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Sistemi di numerazione Codici Introduzione Max Plus II 8 Novembre 2000

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Presentazione sul tema: "Sistemi di numerazione Codici Introduzione Max Plus II 8 Novembre 2000"— Transcript della presentazione:

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2 Sistemi di numerazione Codici Introduzione Max Plus II 8 Novembre

3 Macchine per lelaborazione dellinformazione Elaborazione di segnali binari segnali binari Convertitore A/D segnali analogici Convertitore D/A segnali analogici

4 Segnali binari: esempi contatto: aperto/chiuso lampadina: accesa/spenta corrente elettrica: presente/assente tensione elettrica: High/Low levetta: alta/bassa cristallo liquido: trasparente/opaco

5 Variabili binarie logica negativa logica positiva Un bit può rappresentare un segnale binario. Bisogna però decidere quale valore fisico è rappresentato dal simbolo matematico 1. Esistono infatti due diverse possibilità usualmente denominate logica positiva e negativa Bit (binary digit) - Variabile x tale che: x B 0,1

6 Configurazioni binarie cbacba x t a t b t c n bit hanno 2 n configurazioni binarie diverse. Una configurazione di n bit può rappresentare i valori di n segnali binari ad un certo istante. Una configurazione di n bit può rappresentare i valori di un segnale binario in n istanti. Es: c b a Configurazione binaria di n bit - E una stringa di n 0 e 1. Con una configurazione di n bit si possono codificare 2 n informazioni B n-1 B2B2 b1b1 b0b0 n bit

7 Codice binario z 5 1 a m ? M informazioni …… …… …… …… …… …… ……..1 2 n config ……..1 n.u. Codice binario - Funzione dallinsieme delle 2 n configurazioni di n bit ad un insieme di M informazioni (simboli alfanumerici, colori, eventi, stati interni, ecc.). Condizione necessaria per la codifica: 2 n M

8 Proprietà di un codice Il codice è una rappresentazione convenzionale dellinformazione. La scelta di un codice è condivisa da sorgente e destinazione ed ha due gradi di libertà: il numero di bit (qualsiasi, a patto che sia 2 n M ) lassociazione tra configurazioni e informazioni; a parità di n e di M le associazioni possibili sono N = 2 n ! / (2 n -M)! Esempi: Stampanti e Calcolatori, Calcolatori e Calcolatori Codice standard - Codice fissato da norme internazionali ( de iure ) o dal costruttore di una macchina utile per tutti gli altri ( de facto ). Luso di codici standard nelle unità di I/O consente di collegare macchine fatte da costruttori diversi

9 n min = lg 2 M Codici ridondanti e non ridondanti 1684 Codici ridondanti n > n min non ridondanti Codici

10 Esempi Altri 29 miliardi di codici a 4 bit BCD segmenti N.B. 1= acceso uno su dieci più meno segno zero uno due tre quattro cinque sei sette otto nove Cifre decimali colori n.u.

11 Sistemi di numerazione

12 Posizionali il valore di un simbolo dipende dalla posizione che esso occupa allinterno della configurazione, seguendo una legge nota. I vari sistemi di numerazione posizionale differiscono per la scelta della base B. La base B indica il numero di simboli usati. (Es: decimale, binario, ottale, esadecimale) Non posizionali Il valore di un simbolo non dipende dalla posizione che esso occupa allinterno della configurazione. (es: Numeri Romani) Sistemi di numerazione

13 Nei sistemi posizionali, i simboli di una configurazione possono essere interpretati come i coefficienti del seguente polinomio [1] B = base d i = i-esima cifra [0..B-1] n = numero di cifre parte intera m = numero di cifre parte frazionaria La virgola e posta tra le cifre di posizione 0 e –1. Come interpretare i simboli in un sistema posizionale ?

14 Esempio: sistema decimale Il numero decimale può essere rappresentato come segue: B = 10base n=3numero cifre parte intera m=1numero cifre parte frazionaria cifra posizione peso = 135.2

15 Il sistema di numerazione binario Il sistema di numerazione binario (sistema di numerazione in base 2) si compone di due simboli d i {0,1} e (quindi) di una base B di dimensione 2. Ogni simbolo, denominato bit (binary digit ), può assumere due valori rappresentati dai simboli logici 0 e 1. Quando una variabile assume più di due possibili valori si ricorre ad una configurazione formata da più cifre binarie (configurazione binaria) Essendo un sistema di numerazione posizionale, data una cifra binaria e possibile determinarne il valore (ad esempio) decimale interpretando i simboli che la compongono come i coefficienti del polinomio [1].

16 Esempio: Quale è il valore decimale corrispondente al numero binario ? cifra peso valore = = 13 10

17 Come derivare il codice Binario da quello Decimale: numeri interi Per ottenere il valore binario, di un numero intero codificato nel sistema decimale si procede utilizzando un metodo iterativo di successive divisioni per 2.

