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Il laboratorio di matematica per costruire un ambiente di insegnamento apprendimento volto alla costruzione di significati degli oggetti matematici: i.

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Presentazione sul tema: "Il laboratorio di matematica per costruire un ambiente di insegnamento apprendimento volto alla costruzione di significati degli oggetti matematici: i."— Transcript della presentazione:

1 Il laboratorio di matematica per costruire un ambiente di insegnamento apprendimento volto alla costruzione di significati degli oggetti matematici: i casi dell'algebra e della geometria Domingo Paola Liceo Issel di Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova

2 Gli studenti della scuola secondaria generalmente sembrano avere una certa conoscenza dei concetti e delle abilità basilari in algebra e geometria. Però, i risultati di diverse indagini valutative indicano che spesso gli studenti non sono capaci di applicare tali conoscenze in situazioni di problem solving, né sembrano comprendere molte delle strutture che stanno sotto tali concetti e abilità. Gli allievi colmano tale loro incapacità a comprendere, memorizzando regole e procedure e finiscono così inevitabilmente col credere che queste rappresentino l'essenza dell'algebra: una grossa maggioranza degli allievi ritiene infatti che la matematica sia un elenco di regole e molti giudicano che l'apprendimento della matematica consista sostanzialmente nel mandarle a memoria.

3 Una didattica sensata dellalgebra: lalgebra come strumento di pensiero Il problema è quello di sviluppare una opportuna didattica in cui gli allievi imparino a diventare padroni del senso dei simboli che usano, evitando quell'addestramento per memorizzazione di regole e meccanismi formali, il quale favorisce invece l'idea che il senso di una formula e delle trasformazioni su di essa consista soltanto nella sua struttura sintattica

4 Il problema va studiato: da un punto di vista epistemologico da un punto di vista cognitivo da un punto di vista didattico Epistemologicamente: distinzione tra processi computazionali e oggetti astratti Cognitivamente: dialettica tra aspetti operativi e strutturali della stessa nozione; attenzione alle fasi di interiorizzazione del processo, di condensazione (quando ci si può riferire al processo come scatola nera) e reificazione (che dà come prodotto loggetto matematico); deissi e metafore come funzioni del linguaggio che producono la generalizzazione Didatticamente: lapprendistato cognitivo e il laboratorio di matematica

5 Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dellalgebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. 1. Chiamare in causa i simboli al momento e nel modo giusto Esempio 1: i quadrati magici 7 45 Somma = 21 Facile!

6 5 42 Somma 10 Ma è possibile? S-a-b (3) S-a-c (1) (2) S-b-c (5) b+c-a a+b-c (4) -b+a+c (6) b ac Somma S

7 Poiché la condizione di possibilità è che S = 3b, ne segue che il secondo quadrato è impossibile … si tratta di una vera e propria dimostrazione. Esempio 2. Il rettangolo di Arcavi Si consideri un rettangolo; che cosa capita alla sua area se un lato diminuisce del 10% e l'altro aumenta del 10%? 20 cm 22 cm 9 cm 10 cm

8 È solo con il ricorso al linguaggio algebrico che la situazione può essere interpretata in forma chiara e incontrovertibile: se il rettangolo di partenza ha lati di lunghezza a e b, l'area del secondo rettangolo vale 1,1a. 0,9b = 0,99ab cioè l'area diminuisce dell'1%. Generalizzazione del problema: i lati di un rettangolo vengono incrementati, luno secondo un fattore h e laltro secondo un fattore k. Come varia larea del rettangolo? ha kb a(1+h)b(1+k) a b a(1+h) b(1+k) Esplorazioni grafiche, esplorazioni numeriche, anche con lausilio degli strumenti di calcolo automatico

9 2. Prevedere quando utilizzare la funzione algoritmica (sintattica) e la funzione simbolica (semantica) del linguaggio dell'algebra. Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dellalgebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. Esempio: Ipotesi: 1.a, b, c sono numeri naturali non nulli 2.MCD(a, b, c) = 1 3.a 2 + b 2 + c 2 = k 2 Tesi: uno solo tra i tre numeri è dispari

