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Università degli studi di Pisa Facoltà di Ingegneria Tesi di Laurea Identificazione di modelli di Hammerstein e di Wiener Relatori: Candidato: Prof. Ing.

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1 Università degli studi di Pisa Facoltà di Ingegneria Tesi di Laurea Identificazione di modelli di Hammerstein e di Wiener Relatori: Candidato: Prof. Ing. Aldo Balestrino Alessio Campani Prof. Ing. Alberto Landi

2 Obiettivi Studiare il problema dellidentificazione dei sistemi non lineari del tipo di Hammerstein e di Wiener Approccio basato sui filtri di Kautz e le reti neurali artificiali per il modello di Wiener Approccio basato sulla tecnica delle funzioni modulanti per i sistemi di Hammerstein

3 Identificazione ? Modello (struttura, ordine) Parametri

4 Modelli di Hammerstein e di Wiener Approccio a blocchi Dinamica lineare rappresentata con una funzione di trasferimento Non linearità statica (senza memoria) rappresentata con una funzione algebrica

5 Modelli di Hammerstein e di Wiener G()N.L. G() Wiener: Hammerstein:

6 Identificazione del modello di Wiener G() La dinamica lineare viene identificata con un filtro di Kautz N.L. La non linearità viene identificata con una rete neurale artificiale

7 Filtro di Kautz g1g1 g3g3 g 2k-1 g2g2 g4g4 g 2k

8 Struttura dellapprossimatore G(·) N.L. Sistema da identificare Filtro di Kautz BufferN.N. Approssimatore

9 Struttura dellapprossimatore w 1,1 w n,1 N.N.

10 Software Ambiente Matlab® (ver. 6.5) M-files, schemi Simulink, S-functions Sistemi SISO tempo invarianti Non linearità polinomiali e non Dinamica lineare con poli reali e complessi coniugati Sistemi in tempo discreto e tempo continuo

11 Software Identificazione on line Rete neurale addestrata in back propagation Back propagation implementata con lalgoritmo di Levenberg-Marquardt Campioni memorizzati in un buffer gestito a finestra mobile

12 Software reteK2.m Costruzione del sistema da identificare Impostazione della struttura del filtro di Kautz (numero di blocchi, parametri per incorporare nel modello le informazioni a priori) Costruzione della rete neurale nello spazio di lavoro (struttura, parametri per laddestramento,...)

13 Software apprendiK.m Durata della simulazione Lancio della simulazione sullo schema Simulink schemaK.mdl Invoca la funzione vedi addestra_reteK.m (S-function) Gestione del buffer Algoritmo LM

14 Software vedi.m Andamento dei parametri della rete neurale e dellerrore durante laddestramento valida_reteK.m (S-function) Evoluzione della rete neurale addestrata vedival.m Andamento uscite misurata e approssimata Errore Indici di prestazione

15

16 Esempio Fase di addestramento: Rumore bianco Somma di sinusoidi Somma di gradini

17 Esempio Risposta a un ingresso sinusoidale

18 Esempio MSEMaxAssErrRelMSEMaxRelErrEndRelMSEMaxEndRelErr Indici di prestazione

19 Fuzzy scheduling Considerazione preliminare Il nostro approssimatore risponde bene quando in ingresso diamo un segnale di tipo rumore bianco costruito con un generatore di numeri casuali (potenza) in cascata ad un filtro di Butterworth (contenuto frequenziale)

20 Fuzzy scheduling R costante + Rumore Bianco Sistema Y=Y m + γ Idea Addestrare la rete neurale con i segnali epurati dei rispettivi valori medi

21 Fuzzy scheduling Conclusioni Otteniamo un modello alle variazioni Reiterando il procedimento per diversi valori della componente costante otteniamo un meccanismo di schedulazione che associa ad ogni punto di lavoro (R m, Y m ) il modello che meglio approssima il sistema in quel punto

22 Identificazione del modello di Hammerstein Tecnica delle funzioni modulanti Moltiplicare entrambi i membri dellequazione differenziale che descrive il sistema per una funzione Φ Integrare per parti in modo da trasferire loperazione di derivazione dai segnali (che possono essere affetti da rumore) alle funzioni modulanti Si ottiene un sistema di equazioni algebriche che può essere risolto col metodo della pseudoinversa

23 Software Ambiente Matlab® (ver. 6.5) Libreria basata sulle funzioni spline di Maletinsky (Sani-Corsanini DSEA) Aggiunti schemi Simulink per la raccolta dati e la verifica Sistemi SISO tempo invarianti Non linearità polinomiali Dinamica lineare a guadagno statico unitario Sistemi in tempo continuo

24 Software sistema.mdl Simula levoluzione del sistema da identificare con un rumore bianco in ingresso; al termine della simulazione il comando save workspace di Matlab crea il file con tutti i dati necessari allidentificazione

25 Software function [num,den,nlc]=fun_mod_ham(periodo,np,nz,g,nomefile) Ampiezza della finestra di integrazione Numero di poli della dinamica lineare Numero di zeri della dinamica lineare Grado della non linearità polinomiale File contenente gli istanti di campionamento e i segnali di ingresso e di uscita misurati Coefficienti del numeratore della f.d.t. approssimata Coefficienti del denominatore della f.d.t. approssimata Coefficienti della rappresentazione polinomiale della n.l. Risolve col metodo della pseudo-inversa un sistema algebrico della dimensione opportuna ottenuto a partire da una spline di ordine n_poli+2 I coefficienti di ordine 0 al numeratore e al denominatore della f.d.t. valgono sempre 1 (condizione sul guadagno statico); il coefficiente di ordine 0 della n.l. vale sempre 0 (non linearità passante per lorigine)

26 Software fun_mod_ham utilizza le seguenti funzioni: simf_ham Genera il sistema algebrico della dimensione opportuna Invoca la funzione gen_fr_spline per generare la funzione modulante e le sue derivate Invoca gen_riga_s_ham per ricavare unequazione del sistema alla volta; lintegrazione viene fatta dalla funzione ausiliaria simpson che implementa lintegrazione numerica di Cavalieri-Simpson

27 Software Per verificare la correttezza dellidentificazione: verifica.mdl Simula levoluzione dei sistemi reale ed approssimato vedi_verifica.m Andamento delle uscite reale e approssimata Andamento dellerrore Indici di prestazione

28 Esempio Segnale in ingresso: Rumore bianco limitato in banda (Noise Power = 1, Sample Time = 0.1) Segnale in fase di verifica: Rumore bianco limitato in banda (Noise Power = 0.1; Sample Time = 0.5)

29 Esempio

30 MSEMaxAssErrRelMSEMaxRelErrEndRelMSEMaxEndRelErr

31 Conclusioni Sistemi di Wiener Le difficoltà incontrate con gli algoritmi tradizionali a causa della non disponibilità di una buona rappresentazione per luscita non lineare possono essere superate grazie alle proprietà di semplificazione delle basi di funzioni ortonormali e alla flessibilità dellapproccio con le reti neurali Sistemi di Hammerstein Lestensione della tecnica delle funzioni modulanti al caso di sistemi non lineari modellizzati alla Hammerstein fornisce buoni risultati Suggerimenti Il nostro lavoro potrebbe essere integrato con algoritmi per lidentificazione dei sistemi misti e laggiunta di uninterfaccia grafica per semplificare lutilizzo dei programmi


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