18 Come derivare il codice Binario da quello Decimale: numeri frazionari Si separa la parte intera da quella frazionaria, La parte intera si calcola come nel caso precedente La parte frazionaria si ottiene come segue: 1. Si moltiplica la parte frazionaria per 2 2. Se il numero ottenuto è maggiore di 1, si sottrae 1 e si considera come prima cifra dopo la virgola un Se invece il numero è nella forma 0,….. => la cifra da inserire è uno Si ripete dal passo 1 fino a che il numero di partenza non è zero. Esempio: =

19 Sistemi di numerazione Ottale ed Esadecimale Quando per la rappresentazione di un numero si utilizzano molte cifre binarie può convenire usare altri sistemi di numerazione. I sistemi ottale ed esadecimale sono utilizzati principalmente per rappresentare in modo più compatto i numeri binari. I simboli del sistema Ottale sono 8: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} I simboli del sistema Esadecimale sono 16: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }

20 Binario -> Ottale Per passare dalla codifica Binaria a quella Ottale, si raggruppano le cifre binarie a gruppi di 3 (a partire da destra) e le si sostituiscono con una cifra del sistema ottale. Esempio : = Ottale -> Binario Per passare dalla codifica Ottale a quella Binaria, si sostituisce ad ogni cifra ottale la corrispondente codifica binaria (composta da 3 cifre). Esempio : = Cambiamenti di base

21 Binario -> Esadecimale Per passare dal codice Binario a quello Esadecimale, si raggruppano le cifre a gruppi di 4 (a partire da destra) e le si sostituiscono con una cifra del sistema esadecimale. Esempio : = 91F 16 Esadecimale -> Binario Per passare dal codice Esadecimale a quello Binario, si sostituisce ad ogni cifra esadecimale la corrispondente configurazione binaria (composta da 4 cifre). Esempio : A7F 16 =

22 Esempio 1 Esempio 2

23 Decimale Binario Ottale Esadecimale dcba A B C D E F Codifica dei primi 16 numeri nei quattro sistemi di numerazione

24 Relazione tra diversi i codici della tabella precedente utilizzando le mappe di Karnaugh

25 Codici

26 Reti di trascodifica La codifica binaria è efficiente per svolgere operazioni aritmetiche. Spesso però accade che allinterno di una macchina digitale vengano usati diversi tipi di codifica per codificare le stesse informazioni. Ad esempio per: Facilitare linterazione (visualizzazione di informazioni, inserimento di dati, etc) Efficienza (compressione di informazioni, velocità di elaborazione, etc) Le trasformazioni di codice sono affidati a reti denominate TRASCODIFICATORI. Codice ACodice B Trascodificato re N1N2

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28 Il Codice BCD (Binary Coded Decimal) Ad ogni cifra decimale sono associati 4 bit, secondo la tabella seguente: Dalla tabella è possibile osservare che esistono delle configurazioni non usate dal codice BCD ([ ]).

29 Utilizzando il codice BCD si ha una corrispondenza biunivoca fra il numero di cifre decimali e binarie. Questo codice consente di avere dei circuiti di visualizzazione dei numeri decimali piu semplici. Esempio : La codifica del numero decimale 27 con il codice BCD è la seguente.

30 Codice 1 su N E un codice che associa ad ognuna delle n possibili configurazioni una stringa di n bit avente un solo bit a 1. Esempi: Calcolatori tascabili: utilizzato per immettere dati attraverso la tastiera numerica. Negli ascensori: è utilizzato per visualizzare la posizione dei piani raggiunti e per selezionare il piano da raggiungere (vedi figura) T Pusanti ascensore Codifica 1 su N

31 Codice a sette segmenti Codice utilizzato nei display per consentire la rappresentazone grafica di cifre decimali (esteso anche per la rappresentazione degli ulteriori 6 simboli del codice esadecimale). Impiega 7 bit (a,b,c,d,e,f,g ) per codificare i 10 simboli decimali a b c d e fg a b c d e fg abcdefg a b c d e fg abcdefg

32 Codice a matrice di punti Impiega MxN bit per consentire la rappresentazione di simboli grafici su una matrice di punti di M righe e N colonne. Utilizzato per la visualizzazione dei caratteri nei monitors, nei display dei telefonini, nei display delle calcolatrici, ……… N M

33 Codice Gray E usato per la codifica della posizione angolare di alberi rotanti. E' un codice a distanza 1.

34 Codice ASCII Il codice ASCII è non ridondante, perchè i simboli che vengono codificati sono in numero pari alle configurazioni ottenibili con 7 cifre binarie. Ampiamente utilizzato in computer, stampanti,…

35 Esempio: Sequenza di codici impiegati in una calcolatrice tascabile

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37 Situazioni di errore nei sistemi digitali A B => Malfunzionamento di uno dei blocchi Rumore sulle linee di trasmissione Quale è la probabilità che si verifichi un errore ? Detta p la probabilità che un singolo bit venga accidentalmente alterato, si può calcolare la probabilità che in un blocco di n bit vi siano contemporaneamente e errori:

38 Principio di base per la rilevazione e la correzione degli errori Il codice alla sorgente deve contenere configurazioni non utilizzate, disposte in modo che un errore agente su di una configurazione valida la trasformi in una non utilizzata, e quindi sia riconoscibile in ricezione. E necessaria la ridondanza, ma non è sufficiente. Distanza di due configurazioni binarie il numero di bit per cui le due configurazioni differiscono. Distanza minima di un codice: la minima distanza tra due qualunque delle configurazioni del codice.

