfabeto, f un array di frequenze x, y i due caratteri che hanno frequenza più bassa Allora Esiste un codice prefisso ottimo per Σ in cui x, y hanno la stessa profondità massima e i loro codici differiscono solo per l'ultimo bit Dimostrazione Al solito, basata sulla trasformazione di una soluzione ottima Supponiamo che esistano due caratteri a, b con profondità massima e questi siano diversi da x, y

57 57 © Alberto Montresor Scelta greedy Assumiamo (senza perdere in generalità): f[x] f[y]f[a] f[b] Poiché le frequenze di x e y sono minime: f[x] f[a]f[y] f[b] Scambiamo x con a: otteniamo T' Scambiamo y con b: otteniamo T" yxab T yaxb T' baxy T"...

58 58 © Alberto Montresor Scelta greedy Dimostriamo che: C ( f, T '') C ( f, T ') C ( f, T ) Ma poiché T è ottimo, sappiamo anche che: C ( f, T ) C ( f, T '') Quindi T'' è anch'esso ottimo

59 59 © Alberto Montresor Sottostruttura ottima Sia Σ un alfabeto, f un array di frequenze x, y i due caratteri che hanno frequenza più bassa Σ' = Σ - { x, y } { z } f [ z ] = f [ x ] + f [ y ] O un albero che rappresenta un codice a prefisso ottimo per Σ' Allora: L'albero T (ottenuto da O sostituendo il nodo foglia z con un nodo interno con due figli x, y ) rappresenta un codice a prefisso ottimo per Σ

60 60 © Alberto Montresor Sottostruttura ottima Esprimiamo la relazione fra il costo di T e O Per ogni c Σ - { x, y } f [ c ]· d T ( c ) = f [ c ]· d O ( c ) Quindi tutte queste componenti sono uguali d T ( x ) = d T ( y ) = d O ( z )+1 da cui concludiamo f [ x ]· d T ( x ) + f [ y ]· d T ( y ) = ( f [ x ] + f [ y ])( d O ( z )+1 ) = f [ z ]· d O ( z ) + f [ x ] + f [ y ] da cui concludiamo C ( f, T ) = C ( f, O ) + f [ x ] + f [ y ] C ( f, O ) = C ( f, T ) - f [ x ] - f [ y ]

61 61 © Alberto Montresor Sottostruttura ottima Per assurdo: supponiamo T non sia ottimo Allora esiste un albero T' tale che C(f, T') < C(f, T) Senza perdere in generalità, sappiamo che T' ha x e y come foglie sorelle Sia T'' l'albero ottenuto da T' sostituendo il padre di x, y con un nodo z tale che f[z] = f[x] + f[y] Allora C(f, T'')= C(f, T') – f[x] – f[y] < C(f, T) – f[x] – f[y] = C(f, O) Il che è assurdo, visto che O è ottimo

62 62 © Alberto Montresor Algoritmo di scheduling - Programmi in ritardo Programmi in ritardo Dati n programmi p 1,..., p n, tali che ciascun p i richiede t i unità di tempo di esecuzione e deve essere eseguito entro una certa scadenza d i, trovare un ordine S in cui eseguirli tutti in modo da minimizzare il numero di programmi per i quali la scadenza non è rispettata Algoritmo di Moore (1968) Sequenza iniziale S - programmi ordinati per scadenze crescenti Si cerca il primo programma p in ritardo Si elimina il più lungo programma p nella sottosequenza che precede p, ottenendo la sequenza S Si itera il procedimento sulla sottosequenza S, fino ad ottenere una sottosequenza S * senza programmi in ritardo Si eseguono quindi i programmi in S*, seguiti dai programmi in ritardo

63 63 © Alberto Montresor Algoritmo di scheduling - Programmi in ritardo Dimostrazione Basata sul principio di sostituzione: Trasformiamo una qualunque soluzione ottima nella sequenza generata dallalgoritmo greedy, senza inficiarne lottimalità

64 64 © Alberto Montresor Albero di copertura di peso minimo Un problema di notevole importanza: determinare come interconnettere diversi elementi fra loro minimizzando certi vincoli sulle connessioni Esempio classico: progettazione dei circuiti elettronici dove si vuole minimizzare la quantità di filo elettrico per collegare fra loro i diversi componenti Questo problema prende il nome di: albero di copertura (di peso) minimo albero di connessione (di peso) minimo minimum spanning tree

