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1 2. Introduzione alla probabilità Definizioni preliminari: Prova: è un esperimento il cui esito è aleatorio Spazio degli eventi elementari: è linsieme.

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1 1 2. Introduzione alla probabilità Definizioni preliminari: Prova: è un esperimento il cui esito è aleatorio Spazio degli eventi elementari: è linsieme di tutti i possibili esiti (può essere continuo, discreto, finito, infinito) Evento casuale: è un sottoinsieme A di ( A ) Un evento casuale può essere impossibile A = certo A =

2 2 Esempi: 1) Prova: estrazione di 2 palline da unurna di palline nere e bianche ={bb,bn,nb,nn} (spazio discreto finito) Evento casuale: le due palline sono dello stesso colore A = {bb,nn} 2) Prova: si lancia una moneta fino a che non esce testa ={1,2,3,…} (spazio discreto infinito numerabile) numero dei lanci necessari

3 3 4) Prova: lancio di un dado ={1,2,3,4,5,6} (spazio discreto finito) Evento casuale: esce un numero pari A = {2,4,6} Evento casuale: esce un numero > 6 (impossibile) Evento casuale: esce un numero <7 (certo) 3) Prova: si arriva ad una coda e si attende il prossimo arrivo ={t | t 0 } (spazio continuo) tempi di arrivo

4 4 Lo spazio degli eventi soddisfa i seguenti assiomi: 1) se A è un evento, il suo complemento ( \A) è anchesso un evento 2) lunione di più eventi A 1,A 2,… è ancora un evento, ossia

5 5 Dato uno spazio di EVENTI DISCRETI = { w 1, w 2, …, w m }, la probabilità è una funzione Pr(. ) : [0,1] che associa ad ogni evento elementare w i, i=1, 2, …, m, la sua probabilità Pr(w i ). In particolare, Pr(w i ) rappresenta la percentuale di volte che levento elementare può accadere quando il numero di prove eseguite tende allinfinito, ossia

6 6 Anche agli eventi casuali (non solo a quelli elementari) è possibile associare la probabilità di occorrenza: Naturalmente, se A = { w l1, w l2, …, w lq } :

7 7 La probabilità è caratterizzata dai seguenti assiomi: 1) 0 Pr(A) 1 A 2) Pr( ) = 1 3) Se A e B sono eventi disgiunti (A B = ), allora Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Se invece A e B non sono disgiunti (A B ) Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A B) [ Teorema dellunione di eventi ]

8 8 Esempi: 1) Prova: estrazione di 2 palline da unurna di palline nere e bianche = {bb,bn,nb,nn} w i Pr(w i ) bb1/4 bn1/4Eventi equiprobabili nb1/4 nn1/4 Evento casuale: le due palline sono dello stesso colore A = {bb,nn} Pr(A) = 1/4 + 1/4 = 1/2 Tabella delle probabilità

9 9 2) Prova: lancio di una moneta fino a che non esce testa = {1,2,3,...} w i Pr(w i ) 11/2 21/4 31/8 41/16 : : k1/2 k Primo lancio T C Secondo lancioTT TC CT CC etc.

10 10 Probabilità condizionata Siano dati due eventi casuali A e B e sia Pr(B) > 0. Definiamo probabilità di A condizionata a B, la probabilità che si verifichi A essendosi verificato B:

11 11 In questo caso risulta Pr(A| B) = Pr(A) e Pr(B|A) = Pr(B). Due eventi A e B sono (stocasticamente) indipendenti se Pr(A B) = Pr(A) ·Pr(B)

12 12 Esempio: lancio di un dado = {1,2,3,4,5,6} Evento casuale A : esce un numero < 4 A = {1,2,3} Evento casuale B : esce un numero pari B = {2,4,6} I due eventi non sono stocasticamente indipendenti. Pr(A) = Pr(B) = 1/2, A B = {2} Pr(A B) = 1/6 Pr(A | B) = 1/3 (Suppongo cioè che solo {2,4,6} si possono verificare, allora 1/3 è la prob. che si abbia un numero < 4).

13 13 Teorema della probabilità assoluta Sia lo spazio degli eventi elementari e sia A 1, A 2, …,A k una sua partizione, ossia Sia B. Vale la seguente relazione Dimostrazione: A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B

14 14 Variabili aleatorie (o casuali) discrete Ad ogni evento elementare w può essere associato in modo univoco un numero reale attraverso una particolare funzione che viene detta variabile aleatoria (v.a.), ossia (. ) : X R Nel seguito indicheremo con X le v.a. e con x i valori che esse possono assumere.

