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Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris.

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Presentazione sul tema: "Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris."— Transcript della presentazione:

1 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 1 Guido Buzzi-Ferraris

2 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 2 Guido Buzzi-Ferraris Introduzione (continua)

3 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 3 Guido Buzzi-Ferraris Stabilità

4 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 4 Guido Buzzi-Ferraris Attenzione!! Con il nome di stabilità vengono spesso trattati problemi completamente diversi È invece opportuno effettuare le seguenti distinzioni a seconda del livello in cui si presenta il problema. Il livello può essere quello: 1. Del fenomeno fisico che si sta analizzando 2. Della formulazione matematica del fenomeno fisico che si sta analizzando 3. Dellalgoritmo che si sta usando per risolvere numericamente il problema.

5 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 5 Guido Buzzi-Ferraris È opportuno dare un nome diverso ai diversi problemi in modo da evitare confusioni Per cominciare è chiaro che se si desidera descrivere numericamente un fenomeno fisico esso non deve essere di tipo esplosivo o caotico. Per problemi fisici di quel tipo tutto quello che si può fare numericamente è di calcolare qualche caratteristica speciale del fenomeno (per esempio le condizioni di inizio esplosione) non quello di descrivere nei dettagli levolversi del fenomeno. 1. Stabilità del fenomeno fisico che si sta analizzando Per non creare confusione con altri tipi di stabilità quando farò riferimento al problema fisico reale parlerò di problema ben posto o mal posto. Per quanto detto più sopra lanalisi numerica permette di descrivere solo problemi ben posti. 1. Problema fisico ben posto o mal posto. Perciò cambiamo nome a questo problema!

6 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 6 Guido Buzzi-Ferraris 2. Stabilità della formulazione matematica del fenomeno fisico che si sta analizzando Dato un problema fisico ben posto esistono molti modi per modellarlo. Alcune di queste formulazioni risentono poco di piccole variazioni nei dati, altre invece danno risultati completamente diversi anche se si fanno piccolissime variazioni o nei dati o nella struttura stessa del modello. Nel primo caso si parlerà di formulazione ben condizionata, mentre nel secondo caso di formulazione mal condizionata. 2. Formulazione matematica del fenomeno fisico ben condizionata o mal condizionata. È importante osservare che la formulazione di un problema è ben condizionata o mal condizionata indipendentemente dagli algoritmi numerici utilizzati. Il giudizio sul condizionamento della formulazione di un problema deve essere emesso prescindendo dagli errori di arrotondamento. Perciò cambiamo nome a questo problema!

7 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 7 Guido Buzzi-Ferraris Esempio Si consideri la seguente equazione differenziale: y = 9y –10e -x y(0) = 1 la cui soluzione generale è: y = e -x + c e 9x La condizione iniziale richiede che c sia uguale a zero. Perciò la soluzione è: y = e -x Modificando di poco la condizione iniziale y(0) = si ottiene la seguente soluzione: y = e -x e 9x Le due soluzioni per x = 2 valgono rispettivamente e Pertanto questo modello è mal condizionato. Si osservi che per giudicare il condizionamento del modello si è utilizzata lanalisi classica. Non sono stati usati algoritmi numerici!

8 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 8 Guido Buzzi-Ferraris 3. Stabilità dellalgoritmo che si sta usando per risolvere numericamente il problema. È possibile utilizzare diversi algoritmi per risolvere numericamente un problema. Se la dipendenza della soluzione ottenuta utilizzando un algoritmo da piccole variazioni nei dati è dello stesso ordine di grandezza di quella analitica lalgoritmo è stabile. Dato un problema ben condizionato si dice che un algoritmo numerico è stabile se riesce a controllare laumento dellerrore di arrotondamento. Un algoritmo che può generare un aumento incontrollato degli errori di arrotondamento anche quando è applicato per risolvere un problema ben condizionato viene detto instabile.

9 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 9 Guido Buzzi-Ferraris Per un algoritmo si useranno i termini stabile o instabile. Per la formulazione di un problema si useranno i termini ben condizionato o mal condizionato. Per il problema fisico si useranno i termini ben posto o mal posto.

