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Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris.

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Presentazione sul tema: "Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris."— Transcript della presentazione:

1 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris

2 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 2 Guido Buzzi-Ferraris Introduzione (Continua)

3 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 3 Guido Buzzi-Ferraris Rappresentazione dei numeri su calcolatore Quesito Come fa il calcolatore a memorizzare un numero?

4 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 4 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Che cosa sono i bit e che cosa sono i byte?

5 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 5 Guido Buzzi-Ferraris Il bit è lelemento di base su cui il compilatore scrive 1 o 0 (vero o falso). Un byte è una sequenza di 8 bit. Con un byte si hanno a disposizione 256 = 2 8 combinazioni. Perciò con un byte si possono scrivere i primi 255 = 2 8 – 1 interi positivi (essendo una combinazione dedicata allo zero). Esempio = 0 x x x x x x x x 2 0 = 1 x x x 2 0 = 37

6 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 6 Guido Buzzi-Ferraris Se si vuole rappresentare un numero intero positivo o negativo bisogna dedicare un bit al tipo di segno. Perciò un byte può rappresentare solo la metà dei precedenti numeri quando si desidera considerare anche il segno del numero stesso. Tutti i linguaggi mettono a disposizione questa tecnica per memorizzare i numeri interi siano essi con o senza segno. A seconda del calcolatore il numero di byte messi a disposizione per rappresentare un numero intero può variare. I calcolatori attuali dedicano 4 byte (32 bit) per rappresentare un intero e perciò possono rappresentare numeri interi con segno che vanno da a e numeri interi positivi compresi fra 0 e

7 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 7 Guido Buzzi-Ferraris Ma se come normalmente avviene nei calcoli numerici si ha a che fare con numeri reali che non sono interi come fa il calcolatore a memorizzarli? Esso dedica ancora un certo numero di byte per la memorizzazione del numero, che deve essere scritto mediante la notazione scientifica. Un bit serve per il segno, alcuni bit servono per le cifre significative del numero e altri bit per lesponente. Esempio Un numero come viene memorizzato come se fosse scritto mediante la notazione scientifica ossia

8 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 8 Guido Buzzi-Ferraris A proposito di numeri Quesito Secondo voi perché nelle scienze è fondamentale rappresentare i numeri con la precedente notazione (detta anche notazione scientifica)? Ossia perché è molto meglio scrivere: invece di:

9 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 9 Guido Buzzi-Ferraris Per due motivi: 1. Perché si sa immediatamente quale è lordine di grandezza del numero. Questa informazione è fondamentale perché evita errori banali. 2. Perché vengono scritte solo le cifre significative del numero e quindi si conosce immediatamente e senza equivoci la sua precisione.

10 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 10 Guido Buzzi-Ferraris Tutti i linguaggi mettono a disposizione (almeno) due tipi di numeri memorizzabili in questo modo detto in virgola mobile (floating point): numeri in semplice e in doppia precisione. I calcolatori attuali dedicano 4 byte per rappresentare un numero in semplice precisione e 8 byte per rappresentare un numero in doppia precisione. Un numero in semplice precisione deve essere compreso fra ± e ± mentre un numero in doppia precisione deve essere compreso fra ± e ±

11 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 11 Guido Buzzi-Ferraris Che cosa succede se un numero esce da questi limiti? Se durante unoperazione il risultato è inferiore al minimo numero memorizzabile si ha un underflow mentre se il risultato è superiore al massimo numero memorizzabile si ha un overflow. In caso di underflow normalmente il numero viene posto uguale a 0. In caso di overflow i vecchi compilatori davano un messaggio di errore e i calcoli venivano interrotti. In caso di overflow con i compilatori attuali il numero viene posto uguale ad un simbolo speciale, ma i calcoli procedono e non viene dato alcun messaggio di errore. Questa mancanza di interruzione dei calcoli e di avviso di errore può essere molto pericolosa. È possibile e consigliabile non accettare questa condizione di default del compilatore in modo che venga segnalata la presenza di un overflow.