65 65 © Alberto Montresor Definizione del problema Input: G=(V,E) un grafo non orientato e connesso w: V×V R una funzione di peso (costo di connessione) se [u,v] E, allora w(u,v) è il peso dell'arco [u,v] se [u,v] E, allora w(u,v) = Poiché G non è orientato, w(u,v) = w(v,u)

66 66 © Alberto Montresor Definizione del problema Albero di copertura (spanning tree) Dato un grafo G=(V,E) non orientato e connesso, un albero di copertura di G è un sottografo T=(V, E T ) tale che T è un albero E T E T contiene tutti i vertici di G bcd a hgf ei

67 67 © Alberto Montresor Definizione del problema Output: albero di copertura minimo (minimum spanning tree) L'albero di copertura il cui peso totale sia minimo Nota: Lalbero di copertura di peso minimo non è unico bcd a hgf ei bcd a hgf ei

68 68 © Alberto Montresor Differenze con cammini minimi Calcolare un albero dei cammini minimi da singola sorgente a un albero di copertura minima coincidono? a b c d

69 69 © Alberto Montresor Algoritmo generico Vediamo Un algoritmo di tipo goloso generico Due istanze di questo algoritmo: Kruskal e Prim L'idea è di accrescere un sottoinsieme A di archi in modo tale che venga rispettata la seguente condizione: A è un sottoinsieme di qualche albero di connessione minimo Un arco [u,v] è detto sicuro per A se A {[u,v]} è ancora un sottoinsieme di qualche albero di connessione minimo.

70 70 © Alberto Montresor Algoritmo generico

71 71 © Alberto Montresor Definizioni Per caratterizzare gli archi sicuri dobbiamo introdurre alcune definizioni: Un taglio (S,V-S) di un grafo non orientato G=(V,E) è una partizione di V in due sottoinsiemi disgiunti Un arco [u,v] attraversa il taglio se u S e v V-S Un taglio rispetta un insieme di archi A se nessun arco di A attraversa il taglio Un arco che attraversa un taglio è leggero nel taglio se il suo peso è minimo fra i pesi degli archi che attraversano un taglio

72 72 © Alberto Montresor Esempio bcd a hgf ei Insieme A : archi in grigio Il taglio rispetta A Taglio Arco leggero che attraversa il taglio 10 V-S V

73 73 © Alberto Montresor Archi sicuri La regola per riconoscere gli archi sicuri è data dal seguente Teorema: Sia G=(V,E) un grafo non orientato e connesso Sia w una funzione peso a valori reali definita su E Sia A E contenuto in un qualche albero di copertura minimo per G Sia (S,V-S) un qualunque taglio che rispetta A Sia [u,v] un arco leggero che attraversa il taglio. Allora larco [u,v] è sicuro per A

74 74 © Alberto Montresor Esempio: arco non sicuro perché il taglio non rispetta A bcd a hgf ei bcd a hgf ei bcd a hgf ei Arco sicuro Arco non sicuro

75 75 © Alberto Montresor Esempio: arco non sicuro perché non leggero bcd a hgf ei bcd a hgf ei bcd a hgf ei Arco sicuro Arco non sicuro

76 76 © Alberto Montresor Archi sicuri Corollario: Sia G=(V,E) un grafo non orientato e connesso Sia w una funzione peso a valori reali definita su E Sia A E contenuto in un qualche albero di copertura minimo per G Sia C una componente connessa (un albero) nella foresta G A =(V,A) Sia [u,v] un arco leggero che connette C a qualche altra componente in G A Allora larco [u,v] è sicuro per A

77 77 © Alberto Montresor Algoritmo di Kruskal Idea Ingrandire sottoinsiemi disgiunti di un albero di copertura minimo connettendoli fra di loro fino ad avere lalbero complessivo Si individua un arco sicuro scegliendo un arco [u,v] di peso minimo tra tutti gli archi che connettono due distinti alberi (componenti connesse) della foresta Lalgoritmo è greedy perché ad ogni passo si aggiunge alla foresta un arco con il peso minore Implementazione Utilizziamo una struttura dati Merge-Find

78 78 © Alberto Montresor Algoritmo di Kruskal

79 79 © Alberto Montresor Visualizzazione bcd a hgf ei bcd a hgf ei bcd a hgf ei bcd a hgf ei

