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LINTEGRALE Ecco cosa ci mancava !!!. Forza, cominciamo! Consideriamo la generica funzione a lato Vogliamo calcolare larea sottesa nellintervallo [a, b]

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Presentazione sul tema: "LINTEGRALE Ecco cosa ci mancava !!!. Forza, cominciamo! Consideriamo la generica funzione a lato Vogliamo calcolare larea sottesa nellintervallo [a, b]"— Transcript della presentazione:

1 LINTEGRALE Ecco cosa ci mancava !!!

2 Forza, cominciamo! Consideriamo la generica funzione a lato Vogliamo calcolare larea sottesa nellintervallo [a, b] Come facciamo?

3 Al solito: scomponiamo! Eh si! La tecnica base è sempre la stessa: suddividiamo larea che ci interessa in tanti rettangoli

4 Qualche precisazione Lintervallo [a,b] è stato suddiviso in n parti uguali, ciascuna di ampiezza: x = (b-a)/n = base di ogni rettangolo Il poligono ombreggiato si chiamaplurirettangolo inscritto e la sua area rappresenta unapprossimazione per difetto dellarea da calcolare; approssimazione, come sappiamo, tanto più precisa quanto più alto è il numero n delle suddivisioni di [a,b].

5 Plurirettangolo inscritto Area plurirettangolo inscritto = approssimazione per difetto dellarea sottesa dalla funzione in [a,b] = somma aree rettangoli ombreggiati =

6 E i rettangoli tratteggiati? Tutta la parte tratteggiata rappresenta il plurirettangolo circoscritto

7 Plurirettangolo circoscritto Area plurirettangolo circoscritto = approssimazione per eccesso dellarea sottesa dalla funzione in [a,b] = somma aree rettangoli tratteggiati =

8 Generalizziamo un po… Consideriamo non una funzione monotona ma una continua in [a, b] Agli estremi dei rettangoli inscritti e circoscritti dobbiamo sostituire, rispettivamente, i valori minimo (m k ) e massimo (M k ) della funzione in ogni intervallino [x k-1, x k ]

9 Otteniamo: Area plurirettangolo inscritto = somma area inferiore: Area plurirettangolo circoscritto = somma area superiore:

10 Si può dimostrare, sotto lipotesi della continuità di f(x) su [a,b], che: la successione delle somme aree inferiori: e la successione delle somme aree superiori: convergono allo stesso limite. Tale limite comune è dettointegrale definito della f(x) su [a,b] e indicato col simbolo:

11 INTEGRALE DEFINITO Il simbolo è stato scelto perché può essere visto come una S di Somma stilizzata. Il prodotto f(x) dx ricorda che ciascun addendo, delle somme di cui si sta indicando il limite, è costituito dal prodotto di un valore della f(x) per un incremento della variabile indipendente ( x).

12 Proprietà dellintegrale Ricordiamo linterpretazione geometrica da cui siamo partiti?

13 Calcolo di un integrale definito Nota Nota (x) = primitiva di f(x) (x) = primitiva di f(x) d( (x))/dx = f(x) d( (x))/dx = f(x)

14 L è lineare


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