12 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 12 Guido Buzzi-Ferraris Che cosa succede se un numero non può essere rappresentato esattamente? Come detto più sopra un numero in virgola mobile ha a disposizione un certo numero finito di byte per memorizzare il suo segno, la sue cifre significative e il suo esponente. Un numero non rappresentabile esattamente viene arrotondato. Se la prima cifra non memorizzabile è maggiore di 5 lultima cifra memorizzabile viene aumentata di uno. Se la prima cifra non memorizzabile è minore di 5 lultima cifra memorizzabile viene lasciata inalterata. Se la prima cifra non memorizzabile è uguale a 5 lultima cifra memorizzabile viene aumentata di uno o lasciata inalterata con scelta casuale.

13 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 13 Guido Buzzi-Ferraris Per indicare che il numero, x, è memorizzato in virgola mobile e che quindi è stato arrotondato si scrive fl(x). fl(x) = x(1. + ) (o anche macheps) è chiamato precisione della macchina. Esempio Dato il numero e una precisione che consenta di memorizzare solo 8 cifre significative il numero viene arrotondato e memorizzato come Dato il numero e una precisione che consenta di memorizzare solo 8 cifre significative il numero viene arrotondato e memorizzato come Dato il numero e una precisione che consenta di memorizzare solo 8 cifre significative il numero viene arrotondato in modo casuale e memorizzato o come o come

14 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 14 Guido Buzzi-Ferraris macheps è il più piccolo numero positivo per cui: fl(1. + macheps) > 1. Algoritmo (1.1): Calcolo di macheps for i = 1, 2, 3,… eps = macheps + 1. if(eps = 1.) macheps = macheps / 2. macheps = 1. macheps = 2. * macheps quit

15 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 15 Guido Buzzi-Ferraris Sugli attuali processori INTEL (o analoghi) si hanno i seguenti valori di macheps: Semplice precisione: Doppia precisione:

16 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 16 Guido Buzzi-Ferraris Operazioni elementari su calcolatore Dati due numeri in virgola mobile le operazioni elementari di somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione vengono eseguite con la seguente strategia: Loperazione viene eseguita sui due numeri memorizzati usando una precisione molto superiore a quella usata nella memorizzazione dei due numeri. Il risultato viene poi arrotondato usando la stessa precisione usata nella memorizzazione dei due numeri. Indicando con uno qualsiasi dei simboli di operazione elementare (+, -,*, /) eseguita in modo esatto sui due numeri memorizzati e con * loperazione eseguita in virgola mobile si ha perciò: x * y = x y (1. + ) Ossia loperazione in virgola mobile viene prima eseguita in modo esatto: x y e poi arrotondata: x y (1. + )

17 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 17 Guido Buzzi-Ferraris Analisi dellerrore di arrotondamento Per molto tempo lerrore di arrotondamento è stato studiato cercando di rispondere alla seguente domanda: Quanto differisce la soluzione numerica dalla soluzione esatta a causa degli errori di arrotondamento? Questa tipo di analisi viene chiamata Analisi Forward (in avanti) Lanalisi di tipo Forward non porta ad alcun risultato pratico perché essendo effettuata nellipotesi che siano presenti errori di arrotondamento non è più utilizzabile lanalisi classica. In particolare non sono più valide le proprietà associativa e distributiva delle operazioni elementari.

18 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 18 Guido Buzzi-Ferraris Esempio Dati tre numeri: a = b = c = risulta con un calcolatore avente 8 cifre significative: d = a + b = d = d + c = oppure: d = a + c = d = d + b = Ossia a seconda della sequenza utilizzata cambia il risultato ottenuto!