10 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 10 Guido Buzzi-Ferraris Esempio Si consideri la seguente equazione differenziale: y = -1000y y(0) = 1 la cui soluzione è: y = e -1000x Questa equazione differenziale è molto ben condizionata. Se essa viene integrata con il metodo di Eulero Forward: y n+1 = y n + h(-1000 y n ) con un passo di integrazione h = 0.01 la soluzione numerica diverge dalla soluzione corretta. Il metodo di Eulero Forward è instabile con questo passo di integrazione.

11 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 11 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Che cosa è un flop?

12 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 12 Guido Buzzi-Ferraris Molto spesso, soprattutto in problemi di algebra lineare (che, ricordo, sta alla base di quasi tutti i problemi di calcolo numerici) il seguente gruppo di operazioni risulta associato: A questo complesso di operazioni si dà il nome di flop. Spesso per indicare il numero di calcoli richiesto da un algoritmo viene riportata unindicazione sullordine di grandezza del numero di flop necessari. Esempio Lalgoritmo di Gauss per risolvere un sistema di equazioni lineari con matrice densa richiede: flop.

13 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 13 Guido Buzzi-Ferraris Un problema numerico può essere risolto con più di un metodo di calcolo. Per risolvere un problema numerico si dovrà perciò scegliere: Un metodo di calcolo può essere trasformato in più di un algoritmo. Un algoritmo può essere implementato su calcolatore usando diversi linguaggi di programmazione. 1. I metodi di calcolo migliori. 2. Per ognuno di essi gli algoritmi migliori. 3. Il modo migliore di trasformare gli algoritmi in programma di calcolo Promemoria

14 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 14 Guido Buzzi-Ferraris I fattori che guidano le scelte sono: 1. La stabilità. 2. Laccuratezza. 3. La velocità di calcolo. 4. Loccupazione di memoria. In particolare il primo elemento, la stabilità dellalgoritmo usato, è di fondamentale importanza.

15 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 15 Guido Buzzi-Ferraris Promemoria Un programma di calcolo deve sempre contenere più algoritmi scelti in base soprattutto alla loro stabilità ed efficienza. Vengono utilizzati per primi i metodi più efficienti, ma si deve ricorrere a quelli più stabili quando tali metodi hanno difficoltà a convergere alla soluzione.

16 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 16 Guido Buzzi-Ferraris Breve parentesi sullargomento Come imparare a imparare

17 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 17 Guido Buzzi-Ferraris Tre amici stanno passeggiando in campagna. Ad un certo punto passano di fianco ad un enorme silos che si sta svuotando. Uno di essi esclama: guarda che bellesempio di infinitesimo. Poco dopo è il secondo che esclama: mi è entrato un bruscolino in un occhio. È così piccolo che potrebbe essere considerato un infinitesimo. A questo punto il terzo estrae un taccuino su cui scrive: ed esclama: questo sì che è un infinitesimo.

18 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 18 Guido Buzzi-Ferraris Quesito Quale dei tre amici ha detto una sciocchezza?

19 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 19 Guido Buzzi-Ferraris Tre amici stanno discutendo di differenziali. Il primo afferma: un differenziale è un infinitesimo Il secondo afferma: un differenziale è una quantità infinitamente piccola Il terzo afferma: un differenziale è una funzione e come tale può assumere un valore sia grande che piccolo.

20 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 20 Guido Buzzi-Ferraris Quesito Quale dei tre amici ha detto una sciocchezza?

21 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 21 Guido Buzzi-Ferraris Tre amici stanno discutendo di derivate. Il primo afferma: x non tende a zero. Lultimo valore di x non è zero, ma una quantità infinitamente piccola, un differenziale, che indicheremo con dx; analogamente y ha un ultimo valore infinitamente piccolo che indicheremo con dy. Il rapporto di questi due numeri infinitamente piccoli è di nuovo un numero ordinario che è il valore della derivata. Il secondo afferma: ho letto in un libro la spiegazione che dà Marx al problema della derivata che mi ha convinto. Marx afferma che la derivata si spiega con la dialettica (quella di Hegel beninteso). La tesi è che x diventa uguale a zero. Lantitesi è che y diventa uguale a zero. La sintesi è la derivata. Dice Marx La disgrazia trascendentale e simbolica (lo zero diviso zero) avviene solo a primo membro, ma ha già perduto il suo orrore, dal momento che ha già mostrato il suo effettivo contenuto al secondo membro dellequazione. Il terzo sostiene che sbagliano sia Marx che il primo amico. Non per niente, egli prosegue, la derivata viene anche chiamata rapporto differenziale.

