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Semantica di Tarski. Dato un linguaggio e specificate le regole di formazione dei suoi enunciati (cioè la sintassi), per porsi il problema della loro.

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Presentazione sul tema: "Semantica di Tarski. Dato un linguaggio e specificate le regole di formazione dei suoi enunciati (cioè la sintassi), per porsi il problema della loro."— Transcript della presentazione:

1 Semantica di Tarski

2 Dato un linguaggio e specificate le regole di formazione dei suoi enunciati (cioè la sintassi), per porsi il problema della loro verità, occorre specificare la semantica, cioè assegnare ad essi un significato. Per questo, si deve

3 Fissare una STRUTTURA, cioè 1)Un insieme non vuoto di enti (detto dominio) di cui gli enunciati si stipula che parlino; 2)Una (funzione d)interpretazione che assegna ai simboli specifici del linguaggio, cioè ai simboli di predicato e di funzione, un significato.

4 Quale sarà questo significato?

5 Cominciamo dai simboli di predicato. 1)Predicato con arietà 1. Quale sarà, per es., il significato di essere pari, supponendo che il dominio di riferimento sia quello dei numeri naturali? Sarà quello specifico sottoinsieme dei numeri naturali costituito dai numeri pari.

6 Quale sarà il significato di essere rosso in riferimento al dominio costituito dallinsieme di tutte le donne italiane? Sarà quello specifico sottoinsieme costituito dalle donne coi capelli rossi

7 2) predicato con arietà 2: Quale sarà, per es., il significato di amare, supponendo che il dominio di riferimento sia linsieme di tutti gli esseri umani? Sarà quello specifico sottoinsieme di coppie ordinate costituito da quelle per cui il primo elemento ama il secondo.

8 3) predicato con arietà 3: Quale sarà, per es., il significato di dare, supponendo che il dominio di riferimento sia quello degli enti del nostro mondo quotidiano? Sarà quello specifico sottoinsieme di terne ordinate per le quali valga che il primo elemento dà il secondo elemento al terzo.

9 Che cosa significa che linterpretazione I associa ad ogni P P, tale che a(P)=n, un sottoinsieme I(P) di A n ?

10 Vediamo una ad una le varie componenti di questa frase Ad ogni P P Vuol dire: ad ogni simbolo P che appartiene allinsieme dei simboli di predicato, cioè vuol dire: ad ogni simbolo di predicato P

11 tale che (P)=n è la funzione che associa ad ogni simbolo di predicato la sua arietà n, quindi tale che (P)=n vuol dire di arietà n

12 un sottoinsieme I(P) di A n I(P) è il nome che diamo al sottoinsieme. Che cosè A n ? E linsieme di tutte le possibili n-uple, cioè di tutte le possibili liste di n elementi di A. I(

13 Esempi: Se n=1, A 1 coinciderà con A stesso, perché sarà linsieme di tutte le possibili liste contenenti ciascuna un solo elemento di A. Se n=2, A 2 consisterà nellinsieme di tutte le possibili liste contenenti ciascuna due elementi di A, cioè sarà linsieme di tutte le coppie di elementi di A.

14 Se n=3, A 3 consisterà nellinsieme di tutte le possibili liste contenenti ciascuna tre elementi di A, cioè sarà linsieme di tutte le terne di elementi di A.

15 Che cosa significa dunque che linterpretazione I associa ad ogni P P, tale che a(P)=n, un sottoinsieme I(P) di A n ? Che linterpretazione associa ad ogni simbolo di predicato che abbia arietà n un opportuno sottoinsieme dellinsieme delle liste di n elementi di A.

16 cioè a) ad ogni simbolo di predicato di arietà 1 un sottoinsieme del dominio A; b) ad ogni simbolo di predicato di arietà 2 un sottoinsieme dellinsieme di coppie di A; c) ad ogni simbolo di predicato di arietà 3 un sottoinsieme dellinsieme di terne di A.

17 Vediamo ora i simboli di funzione

18 1)funzioni di arietà 0: SONO IN REALTA CASI LIMITE DI FUNZIONI, perché si tratta di simboli di costanti individuali, cioè di nomi per individui (enti). Dunque, il loro significato sarà lindividuo (lente) designato con quel nome [nella dispensa, a p. 20, cè, infatti, scritto che se c è un simbolo di costante, allora I(c), cioè la sua interpretazione, è un elemento del dominio A];

19 per comprendere i vari casi delle funzioni vere e proprie, ricordiamo che cosè una funzione: è unoperazione che porta da un insieme (detto dominio) ad un insieme (detto codominio), cioè unoperazione che prende in entrata elementi del dominio e dà in uscita, come risultato, elementi del codominio.