39 Esempi di codifica di un set di due informazioni:

40 Codice a rilevazione di errore (singolo) basato sul bit di parità. Data una sequenza di n bit, si definisce bit di parità quel bit che aggiunto alla sequenza rende pari il numero di 1. Il bit di parità puo essere calcolato sfruttando le proprietà della somma modulo 2 (OR-Esclusivo- ). 0 0 = = = = 0

41 Un codice consente la rilevazione al più di R errori se la sua distanza minima è R+1; Un codice consente la correzione al più di C errori se la sua distanza è minima 2C+1; Codici a rilevazione e correzione derrore: Teoremi di Hamming

42 Esempio dutilizzo della distanza: codice a correzione derrore: Codice ridondante con distanza minima 3: ON 000 OFF

43 Altera Max Plus II Ambiente software (CAD) per la progettazione e la simulazione di circuiti logici. Consente di gestire la complessità attraverso l'approccio gerarchico. La metodologia di progetto si basa sulla suddivisione del problema affrontato in più livelli di blocchi interconnessi via via più semplici. La progettazione assistita dal calcolatore è più rapida e affidabile della progettazione verificata direttamente sulla realizzazione hardware. L'ambiente di lavoro Max + Plus II consente di trasferire il progetto su circuiti integrati programmabili detti Field Programmable Gate Array (FPGA).

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45 Progetto gerarchico Un progetto gerarchico e' un progetto suddiviso su più livelli. Ad ogni livello è associata una descrizione funzionale o una struttura di blocchi interconnessi I2 I3 I1 Z1 Z2 A Z1 Z2 I2 I3 I1 B11 B2 Livello 0 Livello 1 Livello 2 Livello 3

46 Struttura & Comportamento di una rete logica combinatoria sintesi analisi …… …… …… …… …… …… ……..1 0 oppure 1 x 1 x 2 x 3 … x n z = F(x 1,.., x n ) Tabella della verità x1x2x3xnx1x2x3xn z GkGk G3G3 G2G2 G1G1 Rete logica combinatoria ?

47 ZaZa B A AND Z a = A·B ZoZo B A OR Z o = A + B A ZnZn NOT Z n = A Mediante il principio di decomposizione è possibile scomporre la rete di partenza in reti sempre più semplici fino ad arrivare ad una descrizione basata esclusivamente sugli operatori logici fondamentali (AND, OR, NOT).

48 Verifica della Proprietà Associativa mediante simulazione Ipotesi semplificativa: Il comportamento degli operatori dellalgebra di commutazione coincide con quello dei circuiti logici reali nellipotesi di considerare il ritardo di propagazione degli operatori logici nullo. Proprietà Associativa (I): A+B+C = (A + B) + C La verifica della Proprietà Associativa può essere ottenuta verificando con il simulatore che le risposte delle due reti a tutte le possibili configurazioni di ingresso siano uguali.

49 Proprietà Associativa (I): A+B+C = (A + B) + C

50 Il risultato della simulazione è il seguente: Per verificare che le uscite dei due circuiti sono effettivamente uguali si può sfruttare loperatore OR-esclusivo (XOR). Z= A B A B Z Luscita delloperatore XOR è 1 se i due ingressi sono diversi. Quindi può essere utilizzato per evidenziare le differenze tra i due segnali Z0 e Z1 come nello schema logico seguente.

51 Luscita DIFF varrà 1 se e solo se Z0 e Z1 sono diversi.

52 Nel caso esaminato luscita DIFF varrà 1 se e solo se Z0 e Z1 sono diversi. Come risulta dalla simulazione: DIFF rimane sempre a 0 con qualsiasi sequenza di simboli di ingresso. E importante osservare che la verifica di un teorema con il simulatore è valida se e solo si simula il comportamento della rete con tutte le possibili sequenze di ingresso ammesse. Si osservi inoltre che la proprietà associativa non vale con tutti gli operatori logici. Ad esempio non vale per gli operatori logici NAND e NOR.

53 Verifica del Teorema di De Morgan mediante simulazione Anche la verifica del Teorema di De Morgn può essere ottenuta verificando che le risposte delle due reti a tutte le possibili configurazioni di ingresso sono uguali. A B = A + B Teorema di De Morgan (I):

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55 Risultato della simulazione: Anche in questo caso per verificare che le uscite dei due circuiti sono effettivamente identiche si utilizza loperatore logico OR-esclusivo (XOR).

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57 In questo schema luscita DIFF vale 1 se e solo se Z0 e Z1 sono diversi. Come risulta dalle forme donda le due reti producono la stessa uscita con le stesse sequenze di ingresso. Per esercizio: utilizzando il simulatore dimostrare la seconda forma del teorema di De Morgan.


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