19 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 19 Guido Buzzi-Ferraris Completamente diversa è lanalisi dellerrore di tipo Backward (allindietro) Quanto differisce il problema che abbiamo risolto numericamente da quello originario nellipotesi che la soluzione trovata sia esatta? In questo caso lerrore di arrotondamento viene studiato cercando di rispondere alla seguente domanda: È importante comprendere a fondo la differenza fra i due punti di vista Icona del sole Vedi avanti

20 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 20 Guido Buzzi-Ferraris Esempio Si prenda in esame lerrore di arrotondamento commesso in una operazione elementare: x * y = x y (1. + ) 1. Punto di vista Forward: Il risultato delloperazione differisce dal risultato esatto della quantità: x y 2. Punto di vista Backward: Secondo questo punto di vista anche se x e y sono esatti è loperazione che genera lerrore. Secondo questo punto di vista o x o y o entrambi sono errati mentre loperazione è esatta. Per esempio attribuendo lerrore a y la precedente relazione viene letta nel seguente modo: x * y = x [y (1. + )]

21 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 21 Guido Buzzi-Ferraris Esempio Si supponga di dover risolvere un sistema lineare utilizzando un particolare algoritmo: Ax = b 1. Punto di vista Forward: 2. Punto di vista Backward: Quanto differisce la soluzione ottenuta usando il particolare algoritmo dalla soluzione esatta? Quanto devo modificare i coefficienti della matrice A affinché la soluzione esatta del nuovo sistema coincida con quella trovata usando quel particolare algoritmo?

22 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 22 Guido Buzzi-Ferraris Con il ribaltamento del punto di vista ora le operazioni elementari vengono trattate come quelle dellanalisi classica. Esse godono perciò delle proprietà associativa e distributiva.

23 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 23 Guido Buzzi-Ferraris Breve parentesi sullargomento Come imparare a imparare

24 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 24 Guido Buzzi-Ferraris Una grossa difficoltà nellimparare un nuovo argomento sta nel fatto che spesso nel nuovo argomento si incontrano concetti nuovi e quindi si deve cambiare punto di vista. Poiché è anche difficile accorgersi quando è necessario cambiare punto di vista sul libro: Metodi Numerici e Software in C++ ciò viene sottolineato mediante licona di un sole che qui verrà rappresentato in forma più sportiva. È importante capire che cosa significa cambiare punto di vista e perché è difficile cambiare punto di vista. Quando appare questa icona voglio richiamare la vostra attenzione sul fatto che si è in presenza di un nuovo modo per affrontare un vecchio problema. Inversione della matrice Soluzione del sistema Analisi Forward Analisi Backward

25 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 25 Guido Buzzi-Ferraris Quando si deve spiegare un nuovo modo per risolvere un problema si incontra una difficoltà didattica troppo spesso sottovalutata. Molte delle parole e dei concetti utilizzati precedentemente cambiano di significato. Si consideri, per esempio, la seguente asserzione: È il sole che si muove, la terra sta ferma. Il significato della precedente asserzione cambia in modo sostanziale a seconda di chi la sta analizzando perché dipende dal significato attribuito al concetto di moto e di quiete. Aristotele, Galileo, Einstein o una persona dotata di buon senso, ma digiuna di fisica attribuirebbero a tale asserzione significati totalmente diversi. In queste situazioni è indispensabile, per poter comunicare in modo corretto, riuscire a comprendere a fondo il significato attribuito dallinterlocutore ai vari concetti in gioco.

26 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 26 Guido Buzzi-Ferraris Lo scopo dellicona precedente è quello di avvisare il lettore che vi è un cambiamento nel modo di affrontare un problema e che di conseguenza muta il significato di qualche concetto. Ho scelto come icona un sole stilizzato in ricordo della famosa rivoluzione copernicana di Kant nellambito della conoscenza. Qui è proprio come per la prima idea di Copernico; il quale, vedendo che non poteva spiegare i movimenti celesti ammettendo che tutto lesercito degli astri rotasse intorno allo spettatore, cercò se non potesse riuscir meglio facendo girare losservatore, e lasciando invece in riposo gli astri (Kant, Critica della ragion pura). In modo analogo per la conoscenza: Se lintuizione si deve regolare sulla natura degli oggetti, non vedo proprio come si potrebbe saperne qualcosa a priori; se loggetto invece (in quanto oggetto del senso) si regola sulla natura della nostra facoltà intuitiva, mi posso benissimo rappresentare questa possibilità… Noi delle cose non conosciamo a priori, se non quello che noi stessi vi mettiamo (Kant, Critica della ragion pura).