15 15 Una variabile aleatoria (o casuale) è completamente definita dalla coppia (X, ) dove X = {x 1, …, x n } R e ={ x1, …, xn } dove xi = Pr(x i ). Naturalmente Esempio: lancio di 2 monete. Il numero di teste è una variabile aleatoria. 1/21 insieme non numerico insieme numerico

16 16 Una variabile aleatoria può essere agevolmente rappresentata mediante un Istogramma Esempio: numero di teste nel lancio di 2 monete 1/4 1/2 3/4 1 Pr(x) x 1203

17 17 Esempio: numero di lanci di una moneta fino a quando non esce testa 1/4 1/2 Pr(x) x w i Pr(w i ) 11/2 21/4 31/8 41/16 : : k1/2 k

18 18 La funzione distribuzione cumulativa di probabilità F X (y) di una v.a. X esprime la probabilità che X assuma un valore minore o uguale ad y: F X (y) = Pr (x y) = x y Pr(x) Esempio: numero di teste nel lancio di 2 monete 1/4 1/2 3/4 1 F X (x) x /2 1/4

19 19 Valore atteso o media Osservazione: In generale può accadere che E[X] X Nel caso di probabilità uniformi (ossia in cui tutte le variabili x i siano equiprobabili) vale dove m= |X|.

20 20 E[X] 1 x Pr(x) Var[X]=0 Varianza x è detta deviazione standard. È una misura della distribuzione della probabilità attorno al valore atteso.

21 21 Esempio: numero di teste nel lancio di 2 monete 1/21 E[X] = 0 ·1/4 + 1 ·1/2 + 2 ·1/4 = 1 Var[X] = (0-1) 2 ·1/4 + (1-1) 2 ·1/2 + (2-1) 2 ·1/4 = 1/4 + 1/4 = 1/2

22 22 Distribuzione uniforme La probabilità è la stessa in tutti i punti dellintervallo.

23 23 Distribuzione geometrica 0 < p < 1 N.B.

24 24 x = = = =

25 25 Distribuzione di Poisson R +

26 26 Naturalmente Inoltre è facile verificare che:

27 27 x Pr(x) x

28 28 Pr(x) x > 1 Limportanza di tale distribuzione deriva dal fatto che vi sono diverse situazioni in cui la distribuzione di Poisson appare in modo naturale.

29 29 Funzione generatrice di probabilità Nel caso in cui X N la funzione generatrice di probabilità coincide con la z-trasformata della funzione probabilità. N.B. Perché tale definizione abbia senso, la serie deve naturalmente essere convergente.

30 30 Se X N possiamo esprimere E[X] e Var[X] in funzione di

31 31 Esempio: numero di teste nel lancio di 2 monete 1/21

32 32 Esempio: numero di lanci di una moneta fino a che non esce testa w i Pr(w i ) 11/2 21/4 31/8 41/16 : : k1/2 k N.B. Per i=0 la Pr(i)=0 non 1/2 0. Ricordiamo che se |a|< 1,

33 33 Fino ad ora abbiamo considerato il caso di variabili che assumo al più una infinità numerabile di valori. Vi sono però naturalmente dei casi in cui tali variabili possono assumere qualunque valore in R (o in un intervallo di R). Es. Istante di tempo in cui un certo dispositivo elettronico smette di funzionare Variabili aleatorie continue Molte delle definizioni prima viste sono ancora valide, quali ad es. quella di evento impossibile, evento certo, probabilità condizionata, etc., alcune vanno tuttavia riformulate.

34 34 Le v.a. continue sono caratterizzate mediante la funzione densità di probabilità (x). (x 1 )dx = Pr(x [x 1, x 1 +dx]) x1x1 x 1 +dx (x) x

35 35 La funzione di distribuzione cumulativa F X (y) esprime la probabilità che X assuma un valore minore o uguale ad y: Chiaramente la funzione F X (x) è una funzione monotona non decrescente e F X (+ )=1.

36 36 Valore atteso o media Varianza

37 37 Distribuzione uniforme (x) x ab 1/(b-a) E[X]=(a+b)/2 Var[X]=(b-a) 2 /12

38 38 Distribuzione esponenziale (x) = e - x x x R + {0} E[X]=1/ Var[X]= 1/ 2

39 39 Distribuzione normale o gaussiana Var[X]= 2 x (x) E[x]=

40 40 Se la distribuzione è normale allora il valore medio è anche il valore più probabile. La somma di v.a. gaussiane indipendenti è ancora una v.a. gaussiana indipendente la cui media è pari alla somma delle medie e la cui varianza è pari alla somma delle varianze. Una v.a. gaussiana è detta standard se E[X]=0 e Var[X]=1.

41 41 Funzione generatrice di probabilità L[ (x)]

42 42 Esempio: variabile casuale esponenziale negativa


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