80 80 © Alberto Montresor Visualizzazione bcd a hgf ei bcd a hgf ei bcd a hgf ei bcd a hgf ei

81 81 © Alberto Montresor Visualizzazione bcd a hgf ei bcd a hgf ei bcd a hgf ei bcd a hgf ei

82 82 © Alberto Montresor Analisi Il tempo di esecuzione per lalgoritmo di Kruskal dipende dalla realizzazione della struttura dati per insiemi disgiunti Utilizziamo la versione con euristica sul rango + compressione Linizializzazione richiede O(n) L'ordinamento richiede O(m log m) = O(m log n 2 ) = O(m log n) Vengono eseguite O(m) operazioni sulla foresta di insiemi disgiunti, il che richiede un tempo O(m) Totale: O(n+m log n + m) = O(m log n)

83 83 © Alberto Montresor Algoritmo di Prim Lalgoritmo di Prim procede mantenendo in A un singolo albero Lalbero parte da un vertice arbitrario r (la radice) e cresce fino a quando non ricopre tutti i vertici Ad ogni passo viene aggiunto un arco leggero che collega un vertice in V A con un vertice in V-V A dove V A è l'insieme di nodi raggiunti da archi in A Correttezza (V A,V-V A ) è un taglio che rispetta A (per definizione) Per il corollario, gli archi leggeri che attraversano il taglio sono sicuri

84 84 © Alberto Montresor Implementazione Una struttura dati per i nodi non ancora nell'albero Durante l'esecuzione, i vertici non ancora nell'albero si trovano in una coda con priorità Q ordinata in base alla seguente definizione di priorità: La priorità del nodo v è il peso minimo di un arco che collega v ad un vertice nell'albero, o + se tale arco non esiste Come mantenere l'albero Ogni nodo v mantiene un puntatore al padre p[v] A è mantenuto implicitamente: A = { [v, v.p] | v V-Q-{r} } Terminazione: Quando la coda Q è vuota Tutti i nodi tranne la radice conoscono il proprio padre

85 85 © Alberto Montresor Algoritmo di Prim

86 86 © Alberto Montresor Algoritmo di Prim: Esempio bcd a hgf ei bcd a hgf ei bcd a hgf ei bcd a hgf ei

87 87 © Alberto Montresor Algoritmo di Prim: Esempio bcd a hgf ei bcd a hgf ei bcd a h gf ei bcd a h gf ei

88 88 © Alberto Montresor Algoritmo di Prim: Esempio bcd a h gf ei

89 89 © Alberto Montresor Algoritmo di Prim: Analisi Lefficienza dellalgoritmo di Prim dipende dalla coda Q Se Q viene realizzata tramite uno heap binario: I nizializzazione: O(n log n) Il ciclo principale viene eseguito n volte ed ogni operazione extractMin () è O(log n) Il ciclo interno viene eseguito O(m) volte L'operazione decreaseKey () sullo heap che costa O(log n) Tempo totale: O(n+n log n + m log n)=O(m log n) asintoticamente uguale a quello di Kruskal Cosa succede se la coda con priorità è implementata tramite vettore non ordinato?

90 90 © Alberto Montresor Esercizi Vero o falso Larco con peso minimo è sicuro Larco con il secondo peso minimo è sicuro Larco con il terzo peso minimo è sicuro Albero di copertura minima in un piano Dati n punti nel piano La distanza euclidea fra due punti è il peso di una connessione fra di essi Trovare un insieme di connessioni di peso minimo

91 91 © Alberto Montresor Conclusioni Prospettiva storica Primo algoritmo: Boruvka 1926 Kruskal 1956 Prim 1957 (ma anche Jarnik nel 1930) Utilizzando gli heap di Fibonacci Prim viene eseguito in tempo O(m + n log n) Sviluppi recenti Karger, Klein, Tarjan (algoritmo randomizzato): O(n+m) Fredman, Willard (algoritmo non basato su confronti): O(n+m)

92 92 © Alberto Montresor Algoritmi greedy Vantaggi Semplici da programmare Molto efficienti Quando è possibile dimostrare la proprietà di scelta ingorda, danno la soluzione ottima La soluzione sub-ottima può essere accettabile Svantaggi Non sempre applicabili se si vuole la soluzione ottima


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