10 Il frame è quello dei numeri pari – numeri dispari; ossia considero numeri del tipo 2n e 2n+1 (funzione simbolica) (2n) 2 = 4n 2 (2n+1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 = 4(n 2 +n) +1 (funzione algoritmica) P: il quadrato di un numero naturale n è un multiplo di 4 (se n è pari), oppure diviso per 4 dà come resto 1 (se n è dispari) (funzione simbolica) Relativamente ai numeri a, b, c possiamo considerare i seguenti casi: 1. a, b, c, sono tutti pari. Tale caso contrasta con lipotesi 2 (se tutti i numeri sono pari, allora non sono primi fra loro) e deve quindi essere rifiutato (funzione simbolica). 2. a, b, c, sono tutti dispari. Allora, per la proposizione P, a 2, b 2, c 2 divisi per 4 danno come resto 1 (funzione simbolica) ; 4g +1, 4j + 1, 4u + 1 = 4(g + j + u) + 3 (funzione algoritmica) che, per la proposizione P non può essere un quadrato perfetto. Allora tale caso contrasta con lipotesi 3 e deve quindi essere rifiutato (funzione simbolica).

11 3) Due fra a, b, c sono dispari e il terzo è pari. Supponiamo, senza perdere in generalità, che a e b siano dispari, ossia a= 2m +1 e b = 2n + 1, mentre c sia pari, ossia c = 2x (funzione simbolica). a 2 + b 2 + c 2 = 4m 2 + 4m n 2 + 4n x 2 = 4(m 2 + m + n 2 + n) + 2, (funzione algoritmica) divisa per 4 dà come resto 2, quindi, per la proposizione P non può essere un quadrato perfetto. Allora tale caso contrasta con lipotesi 3 e deve quindi essere rifiutato (funzione simbolica). 4). Due fra a, b, c sono pari e il terzo è dispari. Supponiamo, senza perdere in generalità, che a e b siano pari, ossia a= 2m e b = 2n, mentre c sia dispari, ossia c = 2x + 1 (funzione simbolica). a 2 + b 2 + c 2 = 4m 2 + 4n 2 + 4x 2 + 4x + 1 = 4(m 2 + n 2 + x 2 + x) +1 (funzione algoritmica). Tale numero, diviso per 4 dà come resto 1, quindi, per la proposizione P, è un quadrato perfetto. Allora questultimo caso considerato non contrasta con alcuna delle ipotesi del problema ed è quindi lunico accettabile. (funzione simbolica).

12 3. Trasformare formule in altre di significato equivalente, ma di sensi non equivalenti Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dellalgebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. Esempio. Considera il predecessore del quadrato di un numero dispari. Che cosa si può dire? (2n+1) 2 – 1 Formule equivalenti relativamente al significato, ma non equivalenti relativamente al senso. Lultima suggerisce che si può dire che si ottiene sempre un multiplo di 8 Che cosa ci dicono le seguenti formule fra loro equivalenti? 4n 2 + 4n 4n(n + 1)

13 Esempio. Un numero di due cifre viene addizionato al numero che si ottiene invertendo le sue cifre. Si divide la somma ottenuta per la somma delle cifre del numero dato e si eleva al quadrato il risultato. Che tipo di regolarità si osserva? Sai spiegare perché? Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dellalgebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. 4. Scegliere opportunamente i simboli (mettere in formula) ab + ba = 2ba [2ba/(b+a)] 2 = ….???? 10a + b 10b + a 10a + b + 10b + a = 11(a+b) 11(a+b)/(a+b) = = 121

14 Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dellalgebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. 5. Controllare ed esercitare la manipolazione formale in modo flessibile, finalizzandola allobiettivo da raggiungere Esempio. Un pavimento rettangolare è piastrellato con grandi mattonelle quadrate (diciamo 7 x 5 mattonelle, tanto per fissare le idee). Le mattonelle del bordo (nel nostro caso sono 20) hanno un colore diverso da quelle interne (nel nostro caso sono 15). Trovare tutti i casi in cui il numero dei due tipi di mattonelle è uguale.

15 a b Indicando con a e b, rispettivamente, i numeri di mattonelle del bordo orizzontale e di quello verticale, imponiamo un'equazione che porti a primo membro il numero di mattonelle interne (ottenuto come differenza tra il numero totale di mattonelle e quelle del bordo) e a secondo membro il numero di mattonelle del bordo. ab [2a + 2(b 2)] = 2a + 2(b 2)

16 Eseguiamo i calcoli (lasciamo libera la "bestia del calcolo") e otteniamo: ab 4a 4b + 8 = 0 ossia a(b 4) 4(b 2) = 0 Recuperiamo il significato di quello che stiamo facendo. Se vogliamo rispondere al problema dobbiamo trovare condizioni su a e su b, ossia sui numeri di mattonelle del bordo orizzontale e di quello verticale. Se nella seconda parentesi avessimo b 4 in luogo di b 2 potremmo raccogliere ed ottenere un'equazione del tipo xy = c (capacità anticipatoria). Possiamo addizionare 8 ad entrambi i membri dell'equazione ab 4a 4b + 8 = 0. Otteniamo ab 4a 4b + 16 = 8, ossia a(b 4) 4(b 4) = 8 e, infine (a 4)(b 4) = 8 (capacità di manipolazione flessibile: utilizziamo le scomposizioni in modo non standard, almeno in modo diverso da quello che si utilizza di solito nella pratica didattica).