27 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 27 Guido Buzzi-Ferraris La lezione della teoria della conoscenza di Kant, che qui importa sottolineare, è questa: Il background di conoscenze teoriche ha un potente e indispensabile funzione normativa, che indirizza e guida le nostre osservazioni, le nostre intuizioni, il nostro linguaggio. Questa funzione normativa è, però, anche di impedimento, perché rende difficile osservare fatti noti in modo differente, condizione questa indispensabile per ogni scoperta scientifica e, nel nostro piccolo, per ogni cambiamento concettuale.

28 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 28 Guido Buzzi-Ferraris Si deve sottolineare una importante differenza con la teoria di Kant Attenzione Per Kant la funzione normativa è fonte delle nostre conoscenze a priori e perciò è uguale per tutti ed eternamente fissata. Secondo me è il background di conoscenze teoriche che genera la funzione normativa e perciò può essere modificato

29 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 29 Guido Buzzi-Ferraris Si osservi con attenzione la seguente immagine: Non è difficile riconoscervi il viso di una donna vecchia e brutta. Più difficile è, invece, riuscire a vedere in questo disegno anche il viso di una donna giovane e carina. Inoltre una volta individuato il viso di una vecchia riesce quasi impossibile vedere la donna giovane (o viceversa se si è scorto per primo il viso della donna giovane).

30 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 30 Guido Buzzi-Ferraris Solo con pazienza e con lesercizio si riesce a vedere alternativamente e senza difficoltà sia la donna giovane che quella vecchia. E solo a partire da quel momento si potrà discutere sensatamente sia con chi vede in quella figura una donna giovane e carina o una donna anziana molto brutta. Mentre è ovvio che non è possibile una discussione che non provochi situazioni paradossali fra due persone che vedano nella figura precedente due persone totalmente diverse.

31 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 31 Guido Buzzi-Ferraris Primo fatto del tutto generale: quando si osserva qualcosa, così come quando si affronta un problema, si rimane vincolati ad un preciso punto di vista, che rende molto difficile prendere in considerazione altri punti di vista. Morale Secondo fatto del tutto generale: il punto di vista che ci indirizza e guida dipende in modo essenziale dalle conoscenze e dalle esperienze passate. Terzo fatto del tutto generale: per poter intavolare un discorso sensato è indispensabile condividere o perlomeno capire il punto di vista dellinterlocutore.

32 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 32 Guido Buzzi-Ferraris Chiusa la parentesi sullargomento Come imparare a imparare Flinks: E proprio vero! Ci sono solo risposte stupide. Wooko: Non esistono domande stupide!

33 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 33 Guido Buzzi-Ferraris Errore locale Lerrore legato al fatto che nellalgoritmo sono presenti delle approssimazioni viene chiamato errore locale. Lerrore locale viene calcolato supponendo che i dati siano esatti e che i calcoli siano eseguiti senza commettere errori di arrotondamento. Propagazione dellerrore Lerrore sulla soluzione causato da una perturbazione dei dati viene chiamato propagazione dellerrore. Lerrore di propagazione viene calcolato perturbando i dati ed eseguendo i calcoli senza errori di arrotondamento.

34 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 34 Guido Buzzi-Ferraris Esempio La formula per integrare unequazione differenziale con il metodo di Eulero forward è: y n+1 = y n +hf(y n,t n ) Il valore di y n+1 nel punto t n+1 è soggetto a due cause di errore. 1. Lequazione differenziale è stata approssimata con unespressione alle differenze finite; questa è la fonte dellerrore locale che è dato dalla differenza fra il valore calcolabile analiticamente e quello ottenibile con la formula di Eulero nellipotesi di conoscere il valore esatto di y nel punto t n e di eseguire i calcoli in modo esatto. 2. Dal momento che il valore di y n non è esatto a causa dei calcoli precedenti si ha una propagazione dellerrore che dipende dalle caratteristiche dellalgoritmo e della funzione che si sta integrando.

