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Corso di Chimica Fisica II 2013 Prof. Marina Brustolon 4. Lequazione di Schrödinger.

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Presentazione sul tema: "Corso di Chimica Fisica II 2013 Prof. Marina Brustolon 4. Lequazione di Schrödinger."— Transcript della presentazione:

1 Corso di Chimica Fisica II 2013 Prof. Marina Brustolon 4. Lequazione di Schrödinger

2 Wolfgang Pauli Werner Heisenberg Max Planck Niels Bohr Louis-Victor Pierre de Broglie Albert Einstein

3 La rivoluzione della fisica del 900 Niels Bohr e l Istituto di Fisica teorica di Copenaghen. Il modello planetario dellatomo di H. Heisenberg e Pauli mettono in discussione il modello di Bohr. Heisenberg: principio di indeterminazione. Pauli: principio di esclusione. Tutte le scoperte sul comportamento della materia fatte tra la fine dellottocento e il 1925 sono state inglobate nella cosidetta Meccanica Quantistica o Ondulatoria, che ha la sua base nellequazione di Schrödinger.

4 Lequazione di Schrödinger Cosè? E lequazione inventata dal fisico austriaco S. E unequazione differenziale, la cui soluzione dà la funzione donda che descrive il comportamento di una particella microscopica. Quando è stata espressa? Come mai proprio S.? Nel Schrödinger era un fisico eclettico (un geniale vagabondo secondo Einstein), che si era occupato anche di onde. Le scoperte di Planck, di De Broglie, di Heisenberg, mostravano che esiste unonda associata alla materia, con proprietà molto particolari. Nel caso dellelettrone libero si sapeva comera fatta. Ma negli altri casi? Per esempio se un elettrone è legato ad un atomo?? Ci voleva unequazione che, risolta, desse la corretta funzione donda in grado di descrivere il comportamento dellelettrone o di altre particelle nelle diverse situazioni.

5 Planck Bohr Curie Einsteinde Broglie Schrödinger HeisenbergPauli V Congresso Solvay, 1927

6 Le equazioni donda classiche Lequazione di Schrödinger per londa stazionaria 1.Onda stazionaria 2.Lequazione donda stazionaria tenendo conto del risultato di De Broglie

7 Come ha ragionato Schrödinger per arrivare alla sua equazione Ha considerato unonda armonica (funzione seno o coseno) ed è risalito allequazione differenziale corrispondente. Ha inserito in questa equazione differenziale la lunghezza donda secondo De Broglie.

8 (x) x A Si consideri unonda stazionaria (cioè non viaggiante, indipendente dal tempo): Onda stazionaria Londa è descritta dalla funzione (x) (funzione donda), che come abbiamo già visto è una funzione seno o coseno: Funzione donda classica indipendente dal tempo

9 Equazione classica per londa stazionaria Dimostriamo che la funzione donda stazionaria è soluzione di questa equazione:

10 Ragionamento di Schrödinger: se gli elettroni si comportano come onde, forse anche per gli elettroni possiamo trovare una funzione donda analoga a quella che vale per le onde elettromagnetiche. Come possiamo trovare questa funzione donda che descriva il comportamento delle onde di materia? Partiamo dallequazione classica delle onde stazionarie, ma teniamo conto del risultato di De Broglie; la di una particella in presenza di potenziale è:

11 Riarrangiando, otteniamo lequazione di Schrödinger per la funzione donda stazionaria, cioè indipendente dal tempo: Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo Introduciamo lespressione di de Broglie per nellequazione donda stazionaria:

12 Lequazione è stata ricavata per un sistema analogo a quello dellonda stazionaria, e non contiene quindi nessuna dipendenza dal tempo. Vuol dire che noi possiamo usare questa equazione quando il potenziale V del nostro sistema è costante (quindi per esempio per descrivere il moto libero di un elettrone in assenza di campi di forze). Questa equazione è alla base della Meccanica Ondulatoria

13 Lequazione donda di Schrödinger dipendente dal tempo 1.Lequazione donda dipendente dal tempo 2.Le funzioni donda dipendenti dal tempo 3.Le funzioni donda quando lenergia è costante

14 S. propose unequazione donda in cui compare la derivata prima rispetto al tempo. Lequazione complessiva è : E importante notare che la costruzione dellequazione da parte di S. è stata veramente una specie di patchwork, costruito con alcune pezze della fisica classica, in modo da adattarlo alle nuove scoperte. La validità dellequazione di S. è attestata non dal modo in cui è stata ottenuta, ma dal fatto che funziona nel predire il comportamento di atomi e molecole! Come tener conto di un sistema che si evolve nel tempo?