17 Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dellalgebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. 6. Riconoscere il diverso statuto delle lettere in una formula Esempio. È noto che l'espressione y = mx + n rappresenta una funzione affine in forma (quasi) generale. Nessuno ha difficoltà a spiegare il senso di quello che si ottiene sostituendo ad esempio i numeri 2,3 alle lettere m, n. L'espressione risultante y = 2x + 3 rappresenta una certa retta fra tutte quelle rappresentate dall'espressione di partenza, precisamente quella di pendenza 2 che incontra l'asse y nel punto di ordinata 3. Facciamo ora nell'espressione di partenza la sostituzione x = 2, y = 3; si ottiene l'espressione 3 = 2m + n: che cosa rappresenta? Quale il senso delle lettere m e n in essa?

18 Riassumendo, linsegnamento dellalgebra dovrebbe … essere finalizzato allacquisizione del senso dei simboli sfruttare la tecnologia, per potenziare la capacità di esplorare una situazione, osservare regolarità, produrre congetture assecondare i processi genetici di transizione al simbolo a partire dai campi di esperienza degli allievi, dando tempo e spazio a tutte quelle attività che favoriscono tali processi (interazione sociale, mediazione del linguaggio naturale parlato e scritto, esplorazioni,...) proporre diversi esempi di problemi stimolanti nell'ambito di vari campi di esperienza, che possono essere sia interni, sia esterni alla matematica (combinatoria; modelli fisici, medico-biologici, economici; probabilità e statistica; aritmetica; geometria; …) avviare alla generalizzazione, alla dimostrazione, al sapere teorico

19 Esempi di attività nel campo di esperienza dellaritmetica Che cosa si può dire della somma di due numeri dispari consecutivi? Che cosa si può dire del prodotto di tre numeri consecutivi? Che cosa si può dire del prodotto (p - 1)(q 2 - 1) se p e q sono dispari? Che cosa si può dire della somma di tre numeri consecutivi? Che cosa i può dire della somma di cinque numeri consecutivi? Che cosa si può dire della somma di quattro numeri consecutivi? Che cosa si può dire della somma di m numeri consecutivi? Che cosa si può dire del prodotto di quattro numeri consecutivi? Che cosa si può dire del prodotto di m numeri consecutivi?

20 Esempi di attività nel campo di esperienza dellaritmetica È vero che se ab è divisibile per n e a non è divisibile per n, allora b è divisibile per n? Giustifica la risposta e, in caso negativo, determina, se possibile, le condizioni su a e b affinché la risposta sia positiva. La dimostrazione dellinfinità dei numeri primi … ma il prodotto di un numero finito di primi consecutivi + 1 è sempre primo? Le formule che generano numeri primi: n 2 +n +11 ; n 2 - n +41 … È vero che n e n+1 sono primi fra loro? Come eseguono i manipolatori simbolici i test di primalità? Quale è la condizione di uscita per un programma che provi a dividere per numeri minori di quello di cui si vuole testare la primalità?

21 Primo esempio di utilizzazione di Cabri Terza media – primo anno di scuola superiore Introduzione di un argomento di geometria: i criteri di congruenza dei triangoli Liberamente tratto da Dreyfus, T. & Hadas, N Proof as answer to the question why, ZDM. Due triangoli sono congruenti se …Un triangolo è determinato da … Sono formulazioni logicamente, ma non cognitivamente equivalenti Noi useremo Cabri per esplorare le relazioni tra le informazioni disponibili su lati e angoli di un triangolo e la possibilità o meno di individuare il triangolo.

22 Nei file che ora esamineremo ho utilizzato tre differenti colori: il blu per i dati, ossia angoli e lati noti del triangolo (parametri) il rosso per i dati trasportati o, meglio, per evidenziare, nei triangoli costruiti, lati e angoli dati (parametri fissati nel particolare problema) il verde per gli oggetti che è possibile muovere per compiere le esplorazioni (variabili indipendenti) il nero per gli oggetti dei triangoli costruiti che si muovono al variare degli oggetti verdi (variabili dipendenti) Lazzurro – verde pastello, tratteggiandoli, per gli oggetti non essenziali (artifici retorici per spiegare meglio).