35 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 35 Guido Buzzi-Ferraris Propagazione dellerrore Si supponga di avere una semplice funzione che lega fra loro due variabili, x e y. Se si perturba la variabile x risulta: da cui: La funzione k(x) che lega lerrore relativo di y a quello di x viene chiamata numero di condizionamento. con

36 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 36 Guido Buzzi-Ferraris Il numero di condizionamento rappresenta il fattore di amplificazione dellerrore relativo. Esempio Si considerino le quattro operazioni elementari: moltiplicazione, divisione, somma e sottrazione. Lerrore locale delle quattro operazioni è dato dalla relazione x * y = (x y) (1 + )con < macheps Dal punto di vista dellerrore locale le quattro operazioni elementari sono equivalenti e hanno tutte un errore locale dellordine di grandezza della precisione della macchina. Si ricorda che si indica con il simbolo * una delle quattro operazioni in virgola mobile e con la stessa operazione eseguita esattamente.

37 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 37 Guido Buzzi-Ferraris Dal punto di vista della propagazione dellerrore le cose stanno in modo completamente diverso. Si supponga per semplicità di eseguire unoperazione elementare fra un numero, a, non soggetto ad errore e rappresentabile esattamente sul calcolatore e un altro numero, x, che viceversa ha un errore relativo x. Moltiplicazioney = a * x Divisioney = a / x Sommay = a + x Sottrazioney = a - x La moltiplicazione è unoperazione sempre sicura perché non amplifica mai lerrore relativo La divisione è unoperazione sempre sicura perché non amplifica mai lerrore relativo La somma è unoperazione sicura solo se i due addendi hanno lo stesso segno La somma è unoperazione che amplifica in modo abnorme lerrore relativo se i due termini hanno segno diverso e sono dello stesso ordine di grandezza La sottrazione è unoperazione sicura solo se i due termini hanno segno opposto La sottrazione è unoperazione che amplifica in modo abnorme lerrore relativo se i due termini hanno lo stesso segno e sono dello stesso ordine di grandezza

38 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 38 Guido Buzzi-Ferraris Esempio Dato a = e x = y = a – x = Se lottava cifra significativa di x era sbagliata, dopo la sottrazione y avrà la seconda cifra significativa sbagliata. Il nemico numero uno del calcolo numerico è la sottrazione di due numeri quasi uguali Si osservi che ciò non è dovuto allerrore intrinseco delloperazione (ossia al suo errore locale), ma al fatto che in tale operazione viene amplificato un preesistente errore nei dati. Se i dati fossero esenti da errore (devono anche essere memorizzati senza errore di arrotondamento!) somma e sottrazione sarebbero operazioni del tutto sicure.

39 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 39 Guido Buzzi-Ferraris Quesito Quali sono le radici di unequazione di secondo grado: ax 2 + bx + c = 0 ?

40 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 40 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Alcune proprietà valide in analisi classica (senza errori di arrotondamento) non risultano più valide quando i calcoli sono eseguiti con il calcolatore

41 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 41 Guido Buzzi-Ferraris Se ci si accorge che in un algoritmo si può presentare leventualità di sottrarre due numeri quasi uguali bisogna intervenire! Si supponga di dover sottrarre una funzione g(x) ad un numero e si preveda che g(x) avrà lo stesso segno e lo stesso ordine di grandezza. Due sono gli accorgimenti spesso utili per evitare loperazione pericolosa. 1. Si sfrutta la proprietà: (a - g(x)) (a + g(x)) = a 2 –(g(x)) 2 Esempio In analisi classica le radici di unequazione di secondo grado: ax 2 + bx + c = 0 sono: Se 4ac è piccolo, ma non nullo, una delle due radici viene calcolata male.

