esplorazioni, osservazioni, produzione e validazione di congetture

Presentazione sul tema: "esplorazioni, osservazioni, produzione e validazione di congetture"— Transcript della presentazione:

1 esplorazioni, osservazioni, produzione e validazione di congetture
L'ambiente dei numeri: esplorazioni, osservazioni, produzione e validazione di congetture Dalla scuola materna alla scuola secondaria di secondo grado Domingo Paola Liceo scientifico “A. ISSEL” Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova NRD Università di Torino SSIS Genova Carcare, 13 Aprile 2007

2 Struttura della relazione
1 Indicazioni ed esempi per la scuola materna Scienze 2 Indicazioni ed esempi per la scuola elementare Matematica 3 Indicazioni ed esempi per la scuola secondaria di primo grado Educazione motoria 4 Geografia Indicazioni ed esempi per la scuola secondaria di secondo grado 5 Discussione Tecnologia

3 1 Scuola materna Vygotskij sottolinea l'importanza del gioco, soprattutto in età prescolastica. Il gioco offre al bambino opportunità di compiere esperienze ricche e varie. Attraverso la finzione ludica, si allarga il proprio campo di azione e di conoscenza. Il gioco è un'attività basilare per lo sviluppo intellettivo e, nella prima infanzia, la più importante. Probabilmente è il mezzo più efficiente per sviluppare il pensiero astratto.

4 1 Scuola materna Per i più piccoli, l’approccio sia davvero ludico e non richieda metacognizione, riflessione, consapevolezza. L’apprendimento può e deve spesso essere di tipo inconsapevole; conoscenza tacita, implicita. Per i più esperti, è necessaria una sempre maggiore consapevolezza, da parte dei bambini, dei concetti matematici che stanno affrontando. Apprendimento consapevole; conoscenza sempre più esplicita.

5 1 2 “FANTASTICANIMALANDO” e “NUMERINGIOCO” I.C. Corinaldo (AN)
Scuola materna Scuola elementare 2 “FANTASTICANIMALANDO” e “NUMERINGIOCO” I.C. Corinaldo (AN) Lorella Campolucci e Danila Maori Il progetto “Fantasticanimalando con i numeri” e “Numeringioco” sono stati realizzati in continuità tra la scuola dell’Infanzia e la Scuola Elementare I progetti, pur essendo centrati essenzialmente sul numero, hanno un carattere interdisciplinare, con obiettivi riferiti a diversi campi di esperienza, poiché specialmente a questa età, conoscenze e abilità, matematiche e non, vengono acquisite nella vita quotidiana, attraverso esperienze non inquadrabili e non separabili in ambiti distinti.

6 Scuola materna 1 2 Scuola elementare Al primo progetto“Fantasticanimalando con i numeri”, ha fatto seguito, l’anno successivo, “Numeringioco”. Il titolo vuole mostrare subito quel particolare legame che c’è tra l’attività ludica e le prime intuizioni e le conoscenze legate al numero. Abbiamo scelto una didattica legata ad esperienze ludiche, perché attraverso i giochi è possibile rilevare le conoscenze e le competenze dei bambini, meglio e in misura maggiore, rispetto ad altre situazioni; inoltre riteniamo fondamentale costruire, fin dai primi anni di scuola, un’immagine della matematica positiva e stimolante, per suscitare simpatia nei riguardi delle attività a carattere matematico e favorire una bella immagine di tutto ciò che riguarda la matematica

7 1 Scuola materna 2 Scuola elementare I tempi: Le esperienze sono state svolte nell’arco di due anni scolastici. Contenuti: I numeri e le loro funzioni (aspetto ordinale, cardinale, ricorsivo, numero nella misura, numero nel denaro, numero etichetta). Giochi con e sui numeri. Lettura e animazione di fiabe classiche e non. Invenzione di fiabe.

8 Attività: Sono state svolte attività diversificate nelle singole scuole, attività in comune e sono stati organizzati momenti di incontro tra bambini ed esperienze di laboratorio. Il contesto fantastico, il carattere ludico delle proposte e la possibilità di comunicare le proprie esperienze sia ai compagni che alla coniglietta “Numerina”, hanno caratterizzato questo approccio significativo e proficuo ai contenuti matematici. Caccia al numero – ricerca di numeri in vari luoghi e contesti. Ricerca dei numeri personali. Uscite didattiche (visita al supermercato, percorso casa-scuola, uscite a piedi lungo le vie della città). Scuola materna 1 Scuola elementare 2