15 Equazione donda di Schrödinger dipendente dal tempo Ma se lenergia potenziale della particella non dipende dal tempo, la funzione si può scrivere come prodotto di una funzione di x e di una di t: La (x) è la soluzione dellequazione donda per londa stazionaria, già vista. La funzione donda soluzione dellequazione sopra sarà quindi una funzione sia della coordinata spaziale che del tempo:

16 La dipendenza dal tempo della funzione donda se il potenziale è costante Una particella di massa m che si muova lungo x, risenta di un potenziale costante V, e abbia unenergia costante E, è rappresentata da una funzione donda è una dipendenza dal tempo che può essere considerata come una fluttuazione di fase, ed è tale che tutte le grandezze fisiche relative allo stato sono indipendenti dal tempo: Il valore della funzione passa da 1 a -1 alla frequenza di E/h : possiamo immaginarlo come nella diapositiva seguente.

17 3d

18 La probabilità che una particella descritta dalla funzione donda si trovi tra x e x+dx è data dal prodotto della funzione per la sua complessa coniugata Il significato fisico più immediato della funzione donda La complessa coniugata di una funzione è la funzione *, che si ottiene sostituendo limmaginario i con -i. Quindi, se una funzione è reale, * =.

19 Gli stati stazionari Abbiamo detto che la funzione donda di una particella con potenziale costante V è data da: con la parte che dipende dal tempo: Abbiamo detto che le proprietà fisiche di una funzione donda di questo tipo non variano nel tempo: lo stato si dice stazionario. Calcoliamo la probabilità che la particella si trovi tra x e x+dx, e vediamo se è vero che non dipende dal tempo: la probabilità è costante nel tempo

20 In questo corso noi ci occuperemo solo di stati stazionari, cioè di sistemi nei quali il potenziale non varia nel tempo. Questo significa che studieremo gli stati a energia costante degli elettroni negli atomi e nelle molecole, ma non le transizioni tra gli stati, che sono alla base delle spettroscopie. Le transizioni sono dovute allinterazione con le onde elettromagnetiche, nelle quali come sappiamo linterazione con atomi e molecole varia nel tempo. Le spettroscopie le studierete in modo approfondito nel corso del prossimo anno, in questo corso vi accenneremo soltanto.

21 Come si costruisce lequazione di Schrödinger per un sistema fisico qualsiasi ? Cè un modo semplice per costruire lequazione di S. 1. Si parte dallespressione dellenergia della particella espressa in modo classico, e usando il momento lineare p, e la posizione x. 2. Abbiamo visto che lenergia classica espressa in questo modo si chiama hamiltoniana:

22 Energia classica espressa come Hamiltoniana 3. Lenergia classica si trasforma in un operatore, detto operatore hamiltoniano, seguendo questa ricetta: Al momento p si sostituisce Alla coordinata x si sostituisce la stessa coordinata x. 4. Loperatore hamiltoniano ottenuto dallenergia classica hamiltoniana è quindi: 5. Possiamo allora scrivere in modo compatto leq. di S.:

23 Che significato ha la (x)? Rappresenta uno stato della particella nel quale lenergia si conserva e ha il valore E. Solo le funzioni tali che loperatore hamiltoniano agendo su di esse dà la funzione immutata moltiplicata per una costante, rappresentano stati della particella nei quali lenergia si conserva. Lequazione si chiama equazione agli autovalori. La funzione si dice autofunzione dellhamiltoniano, e E si dice autovalore.

24 Gossip su Schr ö dinger Schrödinger nel 1933 non voleva più vivere in un paese dove la persecuzione degli ebrei era diventata una politica nazionale. Lui non era ebreo, ma quando il direttore del dipartimento di Fisica di Oxford propose ad alcuni giovani fisici ebrei tedeschi di andare a lavorare in Inghilterra, Schrödinger chiese di essere anche lui nel gruppo. Schrödinger chiese anche che venisse trovato un posto di assistente per un suo collega, Arthur March. A questo punto bisogna spiegare che S. amava molto le donne. La sua richiesta per un posto di assistente a Arthur March era dovuta al fatto che aveva una tresca con la moglie di A.M., Hilde, che aveva messo incinta. Il 4 November 1933 Schrödinger, sua moglie, e Hilde March arrivarono a Oxford …

25 Romanzo scritto da un fisico quantistico. In una lunga digressione si racconta il soggiorno romanzato di Schrodinger in un albergo-sanatorio sulle Alpi, durante le vacanze di Natale del 1925, durante il quale elaborò la sua famosa equazione.

26 1941 Nel 1940 Copenhagen viene occupata dalla Germania. Nel settembre del 1941, il fisico Werner Heisenberg, capo del progetto tedesco per la costruzione di un'arma atomica, va a Copenhagen a trovare Niels Bohr, un altro dei padri della meccanica quantistica, suo vecchio maestro e amico. Quell'incontro, a cui assistette solamente la moglie di Bohr, rimase un mistero umano, politico e scientifico. Quale fu il motivo di quel viaggio? Cosa si dissero i due grandi studiosi? Erano mesi in cui la ricerca scientifica sulla bomba atomica cominciava a porre interrogativi non solo politici o di studio. I resoconti di Heisenberg sul viaggio rimasero estremamente vaghi, mentre Bohr lasciò traccia di quell'incontro in lettere mai spedite, che per volontà degli eredi sono stati resi pubblici solo negli ultimi tempi. Michael Frayn Copenhagen


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