42 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 42 Guido Buzzi-Ferraris Se viceversa b è minore di zero è la radice x 2 che può essere mal condizionata e si devono usare le seguenti formule: Se b è maggiore di zero la radice x 1 può essere mal condizionata e si devono usare le seguenti formule:

43 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 43 Guido Buzzi-Ferraris 2. Il secondo artificio talvolta utile quando si deve sottrarre una funzione g(x) ad un numero e si preveda che g(x) avrà lo stesso segno e lo stesso ordine di grandezza è quello di sfruttare uno sviluppo in serie di Taylor della funzione g(x). Esempio Si supponga di dover calcolare per x molto piccolo. Poiché per x tendente a zero il suo coseno tende a uno, si è in presenza della differenza fra due numeri quasi uguali. Per evitare problemi numerici basta ricordare che: Per cui si ottiene: Se x è molto piccolo loperazione è già accurata con il solo primo termine.

44 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 44 Guido Buzzi-Ferraris Quando le differenze fra i termini quasi uguali provengono da unespansione in serie di Taylor è spesso possibile trasformare il problema in modo da avere solo termini dello stesso segno. Esempio Si supponga di dover calcolare per x molto grande. Il calcolo risulta impreciso a causa delle differenze fra termini quasi uguali. Per evitare questo inconveniente basta calcolare la serie: e poi invertire il risultato ottenuto.

45 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 45 Guido Buzzi-Ferraris Il nemico numero due del calcolo numerico è la somma di moltissimi numeri aventi ordini di grandezza molto diversi Esempio Si deve effettuare la seguente somma: usando una precisione di 7 cifre decimali. Se si prende come primo termine della sommatoria 10 8 il risultato sarà Questo problema può essere evitato o utilizzando una precisione maggiore o ordinando in ordine crescente i coefficienti.

46 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 46 Guido Buzzi-Ferraris A proposito di numeri Quesito Ricorderete la polemica del vero inizio del terzo millennio. Secondo voi chi aveva ragione: chi sosteneva che il terzo millennio cominciava il 31 Dicembre 1999 a mezzanotte o chi sosteneva che il terzo millennio cominciava il 31 Dicembre 2000 a mezzanotte?

47 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 47 Guido Buzzi-Ferraris Prima di affrontare il problema è necessario sottolineare nuovamente il seguente punto fondamentale. Per poter intavolare un discorso sensato è indispensabile che sia chiaro il problema su cui si sta discutendo e che siano condivise le ipotesi che stanno alla base del problema stesso.

48 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 48 Guido Buzzi-Ferraris In matematica esistono due tipi di numerazione che possono essere usati per descrivere il passare del tempo. I numeri ordinali: I, II, II, IV ecc. e i numeri cardinali: 0, 1, 2, 3, 4, ecc. Mentre i numeri ordinali indicano un periodo di tempo, i numeri cardinali indicano un punto lungo lasse del tempo. 012 III IIIIVVVIVIIVIIIIXXXI

49 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 49 Guido Buzzi-Ferraris Noi indichiamo le ore sia con i numeri cardinali che con i numeri ordinali. La una (cardinale) di notte è quel valore puntuale che separa la prima (ordinale, periodo di tempo) dalla seconda ora (ordinale, periodo di tempo). I giorni sono invece indicati solo con numeri ordinali anche se in italiano parrebbe il contrario. Quando scriviamo 13 Maggio in realtà dovremmo scrivere il tredicesimo giorno (ordinale, periodo di tempo) di Maggio. Gli anglosassoni sono più precisi di noi in quanto scrivono il giorno del mese come un ordinale: the 13 th of May. Noi ci accorgiamo di dover usare gli ordinali per i giorni solo quando parliamo del primo giorno del mese: il primo di Aprile, il primo di Maggio ecc. Con gli anni ci comportiamo come con le ore: usiamo sia i numeri ordinali che i numeri cardinali.

