La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

B. La nascita della meccanica quantistica 1. Perché la costante h? Problema della radiazione termica Come si distribuisce lenergia in un sistema composto.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "B. La nascita della meccanica quantistica 1. Perché la costante h? Problema della radiazione termica Come si distribuisce lenergia in un sistema composto."— Transcript della presentazione:

1 B. La nascita della meccanica quantistica 1. Perché la costante h? Problema della radiazione termica Come si distribuisce lenergia in un sistema composto da radiazione e materia in condizioni di equilibrio termico? Il numero dei modi normali di oscillazione (gradi di libertà) in una cavità a temperatura T è infinito e proporzionale a ν 3. In base al principio di equipartizione ogni modo pretende unenergia ½kT. Catastrofe ultravioletta Problema dei calori specifici Perché i calori specifici tendono a zero con la temperatura? Perché gli atomi e le molecole si comportano come se avessero pochi gradi di libertà?

2 Ipotesi di Planck: lenergia totale di un sistema oscillante è la somma di elementi o quanti indivisibili є = h Ne consegue che, al crescere di ν il quanto di energia di un oscillatore tende a superare lenergia totale del sistema. Ne consegue che la stragrande maggioranza dei gradi di libertà del sistema rimane congelato. Lenergia media di un oscillatore risulta Ē = h /[exp(hν/kT) -1] ) Il calore specifico dipende da kT/h a una temperatura T = 300K, per una lunghezza donda = c/ = 4.8 m, kT/h = 0.1 c è praticamente uguale a zero

3 1.Né onde né particelle Ipotesi di Einstein (1905): Lenergia [della radiazione] non si distribuisce con continuità in un volume sempre crescente, ma è costituita da un numero finito di quanti di energia, localizzati nello spazio, che si muovono senza suddividersi e che possono essere emessi o assorbiti solo nella loro interezza

4 Evidenza a favore dellipotesi corpuscolare - Come mai solo alcuni atomi sono ionizzati qui e là da un fascio di radiazione? - Come mai in unemulsione fotografica esposta alla luce risultano anneriti solo alcuni granuli, sparsi qui e là, della sostanza fotosensibile? - Come mai per ionizzare una sostanza la radiazione deve avere una frequenza superiore a una data frequenza di soglia che dipende dalla sostanza stessa? - Come mai superfici metalliche investite dalla luce emettono elettroni in numero proporzionale allintensità della radiazione e con energia proporzionale alla frequenza della radiazione incidente? - Come mai un elemento illuminato riflette solo le frequenze inferiori alla frequenza massima dello spettro della radiazione incidente?

5

6 Contro lipotesi corpuscolare: tutti i fenomeni di diffrazione e interferenza Esempio: interferometro di Mach-Zehnder A B S R

7 Il mistero della struttura atomica Modello di Bohr: Ipotesi di base: - Lelettrone percorre soltanto le orbite determinate da valori discreti dellenergia: E = E(n), - queste orbite costituiscono stati stazionari poiché lelettrone non perde energia nel percorrerle, - lemissione e lassorbimento della radiazione avviene solo quando lelettrone effettua una transizione tra due stati stazionari, - Legge delle frequenze: le frequenze della radiazione emessa o assorbita dipendono dalle energie dei livelli tra cui avviene la transizione: nm = (E n – E m )/h

8 La transizione alla meccanica quantistica La scoperta della nuova meccanica segue due strade parallele: Einstein, Bohr, Born, Heisenberg, Jordan, Kramers, Pauli meccanica delle matrici Einstein, de Broglie, Schrödinger meccanica ondulatoria Unificazione: Schrödinger, Dirac, von Neumann meccanica quantistica

9 Meccanica delle matrici Einstein (1917): a ogni transizione m n sono associati coefficienti di probabilità - di emissione spontanea A nm - di assorbimento B mn - di emissione stimolata B nm Bohr, Kramers, Heisenberg ( ): latomo si comporta come un insieme di oscillatori caratterizzati da frequenze ben definite ν nm Heisenberg (1925): le grandezze cinematiche X(t) sono definite da ampiezze e da frequenze da due indici: X(t) = X mn exp( – 2πiν mn t)

10 Per la dinamica del sistema: V(t) = dX(t)/dt = – 2πiν mn X mn (t) = = – (2πi/h)(E m – E n )X mn (t) = (i/ )[E n X nm (t) – E m X mn (t)] Heisenberg, Born e Jordan (1925) [Draimännerarbeit]: le grandezze a due indici sono matrici: lequazione precedente si può quindi scrivere come: dX/dt = (i/ )(HX – XH) = (i/ )[H, X] Ora, per un elettrone libero, H = P 2 /m; ne segue che: dX/dt = (i/2m )[P 2, X] = (i/2m )(P[P, X] – [X, P]P) Assumendo la relazione classica dX/dt = P/m, si ottiene immediatamente che [P, X] = ( /i)I dove I è la matrice identità.