22 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 22 Guido Buzzi-Ferraris Quesito Chi ha detto una sciocchezza?

23 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 23 Guido Buzzi-Ferraris Tre amici stanno discutendo di limiti. Il primo afferma: in un limite in cui x-> x 0 la variabile x tende fisicamente a x 0, si avvicina con continuità a x 0 Non per niente, egli prosegue, si dice che x tende a x 0. Il secondo afferma: il limite viene raggiunto quando finalmente x assume il valore di x 0. Il terzo sostiene che sbagliano entrambi.

24 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 24 Guido Buzzi-Ferraris Quesito Quale dei tre amici ha detto una sciocchezza?

25 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 25 Guido Buzzi-Ferraris Abbiamo visto che quando si deve spiegare un nuovo modo per risolvere un problema si incontra una difficoltà didattica per linsegnante e una difficoltà di apprendimento per lallievo legate al seguente fatto. Molte delle parole e dei concetti utilizzati precedentemente cambiano di significato. In questi casi è di fondamentale importanza studiare il momento storico in cui si è verificato il passaggio fra il vecchio e il nuovo atteggiamento, cercare di capire i motivi che hanno propiziato tale passaggio e analizzare le differenze e i pregi e i difetti relativi fra le due impostazioni.

26 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 26 Guido Buzzi-Ferraris Se volete capire a fondo i concetti moderni di differenziale, di derivata e di limite e far sì che tali concetti restino impressi nella vostra memoria dovete analizzare i motivi che hanno spinto Cauchy a invertire lordine con cui tali concetti venivano definiti. Per esempio i concetti di differenziale, di derivata e di limite oggi hanno un significato diverso rispetto a quello che avevano ai tempi di Newton e di Leibniz che pure ne sono stati i padri. Questi concetti nella forma introdotta da Newton e da Leibniz appaiono più simili a quello che detterebbe il senso comune e perciò sono anche quelli che sembrano più corretti e che nel tempo riaffiorano alla nostra memoria. Differenziale Derivata Limite Differenziale Derivata Limite

27 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 27 Guido Buzzi-Ferraris Per prima cosa bisogna capire il concetto di limite. Per far questo non cè modo migliore che giocare al gioco dellepsylon delta. Nel gioco dellepsylon delta ci sono due giocatori. Il primo giocatore, di nome Delta, è lamico del limite. Il secondo giocatore, di nome Epsylon, è il nemico del limite. Il gioco consiste nel definire il limite di una funzione continua f(x) Il primo giocatore fa la prima mossa che consiste nellaffermazione: Il limite della funzione f(x) per x tendente a x 0 è a. Il nemico del limite afferma di non crederci e mette sul tavolo un valore 1 molto piccolo perDetto in simboli: oppure:

28 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 28 Guido Buzzi-Ferraris Lamico del limite non batte ciglio e con aria di sufficienza cala un 1 diverso da zero e tale per cui: Piuttosto seccato il nemico del limite mette sul tavolo un valore 2 ancora più piccolo Lamico del limite con aria ancora più tranquilla cala un valore 2 anchesso diverso da zero e minore del precedente 1 tale per cui: Il gioco procede finché, esausto, il nemico del limite si dà per vinto. serisulta se

29 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 29 Guido Buzzi-Ferraris Perché Cauchy ha definito il concetto di limite in questo modo? Prima però è bene evitare un errore in cui è facile cadere in circostanze analoghe. Il nuovo concetto di limite introdotto da Cauchy non è banale anche se sembra un gioco.

30 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 30 Guido Buzzi-Ferraris Per arrivare alla sua formulazione sono occorsi più di cento anni di tentativi ed errori da parte di matematici formidabili. La difficoltà insormontabile che incontravano tali matematici era legata allassunzione apparentemente ovvia e innocua che la variabile x quando tende ad un valore assegnato x 0 muta costantemente verso x 0 e si muove verso x 0 con un fluire continuo. Il problema era quello di attribuire un significato matematicamente preciso allidea che f(x) tende o si approssima ad un valore determinato quando x tende a x 0. Ma dal tempo di Zenone e dei suoi paradossi, il concetto intuitivo di moto continuo ha eluso tutti i tentativi di una formulazione matematicamente esatta. Quando si a che fare con una variabile continua x è impossibile descrivere matematicamente come x possa approssimarsi al valore x 0 in modo da assumere consecutivamente e nel loro ordine di grandezza tutti i punti dellintervallo.