50 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 50 Guido Buzzi-Ferraris Ritornando al problema che ci interessa e per poter intavolare un discorso sensato è indispensabile chiarire alcune possibili fonti di confusione che possono portare ad equivoci.

51 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 51 Guido Buzzi-Ferraris Una prima fonte di confusione è la possibilità che sia stato commesso un errore sulla reale data di nascita di Cristo. Una terza fonte di confusione è legata allaffermazione che chi ha fatto il calendario (Dionigi il Piccolo) non conosceva lo zero e perciò non può esistere lanno zero, così che lanno uno avanti Cristo è seguito dallanno uno dopo Cristo. Una seconda fonte di confusione deriva dal fatto che Cristo è nato il 25 Dicembre e perciò non è chiaro perché si deve partire dal primo gennaio dellanno di nascita e non da quello più vicino che è il successivo. Una quarta fonte di confusione è legata allaffermazione che chi ha fatto il calendario non solo non conosceva lo zero, ma non capiva neppure la differenza fra numeri ordinali e numeri cardinali.

52 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 52 Guido Buzzi-Ferraris Chiaramente le prime due fonti di confusione sono fuorvianti e possono essere tranquillamente trascurate. Per evitarle ed affrontare il problema da un punto di vista matematico conviene prendere in esame la nascita di un anonimo Caio

53 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 53 Guido Buzzi-Ferraris 012 III IIIIVVVIVIIVIIIIXXXI Primo anno di vita Compie 1 anno alla fine del I anno di vita Decimo anno di vita Compie 10 anni alla fine del X anno di vita Ossia allo scadere dellanno 9 o del X anno entra nella seconda decina Prima decina Alle ore 0 del I Gennaio nasce Caio Perciò allo scadere dellanno 1999 o del XX secolo entra nella terzo millennio

54 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 54 Guido Buzzi-Ferraris Da un punto di vista matematico è perciò ovvio che il terzo millennio dalla nascita di Caio comincia il 31 Dicembre 1999 a mezzanotte che è la fine del XX secolo ossia del II millennio. Se perciò come alcuni sostengono Dionigi il Piccolo conosceva sia lo zero che la differenza fra numeri ordinali e numeri cardinali la risposta corretta non può che essere questa anche riferendoci a Cristo invece che a Caio.

55 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 55 Guido Buzzi-Ferraris È possibile sostenere che il terzo millennio comincia il 31 Dicembre 2000 a mezzanotte solo se si fa confusione fra numeri ordinali e numeri cardinali indipendentemente dalla conoscenza dello zero o no. È importante capire perché una confusione fra numeri ordinali e numeri cardinali può portare a tale risultato.

56 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 56 Guido Buzzi-Ferraris abc AB d C Mentre i numeri ordinali indicano un periodo di tempo, i numeri cardinali indicano un punto lungo lasse del tempo. Prima di proseguire ricordiamo un punto fondamentale: Qualunque siano i simboli che utilizziamo per marcare gli intervalli (numero ordinale) o i punti che separano gli intervalli (numero cardinale) il numero di questi ultimi è sempre maggiore di uno rispetto ai precedenti. Per coprire tutto il precedente intervallo abbiamo bisogno di 3 simboli A, B, C ordinali, mentre servono 4 simboli a, b, c, d cardinali.

57 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 57 Guido Buzzi-Ferraris Guardiamo ora che cosa succede se utilizziamo in modo corretto i numeri ordinali e non utilizziamo lanno 0 (cardinale). Dal momento che utilizziamo numeri ordinali lanno uno avanti Cristo o uno dopo Cristo vanno letti come primo anno avanti Cristo e primo anno dopo Cristo. È perfettamente corretto dire senza bisogno dello zero che il primo anno avanti Cristo è seguito dal primo anno dopo Cristo.

