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F U N Z I O N I Definizioni Tipi Esponenziale Logaritmica Trigonometriche inverse Iperboliche Campo di esistenza Trasformazioni Zero di una funzione Riassunto.

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Presentazione sul tema: "F U N Z I O N I Definizioni Tipi Esponenziale Logaritmica Trigonometriche inverse Iperboliche Campo di esistenza Trasformazioni Zero di una funzione Riassunto."— Transcript della presentazione:

1 F U N Z I O N I Definizioni Tipi Esponenziale Logaritmica Trigonometriche inverse Iperboliche Campo di esistenza Trasformazioni Zero di una funzione Riassunto

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5 Tipi di intervallo

6 Rappresentare graficamente le seguenti funzioni:graficamente

7 Intorno. Il concetto di intorno di un punto è usato per indicare intervalli costituiti da punti "molto prossimi al punto": Analogamente la nozione di intorno di infinito indica punti "molto lontani" dall'origine. Si chiama intorno completo di un punto x 0 un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto. Se  1 =  2 allora si ha un intorno circolare. Intorno destro se il punto x 0 è l'estremo sinistro. Intorno sinistro se il punto x 0 è l'estremo destro.

8 Un insieme numerico A si dice superiormente limitato quando esiste un numero k t.c. ogni elemento dell’ins. è < o al più = a k. Il numero k è un maggiorante di A. … inferiormente limitato …… è > o al più = a k. … limitato …Sia inferiormente che superiormente. Il numero k è un minorante di A. Dato un ins. numerico non vuoto A, si dice estremo superiore, Sup A, dell’ins. il più piccolo dei maggioranti. … estremo inferiore … Inf A … il più grande dei minoranti.

9 Si dice che un numero c di un ins. num. A è isolato, se esiste un I(c) che non contiene altri punti dell’ins. A. Si dice che un numero c, che può anche non appartenere all’ins. A, è di accumulazione per A, se in ogni I(c) esiste almeno un elemento di A distinto da c. Se c è di accumulazione per A, in un qualsiasi I(c) vi sono infiniti elementi di A. L’ins. C è illimitato superiormente se fissato un punto M > 0 esiste almeno un punto appartenente a C t.c. x > M L’ins. C è illimitato inferiormente se … x < - M Estremo sup. (o inf.) della f(x) l’estremo sup. (o inf.) di C. Massimo (o minimo) assoluto della f(x) il max (o min) di C.

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16 Definizione di zero di una funzione Data una funzione di equazione y = f(x) si dice che un numero reale c è uno zero della funzione, se è f(c) = 0. Equivale a trovare le soluzioni dell’equazione f(x) = 0. Equivale a risolvere il sistema: Quindi determinare le intersezioni del grafico con la retta di equazione y = 0 (asse x).

17 Risoluzione grafica Si deve utilizzare il metodo grafico quando non si può risolvere l’equazione. Stabilire se esistono le soluzioni e per ogni soluzione determinare un intervallo, solitamente unitario, che contenga la soluzione. Gli estremi di tale intervallo sono da considerarsi una approssimazione, per difetto e per eccesso, della soluzione. Esempio.Esempio

18 Metodo di bisezione o dicotomico E’ intuitivo che: SE una funzione definita in [a,b] con f(a) e f(b) di segno opposto, ALLORA esiste almeno un punto c in [a;b] t.c. f(c) = 0. Con f(a). f(b) < 0 la funzione ha almeno uno zero in [a;b]. Consideriamo nuovamente la funzione precedentemente usata: Nel caso in cui l’equaz. f(x) = 0 in [a;b] abbia più di una soluzione il metodo permette di determinarne una sola.

19 Metodo di bisezione o dicotomico f(1) = -1, f(2) = 5 loro prodotto negativo, allora una soluz. punto medio di [1;2] = 1,5 f(1,5) = 0,875, discorde con f(1) in [1;1,5] si avrà 1 < c < 1,5 punto medio di [1;1,5] = 1,25 f(1,25) = -0,296 discorde con f(1,5) in [1,25;1,5] si avrà 1,25 < c < 1,5... 1, < c < 1, c = 1,32…

20 Metodo di bisezione o dicotomico Generalizzando: si deve costruire una successione di approssimazioni per difetto e una success. di approssimaz. per eccesso della soluz. 1) 2) se f(m) ha lo stesso segno di f(a n ) si pone: a n+1 =m e b n+1 =b n 3) se f(m) ha lo stesso segno di f(b n ) si pone: a n+1 =a n e b n+1 =m 4) se f(m) = 0, m è la soluz. 5) se la 4) non si verifica procediamo fino alla precisione desiderata. Grafico

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27 Dominio di esistenza di una funzione: riassunto regole.