31 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 31 Guido Buzzi-Ferraris Cauchy ha avuto il grande merito di capire che per quanto riguarda la matematica ogni riferimento ad una precedente idea intuitiva di moto continuo deve essere lasciata da parte. Se analizziamo ciò che realmente si intende per approssimarsi in maniera continua ci vediamo forzati ad accettare una definizione come quella di Cauchy. Questa definizione è statica. Non presuppone lidea intuitiva di moto. Nella definizione con l e il la variabile indipendente x non si muove. Essa non tende né si muove in senso fisico a un limite x 0 Neppure la variabile dipendente f si muove. Essa non tende né si muove in senso fisico verso il limite a

32 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 32 Guido Buzzi-Ferraris La chiave di volta della definizione di Cauchy consiste nel capovolgere lordine naturale in cui si considerano le variabili. Da un punto di vista intuitivo è la x che tendendo a x 0 costringe la f(x) a tendere al suo limite. Errore. Non si riesce a concludere alcunché seguendo questa strada. Prima si fissa un margine per la variabile dipendente e poi si cerca di determinare un margine conveniente per la variabile indipendente,. per Lespressione: è soltanto un modo abbreviato (conservato per ragioni anche storiche) per dire che questa determinazione può essere ripetuta per ogni numero positivo. Si osservi che nessuna parte di questa relazione, per esempio x -> x 0, ha significato per se stessa. È necessario invertire lordine naturale delle variabili!

33 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 33 Guido Buzzi-Ferraris Unultima osservazione: sia il valore di che di sono numeri anche piccolissimi, ma sempre diversi da zero. Con questultimo tocco geniale Cauchy ha eliminato due grossissimi problemi che angustiavano i suoi predecessori. Primo: il limite per x tendente allinfinito non richiede di utilizzare un numero che per definizione non può mai essere raggiunto. Secondo: la funzione può non essere definita in corrispondenza di x 0 pur possedendo il limite per x che tende a x 0. Esempio:

34 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 34 Guido Buzzi-Ferraris Una volta definito il concetto di limite quello di derivata segue senza alcun problema di zero su zero. È sufficiente trattare il rapporto: come se fosse una funzione qualsiasi di cui si cerca il limite. Il trucco consiste appunto di trattare tale rapporto come ununica funzione non come rapporto di due quantità che tendono a zero.

35 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 35 Guido Buzzi-Ferraris Una volta definito il concetto di derivata anche il concetto di differenziale segue immediatamente. Il differenziale di x, dx, è uguale a x. Il differenziale di y = f(x) è uguale al prodotto della derivata f(x) per dx: dy = f(x)dx Anche il concetto di infinitesimo segue immediatamente da quello di limite. per Se risulta: si dice che f(x) è un infinitesimo per x tendente a x 0. Una costante anche se piccolissima non è perciò un infinitesimo. Infinitesimo è una funzione che ha per limite zero.

36 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 36 Guido Buzzi-Ferraris La regola numero tre per imparare una nuova materia è quella di studiare il momento storico in cui sono stati introdotti i concetti di base di quella materia.

37 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 37 Guido Buzzi-Ferraris Risposte ai quesiti

38 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 38 Guido Buzzi-Ferraris Tre amici stanno discutendo di limiti. Il primo afferma: in un limite in cui x-> x 0 la variabile x tende fisicamente a x 0, si avvicina con continuità a x 0 Non per niente, egli prosegue, si dice che x tende a x 0. Il secondo afferma: il limite viene raggiunto quando finalmente x assume il valore di x 0. Il terzo sostiene che sbagliano entrambi. Quesito sul limite di una funzione Ha ragione solo il terzo individuo. Infatti x non tende fisicamente a x 0 né si avvicina con continuità a x 0. Inoltre x non raggiunge mai il valore limite x 0.