58 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 58 Guido Buzzi-Ferraris Possiamo chiederci: supponiamo che un certo Dionigi il Piccolo non conosca i numeri cardinali e quindi non conosca lo zero. Come farebbe usando solo i numeri ordinali a calcolare quando un certo Titius nato il giorno I Gennaio del IV anno prima della nascita di Caius compirà 6 anni? IVaCIIIaCIIaCIaCIdCIIdCIIIdC Nascita di Caius Nascita di Titius 1 anno2 anni3 anni4 anni5 anni6 anni La risposta sarà corretta: Titius compie 6 anni alla fine del IIdC (ordinale), quando Caius compie 2 anni. Non cè il numero zeresimo ordinale! Inoltre Caius compirà 2000 anni alla fine del XX secolo (ordinale) ossia alla fine dellanno MM (ordinale).

59 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 59 Guido Buzzi-Ferraris Supponiamo ora che un migliaio di anni dopo Dionigi il Piccolo si vogliano introdurre i numeri cardinali oramai entrati in uso insieme ai vecchi ordinali. 012 IVaCIIIaC IIaCIaCIdCIIdCIIIdC Nascita di Caius Nascita di Titius 1 anno2 anni3 anni4 anni5 anni6 anni La risposta sarà ancora corretta: Titius compie 6 anni alla fine del IIdC (ordinale), quando Caius compie 2 anni alla fine dellanno 1 (cardinale). Non cè il numero zeresimo ordinale, ma cè lo 0 cardinale Inoltre Caius compirà 2000 anni alla fine del XX secolo (ordinale) ossia il 31 Dicembre 1999 (cardinale). Come dovrebbero essere introdotti i numeri cardinali in modo coerente e come dovrebbe risultare il precedente calcolo degli anni di Titius e di Caius? I numeri cardinali richiedono un simbolo in più. Per coprire tutto lintervallo della figura servono 7 simboli (IVaC, IIIaC, IIaC, IaC, IdC, IIdC, IIIdC) ordinali. Per coprire tutto lintervallo della figura serviranno quindi 8 simboli (-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3) cardinali.

60 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 60 Guido Buzzi-Ferraris Se perciò i numeri cardinali fossero stati introdotti correttamente affinché risultassero coerenti con la precedente numerazione ordinale e con luso normale di questi numeri non ci sarebbero dubbi. In questo caso il terzo millennio dalla nascita di Caius comincia il 31 Dicembre 1999 a mezzanotte che è la fine del XX secolo ossia del II millennio.

61 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 61 Guido Buzzi-Ferraris Ma… siamo sicuri che le cose siano andate così? Proviamo con unaltra ipotesi su come si sono svolte le cose.

62 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 62 Guido Buzzi-Ferraris Supponiamo ora che un migliaio di anni dopo Dionigi il Piccolo si cominci ad apprezzare la scrittura dei numeri arabi invece di quelli romani. Così invece di scrivere MCDXCII (ordinale, periodo di tempo) anno Domine (o dC) si comincia a scrivere 1492-esimo (ordinale, periodo di tempo) anno Domine (o dC). Dopo ancora un po di tempo si comincia a scrivere lanno senza la noiosa aggiunta di –esimo tanto è sottinteso che si stanno considerando numeri ordinali. Ricordo che è proprio così che si fa con i giorni del mese in italiano. Così poco per volta si è passati da una corretta numerazione ordinale che non richiede il numero zeresimo ad una scrittura ibrida che utilizza la simbologia dei numeri cardinali, ma che invece rispecchia una numerazione ordinale.

63 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 63 Guido Buzzi-Ferraris Se è questo ciò che è accaduto, quando scriviamo 1999 dovremmo leggere quel numero 1999-esimo anno Domine (o dC) o addirittura MCMXCIX anno Domine (o dC). In questo caso il terzo millennio dalla nascita di Caius comincia il 31-esimo giorno del Dicembre del 2000-esimo anno Domine a mezzanotte o nella scrittura originaria il XXXI giorno del Dicembre del MM anno Domine.

64 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 64 Guido Buzzi-Ferraris


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