20 2) Se il simbolo di funzione ha arietà 1, - per es. essere madre di s - loperazione corrispondente porterà dallinsieme degli esseri umani allinsieme degli esseri umani, in questo modo: dal dominio noi le forniamo s ed essa andrà nel codominio a individuare una s, che è, appunto, la madre di s.

21 3) Se il simbolo di funzione ha arietà 2, - per es. addizionare - loperazione corrispondente porterà dallinsieme di coppie di numeri (p. es. dei numeri interi) allinsieme dei numeri (interi), in questo modo: dallinsieme di coppie di numeri prenderà di volta in volta la coppia di numeri da sommare, la sommerà e darà un risultato che si trova nellinsieme (codominio) dei numeri.

22 Come abbiamo fatto sopra nel caso dei simboli di predicati, chiediamoci che cosa significa che linterpretazione I associa ad ogni f F, tale che (f)=n, una funzione I(f): A n A?

23 Vediamo una ad una le varie componenti di questa frase Ad ogni f F Vuol dire: ad ogni simbolo f che appartiene allinsieme dei simboli di funzione, cioè vuol dire: ad ogni simbolo di funzione f

24 tale che (f)=n è la funzione che associa ad ogni simbolo di funzione la sua arietà n, quindi tale che (f)=n vuol dire di arietà n

25 Una funzione I(f) I(P) è il nome che diamo allinterpretazione del simbolo di funzione, cioè alla funzione vera e propria.

26 Dunque ad ogni simbolo di funzione f di arietà n linterpretazione associa una certa funzione I(f): A n A che ora andiamo a specificare da vicino.

27 A n A È la specificazione di dominio e codominio della funzione, a seconda della arietà del suo simbolo:

28 Se larietà n è 1 A n A è: A 1 A, cioè semplicemente A A.

29 dunque la funzione che costituisce il significato di un certo simbolo f di arietà 1 ha per dominio un insieme di individui e come codominio pure un insieme di individui

30 Se larietà n è 2 A n A è A 2 A, cioè la funzione che costituisce il significato di un certo simbolo f di arietà 2 ha per dominio un insieme di coppie di individui e come codominio un insieme di individui

31 dunque linterpretazione I associa ad ogni f F, tale che (f)=n, una funzione I(f): A n A significa che linterpretazione associa ad ogni simbolo di funzione che abbia arietà n una funzione (cioè unoperazione) che agisce sugli elementi di A n (rispettivamente, agisce su un elemento di A alla volta se il simbolo è di funzione con arietà 1; agisce su coppie di individui di A, se la funzione è con arietà 2) e dà come risultato elementi di A.

32 Verità in una struttura Abbiamo detto allinizio che, per stabilire la verità degli enunciati espressi usando un linguaggio elementare, occorreva innanzitutto specificarne il significato. Labbiamo fatto utilizzando la nozione di struttura. Ora possiamo parlare di verità degli enunciati, che sarà, quindi, sempre riferita ad una struttura che ne specifichi il significato.

33 Un po di ordine Definiremo la verità di un enunciato in una struttura ( A A, che si legge A è vero nella struttura A) sulla base della sua complessità, cioè Prima la daremo per enunciati costituiti da simboli di predicati e di termini; Poi per enunciati in cui compaiono connettivi, Infine per enunciati in cui compaiono i quantificatori

34 La verità di enunciati P(t 1,…t n ) Se A è P(t 1,…t n ), cioè se lenunciato A è costituito da un simbolo di predicato seguito da un numero di simboli di termini adeguato rispetto alla sua arietà, A sarà vero nella struttura se e solo se gli enti che costituiscono il significato dei termini t 1,…t n secondo linterpretazione data nella struttura appartengono allinsieme che costituisce il significato di quel simbolo di predicato,

35 CIOE Facciamo qualche esempio: 1) se, in una data struttura, P è linsieme dei numeri pari e t è il numero 6, P(6) è vero in quella struttura, perché lente che costituisce il significato del termine t secondo linterpretazione data nella struttura (cioè il numero 6) appartiene allinsieme che costituisce il significato di quel simbolo di predicato (cioè appartiene ai numeri pari)

36 2) se, in una data struttura, L è linsieme delle coppie di individui in cui il primo membro ama il secondo e t 1 è il signor Marco e t 2 è la signora Elisa, L(t 1, t 2 ) è vero in quella struttura, se e solo se la coppia degli enti che costituiscono il significato dei termini t 1, t 2 secondo linterpretazione data nella struttura (cioè la coppia Marco ed Elisa, data in questo ordine) appartiene allinsieme che costituisce il significato di quel simbolo di predicato (cioè appartiene allinsieme delle coppie in cui il primo elemento ama il secondo).