39 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 39 Guido Buzzi-Ferraris Quesito sulle derivate di una funzione Ha ragione solo il terzo individuo. Infatti la derivata non è definita come rapporto fra due numeri infinitamente piccoli né tantomeno come rapporto fra due zeri. Tre amici stanno discutendo di derivate. Il primo afferma: x non tende a zero. Lultimo valore di x non è zero., ma una quantità infinitamente piccola, un differenziale, che indicheremo con dx; analogamente y ha un ultimo valore infinitamente piccolo che indicheremo con dy. Il rapporto di questi due numeri infinitamente piccoli è di nuovo un numero ordinario che è il valore della derivata. Il secondo afferma: ho letto in un libro la spiegazione che dà Marx al problema della derivata che mi ha convinto. Marx afferma che la derivata si spiega con la dialettica (quella di Hegel beninteso). La tesi è che x diventa uguale a zero. Lantitesi è che y diventa uguale a zero. La sintesi è la derivata. Il terzo sostiene che sbagliano sia Marx che il primo amico.

40 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 40 Guido Buzzi-Ferraris Quesito sui differenziali Ha ragione solo il terzo individuo. Infatti un differenziale non è né un infinitesimo né una quantità estremamente piccola. Tre amici stanno discutendo di differenziali. Il primo afferma: un differenziale è un infinitesimo Il secondo afferma: un differenziale è una quantità infinitamente piccola Il terzo afferma: un differenziale è una funzione e come tale può assumere un valore sia grande che piccolo.

41 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 41 Guido Buzzi-Ferraris Quesito sugli infinitesimi Ha ragione solo il terzo individuo. Tre amici stanno passeggiando in campagna. Ad un certo punto passano di fianco ad un enorme silos che si sta svuotando. Uno di essi esclama: guarda che bellesempio di infinitesimo. Poco dopo è il secondo che esclama: mi è entrato un bruscolino in un occhio. È così piccolo che potrebbe essere considerato un infinitesimo. A questo punto il terzo estrae un taccuino su cui scrive: ed esclama: questo sì che è un infinitesimo.

42 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 42 Guido Buzzi-Ferraris È chiaro che il secondo sbaglia. Infatti un infinitesimo non è sicuramente una quantità piccolissima. Più sottile è il motivo per cui anche il primo sbaglia. Tanto sottile che il mio professore di analisi portava proprio questo esempio del silos per farci capire che cosa era un infinitesimo. Nessun oggetto reale e quindi neppure un silos può essere un infinitesimo che è un concetto puramente matematico. Assimilare un silos che si sta svuotando ad un infinitesimo equivale a ricorrere al concetto intuitivo di limite precedente alla moderna definizione di Cauchy. Cauchy ha mostrato che per quanto riguarda la matematica ogni riferimento ad una precedente idea intuitiva di moto continuo deve essere lasciata da parte. Assimilare un silos che si sta svuotando ad un infinitesimo comporta un secondo errore: un silos alla fine diventa vuoto ossia raggiunge il valore a cui tende. Un infinitesimo NO. Nel concetto di limite bisogna abbandonare lidea che ci sia qualcosa che fluisce, scorre, si muove in modo continuo.

43 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 43 Guido Buzzi-Ferraris Primo: siate sempre critici nel considerare ciò che leggete o che vi viene insegnato. Anche le persone più esperte e preparate di voi possono sbagliare. Morale Secondo: questo è un esempio di una difficoltà che non va mai dimenticata. È molto facile che il punto di vista passato riprenda il sopravvento e inquini il nostro discorso con concetti appartenenti ad un linguaggio incompatibile con quello che si crede di usare. Lesempio del silos è però importante perché ci permette di trarre la seguente

44 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 44 Guido Buzzi-Ferraris Cercate di analizzare i concetti fondamentali della fisica Newtoniana inquadrandoli storicamente. Esercizio

45 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 45 Guido Buzzi-Ferraris Chiusa la parentesi sullargomento Come imparare a imparare

46 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 46 Guido Buzzi-Ferraris Il metodo di calcolo deve essere poi essere trasformato in algoritmo. Infine lalgoritmo deve essere implementato in un programma di calcolo.

47 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 47 Guido Buzzi-Ferraris Breve parentesi storica sullargomento Calcolatori e linguaggi di programmazione

48 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 48 Guido Buzzi-Ferraris Nel campo della programmazione stiamo assistendo ad una nuova rivoluzione. In questi casi è di fondamentale importanza studiare il momento storico in cui si è verificato il passaggio fra il vecchio e il nuovo atteggiamento, cercare di capire i motivi che hanno propiziato tale passaggio e analizzare le differenze e i pregi e i difetti relativi fra le due impostazioni. Promemoria

49 Metodi e Applicazioni numeriche nellIngegneria Chimica 49 Guido Buzzi-Ferraris


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