L’INTEGRALE Ecco cosa ci mancava !!!.

Presentazione sul tema: "L’INTEGRALE Ecco cosa ci mancava !!!."— Transcript della presentazione:

1 L’INTEGRALE Ecco cosa ci mancava !!!

2 Forza, cominciamo! Consideriamo la generica funzione a lato
Vogliamo calcolare l’area sottesa nell’intervallo [a, b] Come facciamo?

3 Al solito: scomponiamo!
Eh si! La “tecnica base” è sempre la stessa: suddividiamo l’area che ci interessa in tanti rettangoli

4 Qualche precisazione L’intervallo [a,b] è stato suddiviso in n parti uguali, ciascuna di ampiezza: Dx = (b-a)/n = base di ogni rettangolo Il poligono ombreggiato si chiama “plurirettangolo inscritto” e la sua area rappresenta un’approssimazione per difetto dell’area da calcolare; approssimazione, come sappiamo, tanto più precisa quanto più alto è il numero n delle suddivisioni di [a,b].

5 Plurirettangolo inscritto
Area plurirettangolo inscritto = approssimazione per difetto dell’area sottesa dalla funzione in [a,b] = somma aree rettangoli ombreggiati =

6 E i rettangoli tratteggiati?
Tutta la parte tratteggiata rappresenta il “plurirettangolo circoscritto”

7 Plurirettangolo circoscritto
Area plurirettangolo circoscritto = approssimazione per eccesso dell’area sottesa dalla funzione in [a,b] = somma aree rettangoli tratteggiati =

8 Generalizziamo un po’…
Consideriamo non una funzione monotona ma una continua in [a, b] Agli estremi dei rettangoli inscritti e circoscritti dobbiamo sostituire, rispettivamente, i valori minimo (mk) e massimo (Mk) della funzione in ogni intervallino [xk-1, xk]

9 Otteniamo: Area plurirettangolo inscritto = “somma area inferiore”:
Area plurirettangolo circoscritto = “somma area superiore”:

10 convergono allo stesso limite.
Si può dimostrare, sotto l’ipotesi della continuità di f(x) su [a,b], che: la successione delle somme aree inferiori: e la successione delle somme aree superiori: convergono allo stesso limite. Tale limite comune è detto “integrale definito” della f(x) su [a,b] e indicato col simbolo:

11 INTEGRALE DEFINITO Il simbolo “  “ è stato scelto perché può essere visto come una “S” di “Somma” stilizzata. Il prodotto f(x) dx ricorda che ciascun addendo, delle somme di cui si sta indicando il limite, è costituito dal prodotto di un valore della f(x) per un incremento della variabile indipendente (Dx).

12 Proprietà dell’integrale
Ricordiamo l’interpretazione geometrica da cui siamo partiti?

13 Calcolo di un integrale definito
Nota: f(x) = “primitiva” di f(x) d(f(x))/dx = f(x)

14 L’ è lineare