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33 FUNZIONI INVERSE Arco seno.se Arco coseno.co Arco tangente.ta

34 FUNZIONI IPERBOLICHE Introduzione.In Seno iperbolico.Se Coseno iperbolico.Co Tangente iperbolica.Ta Funzioni inverse.Funzioni inverse

35 Le funzioni inverse

36 Trasformazioni e grafici Da y=f(x) a y=f(x-a) con la traslazione: x’=x+a e y’=y. Esempio.E Da … a y= f(x)+b … x’=x e y’=y+b. Esempio.E Da … a y=f(-x) con la riflessione rispetto all’asse y: x’=-x e y’=y. Esempio.E Da … a y=-f(x) … x: x’=x e y’=-y. Esempio.E Da … a y=-f(-x) con la simmetria rispetto all’origine: x’=-x e y’=-y. Esempio.E

37 y = 3x + 1 PRIMI CONCETTI Una funzione è un meccanismo matematico che trasforma un numero x (detto variabile indipendente) in un altro numero y (detto variabile dipendente) secondo una certa legge (in questo caso la legge è y = 3x +1 ) x y Nel caso di questa funzione ad esempio il numero x = 2 viene trasformato nel numero y = 7 C O P I A T O R I A S S U N T O

38 Definizione 2 (funzione reale di variabile reale) Se il dominio e l’insieme di arrivo sono insiemi di numeri reali allora la funzione si dirà FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE Definizione 3 (immagine di un elemento del dominio) Se all’elemento x del dominio viene associato, tramite la funzione f, l’elemento y, diremo che “ y è l’immagine di x” e indicheremo y col simbolo f(x) (si legge: “f di x”) ESEMPIO y = 3x + 1 x y In questo caso 4 è l’immagine di 1 quindi si scrive: f(1) = 4 Per lo stesso motivo si scrive: f(2) = 7 f(3) = 10 f(0) = 1 …e così via C O P I A T O

39 CODOMINIO: ESEMPIO INTRODUTTIVO Dato l’insieme A = { -1, 0, 1, 2, 3, 5 } l’insieme B = { -1, 0, 3, 7, 8, 24, } ed una funzione che ad ogni elemento di A associa un solo elemento di B tramite la legge: y = x Analizziamo le immagini degli elementi di A: insieme A insieme B Insieme delle immagini degli elementi di A Si chiamerà codominio di f ( oppure f(A), oppure cod f ) C O P I A T O

40 Definizione 1 ( grafico di una funzione) Data una funzione definita nell’insieme A a valori in B, si dice grafico della funzione l’insieme dei punti del piano cartesiano del tipo ( x, f(x) ) ottenuti per tutti gli elementi x appartenenti al dominio A. Osservazione 1 Nel grafico di una funzione non può mai accadere che due punti abbiano la stessa ascissa poiché per definizione di funzione (vedi def.1 lezione funzioni) l’immagine di ogni elemento x del dominio deve essere unica. NON può essere il grafico di una funzione Graficamente quindi ogni retta parellela all’asse y può incontrare il grafico di una funzione al massimo in un punto NON può essere il grafico di una funzione x y1 y1 y2 y2 y3 y x C O P I A T O Può essere il grafico di una funzione x y.

41 SIMMETRIE NEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE ESEMPI x y x y x y x y x y x y Questi grafici di funzione sono simmetrici rispetto all’asse y Questi grafici di funzione sono simmetrici rispetto all’origine degli assi C O P I A T O

42 Definizione 2 ( funzione pari, funzione dispari ) Data una funzione f definita in un insieme A simmetrico rispetto allo 0 (cioè tale che se x  A allora anche -x  A per ogni x di A) se risulta : f(-x) = -f(x),  x  A allora la funzione si dirà DISPARI (ed il suo grafico risulterà simmetrico rispetto all’origine degli assi) f(-x) = f(x),  x  A allora la funzione si dirà PARI (ed il suo grafico risulterà simmetrico rispetto all’asse y) Osservazione 2 Se una funzione è pari o dispari e conosciamo il suo andamento per x  [0, +  [ allora possiamo dedurre il suo andamento per x  ]- , 0 [ P Infatti, quando f è pari, se il punto P( x 0, y 0 ) appartiene al grafico allora vi appartiene anche il punto P’(-x 0, y 0 ) x0x0 y0y0. -x 0 P’. x0x0. Quando f è dispari, se il punto P( x 0, y 0 ) appartiene al grafico allora vi appartiene anche il punto P’(-x 0, - y 0 ) y0y0 P. -y 0 -x 0 P’ C O P I A T O

43 GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI FUNZIONE COSTANTE y = k Dominio: R Codominio: { k } Grafico: retta parallela all’asse x di equazione y = k x y O k FUNZIONE LINEARE (RETTA) y = a x + b Dominio: R Codominio: R Grafico: retta di coefficiente angolare a, inclinata verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0 x y O a > 0 x y O a < 0 C O P I A T O

44 FUNZIONE QUADRATICA (PARABOLA) Dominio: R Grafico: parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y, concavità verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0 y = a x 2 + b x + c x y O a > 0 a < 0 x O y k < 0 FUNZIONE DI PROPORZIONALITA’ INVERSA Dominio: R – { 0 } (ovvero x  0) Codominio: R – { 0 } Simmetrie: funzione dispari Grafico: se k > 0 il grafico è nel primo e nel terzo quadrante, mentre se k < 0 il grafico si trova nel secondo e nel quarto quadrante (in entrambi i casi il grafico è una iperbole equilatera riferita agli asintoti) y = x O y k > 0 C O P I A T O

45 FUNZIONE ESPONENZIALE y = a x con a > 0, a  1 Dominio: R Codominio: ] 0, +  [ Grafico: si trova sempre al di sopra dell’asse x ed interseca l’asse y nel punto (0,1). x y O. y = a x (a > 1) 1 Se 0 < a < 1 quando x tende a +  y tende a 0 ; quando x tende a -  y tende a +  x y O. y = a x (0 < a < 1) 1 Se a > 1 quando x tende a +  anche y tende a +  ; quando x tende a -  y tende a 0 C O P I A T O


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