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Corso di Chimica Fisica II 2013 Marina Brustolon 14bis. Un po di matematica.

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Presentazione sul tema: "Corso di Chimica Fisica II 2013 Marina Brustolon 14bis. Un po di matematica."— Transcript della presentazione:

1 Corso di Chimica Fisica II 2013 Marina Brustolon 14bis. Un po di matematica

2 Alcune delle immagini che appaiono in questa lezione sono state ricavate dal libro:

3 Matrici Elemento di matrice Elementi di matrice diagonali Matrice quadrata = numero delle righe eguale al numero delle colonne Elementi di matrice fuori diagonale

4 Se A 12 =A 21 la matrice si dice simmetrica Se A 12 =A 21 = 0 la matrice si dice diagonale Traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi diagonali : trA= A 11 +A 22 Determinante di una matrice quadrata |A| = detA Matrice trasposta di A: Si scambiano le righe con le colonne

5 Moltiplicazione di due matrici

6 Per poter moltiplicare due matrici è necessario solo che il numero di colonne della prima sia eguale al numero di righe della seconda. ecc. Matrice rettangolare Anche le matrici rettangolari si possono moltiplicare.

7 Matrici rettangolari con una sola colonna o una sola riga Vettore colonna Vettore riga (è la trasposta del vettore colonna)

8 Applicando la regole di moltiplicazione tra matrici abbiamo infatti: Questo sistema di equazioni lineari nelle incognite c 1 e c 2 può essere facilmente riscritto utilizzando la regola di moltiplicazione tra matrici: e quindi

9 Supponiamo di avere che: Ac = c con costante. Questa equazione corrisponde a : cioè: Equazione agli autovalori per la matrice A

10 Il sistema di equazioni lineari ed omogenee : è risolvibile solo se il determinante dei coefficienti delle incognite è eguale a zero: Questa equazione si chiama equazione secolare per la matrice A Vi ricorda qualcosa?

11 Sviluppando il determinante per una matrice simmetrica otteniamo: Le radici reali di questa equazione del secondo ordine sono: con 1 e 2 sono gli autovalori della matrice A.

12 Per la molecola biatomica, applicando il principio variazionale abbiamo ottenuto il sistema di equazioni: e il determinante secolare: ha la stessa forma di: Gli autovalori hanno la stessa forma di 1 e 2 Trascurando S, le equazioni sono

13 Inserendo ciascuno dei due autovalori a turno nel sistema di equazioni: e risolvendolo, troviamo i valori delle incognite c 1 e c 2 : I c i j sono gli autovettori della matrice A.

14 Diagonalizzazione di A Definiamo la matrice degli autovettori: e la matrice degli autovalori: Si dimostra che Questa equazione rappresenta la diagonalizzazione della matrice simmetrica A mediante la trasformazione con la matrice dei suoi autovettori. I coefficienti sono normalizzati, corrispondono quindi ad un vettore di lunghezza unitaria.


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