23 Presentazione dei criteri di congruenza dei triangoli. Attività di esplorazione su costruzioni realizzate dallinsegnante. Modalità di esplorazione: guidata dallinsegnante (è linsegnante che dice che cosa muovere e che cosa non muovere o che cosa muovere prima o dopo). Lobiettivo è quello di fondare i criteri di congruenza su un vasto campo di esperienze e osservazioni e poi prendere questi criteri come ipotesi di partenza per lo sviluppo di attività geometriche, anche di piccole catene deduttive a partire dai criteri di congruenza. Il fatto che sia possibile dimostrare il secondo e il terzo a partire dal primo, sarà oggetto di studi successivi, se e quando verrà presentata unimpostazione assiomatica della geometria. Come è stato utilizzato Cabri in questo esempio?

24 Secondo esempio di utilizzazione di Cabri Scuola secondaria superiore (studenti esperti) I problemi aperti in Cabri per un avvio al pensiero teorico e al concetto di dimostrazione. Problema Sia dato un quadrilatero ABCD. Tracciate gli assi a del lato AB, b del lato BC, c del lato CD, d del lato DA. Sia A' il punto di incontro degli assi a e b, B' il punto di incontro di b e c, C' il punto di incontro di c e d, D' il punto di incontro di a e d. Studiare come varia A'B'C'D' al variare di ABCD. Dimostrate le congetture prodotte durante l'esplorazione fatta in Cabri. Per una descrizione dellattività svolta da un gruppo di alunne di quarta liceo scientifico PNI vedere Paola, D.: 2004, Dimostrazioni e ambienti di geometria dinamica. Quali relazioni? Didattica delle Scienze, n.229,

25 Un altro esempio Costruire un quadrato esternamente a ogni lato di un quadrilatero. Considerare il quadrilatero che si ottiene congiungendo i centri dei quattro quadrati così ottenuti. Le diagonali del quadrilatero che si ottiene congiungendo i centri dei quattro quadrati risultano fra loro perpendicolari. Ora Cabri mi convince che questa osservazione corrisponde al vero, ma perché è così? 1.le diagonali continuano a essere perpendicolari anche se invece di quattro quadrati ho quattro rettangoli fra loro simili. Perché? 2.Se in luogo di quattro quadrati costruisco quattro rombi simili le diagonali sono uguali. Perché?

26 Situazione:... troverai un melo M, un pino P e una quercia Q. Da M dirigiti in linea retta fino a raggiungere P. Qui gira verso la tua destra di 90 gradi e percorri un segmento uguale a MP. Pianta in questa posizione un paletto P1. Quindi ritorna in M e dirigiti verso Q in linea retta. Giunto in Q gira a sinistra di 90 gradi e percorri un segmento uguale a MQ. Pianta, in questa posizione un paletto P2. Il tesoro T si trova nel punto medio del segmento P1P2. M QP P2 P1 T Problema: Ariele giunge sullisola e non trova più il melo M. Potrà trovare ugualmente il tesoro? Come e perché?

27 Considero P2P2T e P1P1T: se sono congruenti T è punto medio sia di P1P2, sia di P1P2 Considero MMQ e QP2P2 MQ=QP2 MQM = P2QP2 perché complementari di uno stesso angolo. Quindi MM=P2P2 Analogamente P1P1=MM Quindi P1P1 = P2P2. Inoltre P2TP2=P1TP1. Infine P2 e P2 sono i corrispondenti di M e M in una rotazione di 90°. Quindi P2P2 è perpendicolare a MM. Analogamente lo è P1P1. Quindi P2P2 e P1P1 sono paralleli … L a dimostrazione di Vittorio, Valentina, Gabriele

28 Qualche riflessione conclusiva sulluso di Cabri nellavvio al pensiero e al sapere teorico Cabri sembra creare una sorta di spazio per la comunicazione, aiutando gli studenti, impegnati nella risoluzione di problemi, a comunicare idee e strategie risolutive Luso di Cabri e la proposta di problemi aperti favoriscono attività di osservazione, scoperte e produzione di congetture, dando luogo alla necessaria continuità cognitiva tra le fasi di produzione di una congettura, costruzione e sistemazione della dimostrazione È necessaria una genesi strumentale, sulla quale linsegnante ha forti responsabilità. A questo proposito diventano assai importanti le osservazioni sulle metafore, sulle parole, sui gesti utilizzati dagli studenti, soprattutto se si condivide che la conoscenza sia profondamente embodied, situata.


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