37 3) se, in una data struttura, D è linsieme delle terne di enti in cui il primo elemento dà il secondo elemento al terzo elemento, t 1 è il solito signor Marco, t 2 è un diamante e t 3 la signora Elisa, D(t 1, t 2, t 3 ) è vero in quella struttura, se e solo se la lista degli enti che costituiscono il significato dei termini t 1, t 2, t 3 secondo linterpretazione data nella struttura (cioè la terna Marco, diamante ed Elisa, data in questo ordine) appartiene allinsieme che costituisce il significato di quel simbolo di predicato (cioè appartiene allinsieme terne di enti in cui il primo elemento dà il secondo elemento al terzo elemento).

38 Come abbiamo fatto sopra in altri casi, chiediamoci che cosa significa che A P(t 1,…t n ) se e solo se (I(t 1 ),…,I(t n )) I(P) ?

39 A P(t 1,…t n ) vuol dire P(t 1,…t n ) è vero nella struttura A

40 (I(t 1 ),…,I(t n )) è la lista dellinterpretazione del termine t 1, del termine t 2,…, del termine t n

41 I(P) è linterpretazione del simbolo di predicato P (cioè, a seconda dellarietà del predicato, sarà un insieme di enti, di coppie di enti, di terne di enti, ecc.)

42 quindi A P(t 1,…t n ) se e solo se (I(t 1 ),…,I(t n )) I(P) vuol dire che P(t 1,…t n ) è vero nella struttura A se e solo se la lista dellinterpretazione del termine t 1, del termine t 2,…, del termine t n appartiene allinterpretazione del simbolo di predicato P

43 cioè Se e solo se 1)Nel caso del predicato di arietà 1: lente che costituisce il significato di t appartiene allinsieme di enti che costituiscono il significato di P nella struttura;

44 2) Nel caso del predicato di arietà 2: La coppia di enti che costituiscono il significato di t 1, t 2 appartiene allinsieme di coppie che costituiscono il significato di P nella struttura;

45 3) Nel caso del predicato di arietà 3: La terna di enti che costituisce il significato di t 1, t 2, t 3 appartiene allinsieme di terne che costituiscono il significato di P nella struttura;

46 1)Una congiunzione A 1 A 2 è vera in una struttura se e solo se sono veri entrambi gli enunciati congiunti: A A 1 A 2 se e solo se A A 1 e A A 2 La verità di enunciati contenenti connettivi:

47 2) Una disgiunzione A 1 A 2 è vera in una struttura se e solo se è vero almeno uno degli enunciati disgiunti: A A 1 A 2 se e solo se A A 1 o A A 2

48 3) Unimplicazione A 1 A 2 è vera in una struttura se e solo se è falso A 1 o è vero A 2 : A A 1 A 2 se e solo se A non A 1 o A A 2

49 4) una negazione di un enunciato A 1 è vera se e solo se lenunciato A 1 non è vero nella struttura: A ¬ A 1 se e solo se A non A 1

50 infine Definiamo la verità delle formule con quantificatore: 1)Una formula del tipo xA 1 sarà vera nella struttura se e solo se ogni enunciato che risulta dalla sostituzione di tutte le occorrenze della variabile x dentro A 1 con un elemento del dominio della struttura è vero nella struttura: A xA 1 se e solo se A A 1 (a/x) per ogni a A

51 Dove A 1 (a/x) significa lenunciato che risulta sostituendo ad x in A 1 il nome a dellente a

52 e a A significa che lente a appartiene al dominio A della struttura.

53 2) Una formula del tipo xA 1 sarà vera nella struttura se e solo se almeno un enunciato che risulta dalla sostituzione di tutte le occorrenze della variabile x dentro A 1 con un elemento del dominio della struttura è vero nella struttura: A xA 1 se e solo se A A 1 (a/x) per qualche a A


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