11 Dirac (1926): le grandezze che caratterizzano le proprietà di un oggetto fisico non sono più rappresentate dai semplici numeri classici, i c-numbers, ma da q-numbers, ossia da operatori rappresentabili come matrici. Lo stato del sistema è rappresentato da un vettore unitario (il cosiddetto ket, rappresentato dal simbolo |q ) in uno spazio astratto (che può essere anche a infinite dimensioni). I valori delle grandezze fisiche, che caratterizzano il suddetto stato, sono costituiti dagli autovalori delloperatore corrispondente. Nel caso dellenergia: H|q = E|q I risultati sperimentali devono però continuare a essere c- numbers: ciò comporta che gli operatori corrispondenti alle grandezze fisiche devono essere hermitiani. Il processo di misurazione fa sì che lo stato del sistema effettua una transizione istantanea in uno degli autostati possibili delloperatore in questione. La teoria permette di prevedere la probabilità di ottenere questo o quel valore della grandezza.

12 Meccanica ondulatoria Einstein: dal punto di vista termodinamico-statistico la luce si comporta come se avesse allo stesso tempo proprietà ondulatorie e proprietà corpuscolari. De Broglie: attribuendo allelettrone proprietà ondulatorie (p = h/λ) si può intepretare il postulato degli stati stazionari dellatomo. Schrödinger: la nuova meccanica sta alla meccanica classica come lottica ondulatoria sta allottica geometrica. Lo stato di un oggetto quantistico è descritto da una funzione donda ψ(x, t) definita in uno spazio complesso multidimensionale. Gli stati di un sistema legato corrispondono a onde stazionarie con valori quantizzati dellenergia. Dal punto di vista matematico, questi stati si ricavano risolvendo un problema agli autovalori.

13 La nascita dellinterpretazione ortodossa della meccanica quantistica Schrödinger (1926): il modulo quadro della la funzione donda ψ(x, t), moltiplicato per la carica dellelettrone, è una densità di carica distribuita con continuità; i livelli energetici dellelettrone atomico corrispondono a onde stazionarie: si può parlare in un certo senso di un ritorno al modello elettrostatico e magnetostatico dellatomo. Difficoltà: (1) sparpagliamento dei pacchetti donda, (2) dimensioni dello spazio in cui è definita la ψ(x, t), (3) la ψ(x, t) è una funzione complessa, (4) per uno stesso stato, la forma della ψ dipende dalle variabili scelte per la sua rappresentazione, (5) la ψ subisce un cambiamento discontinuo quando il sistema è soggetto a misurazione.

14 Linterpretazione statistica Max Born (1926): ψ(x, t) 2 dτ rappresenta la probabilità di trovare lelettrone, concepito come punto materiale, in un certo volume dτ: la ψ non rappresenta il sistema fisico in sé, ma solo la nostra conoscenza di esso. Le difficoltà (1) – (5) appaiono superate: i particolare la variazione discontinua della ψ(x, t) in seguito ad una misurazione è solo il riflesso del cambiamento della nostra conoscenza dello stato del sistema quando effettuiamo una misura. Difficoltà fondamentale: non si spiegano i processi di diffrazione e interferenza. Linterferenza è un processo fisico e non può riguardare solo la nostra conoscenza.

15 Il principio di indeterminazione di Heisenberg La definizione operativa delle principali grandezze cinematiche e dinamiche x, p, E e t comporta che le incertezze con cui esse possono essere misurate contemporaneamente sono legate dalle seguenti relazioni: ΔxΔp h ΔEΔt h Dal punto di vista intuitivo, gli oggetti quantistici possono essere visti come corpuscoli classici, ma lentità della perturbazione prodotta dallapparato, nel tentativo di ridurre lincertezza di una delle due grandezze, diviene tale da far crescere lincertezza di misura della grandezza coniugata.

16 Il principio di complementarità di Bohr Conferenza di Como dellautunno 1927: Le grandezze cinematiche e dinamiche non sono indeterminate a causa delle procedure di misurazione, ma semplicemente perché in determinati stati del sistema non sono definite. Le relazioni di Heisenberg sono una semplice conseguenza matematica dei presupposti della teoria, in particolare del principio di sovrapposizione. Un esame attento di tutti gli esperimenti, ideali o concreti che siano, mostra che non si può fare a meno di utilizzare sia la rappresentazione corpuscolare sia quella ondulatoria. Queste immagini sono complementari, poiché non entrano mai in contraddizione diretta nello stessa situazione sperimentale. Esse sono reciprocamente esclusive, ma la loro integrazione consente una descrizione completa, nel linguaggio classico, del comportamento di un oggetto quantistico.


Scaricare ppt "B. La nascita della meccanica quantistica 1. Perché la costante h? Problema della radiazione termica Come si distribuisce lenergia in un sistema composto."

Presentazioni simili


Annunci Google