9 1 Scuola materna 2 Scuola elementare Personaggio fantastico: un personaggio fantastico (ma realmente interpretato da un’insegnante) ha fatto visita alle varie scuole, portando oggetti e materiali legati ai numeri (strumenti per misurare, carte da gioco, dadi, monete, …). La visita di questo personaggio è stata un forte stimolo per ampliare ulteriormente le esperienze e per diffonderle nelle varie scuole; l’occasione di rimanere in contatto con la coniglietta “Numerina”, poi, ha mantenuto alta la motivazione, ha stimolato il desiderio di ricerca e la voglia di fare. Corrispondenza epistolare. Incontri tra i bambini dei due ordini di scuola. Laboratorio di giochi (durante il quale i bambini più grandi hanno condotto l’attività, spiegando i giochi “nuovi” ai bambini più piccoli).

10 1 Scuola materna 2 Scuola elementare Durante le prime esperienze di “caccia al numero”, i bambini hanno scoperto nell’ambiente di vita una gran quantità di numeri; “La targa serve per riconoscere una macchina e per capire quando hanno fatto la macchina”, “Gli adulti usano i numeri per fare gli indirizzi delle cartoline”…“ Sì, è vero! Per spedire le lettere all’indirizzo e al numero della casa”. Vicino alla scuola c’è un segnale stradale su cui è ben visibile il numero 50. Perché lì c’è quel numero? A che cosa serve?. “Perché non devi andare veloce con la macchina”, “Perché se vai più forte il vigile ti fa la multa”, “se vai a cento ti fanno la multa!” Al supermercato hanno osservato i cartellini con i prezzi, i numeri sui cartelloni pubblicitari….

11 1 Scuola materna 2 Scuola elementare Anche le attività consuete, quali il calendario e la registrazione delle presenze, le filastrocche, i ritmi, le attività con le scatole dei numeri, gli ordinamenti, le conte, sono state svolte con una maggiore consapevolezza e con l’attenzione costante a ciò che i bambini riuscivano gradualmente a costruire. Le proposte didattiche sono state ambientate a Fantasticanimalandia: uno strano paese abitato dagli animali più conosciuti e più cari ai bambini; animali che parlano, si incontrano, giocano, si vogliono bene, si fanno i dispetti… Qui vive, tra gli altri Numerina, una simpatica coniglietta così chiamata per la sua grande passione per i numeri. Numerina, un giorno, è arrivata a scuola e, immediatamente, ha suscitato la curiosità dei bambini, perché ha portato pacchi colorati, sacchetti, pergamene e altre sorprese veramente speciali … piene di numeri. I bambini le hanno rivolto mille domande: “Da dove vieni? Perché ci hai portato queste cose? A cosa servono? Cosa ci possiamo fare?”. Numerina ha parlato di sé, ma per alcune richieste ha lasciato aperti i problemi, curiosa di vedere quali giochi e quali attività i bambini avrebbero inventato con clessidre, candele, carte da gioco, dadi, monete … In seguito abbiamo continuato l’esperienza didattica sui numeri legandola ancora di più all’attività ludica e sollecitando maggiormente la risoluzione di problemi, la collaborazione e il graduale sviluppo del linguaggio.

12 La dimensione fascinatrice eludica della fiaba
1 Scuola materna 2 Scuola elementare La dimensione fascinatrice eludica della fiaba Frank Baum, 1900

13 1 Scuola materna 2 Scuola elementare I bambini della scuola elementare (prima e seconda) aiutati dalle loro maestre: 1. Leggono un adattamento della fiaba. 2. Costruiscono un modellino tridimensionale del mondo di Oz (il modellino non deve essere in scala, ma le dimensioni degli oggetti e dei personaggi devono rispettare l’ordinamento). 3. Riproducono con un disegno il modellino tridimensionale. Le produzioni realizzate nelle fasi 2. e 3. sono date ai bambini della scuola materna che:

14 1 Scuola materna 2 Scuola elementare 1. Ascoltano, dalle loro maestre, la lettura dell’adattamento della favola (per comprendere meglio le situazioni possono effettuare attività di drammatizzazione o produzione di disegni). 2. Giocano, insieme alla loro maestra al “gioco del mondo di Oz”, con il modellino tridimensionale fornito loro dai bambini della scuola elementare e cinque piccole figurine con piedistallo. 3. Giocano, in piccoli gruppi di 5, in giardino o nelle aule e nei corridoi della scuola, al “gioco del mondo di Oz”, con la maestra che funge da arbitro e garantisce il rispetto delle regole e delle consegne. I giochi, che possono essere ripetuti più volte, hanno sia carattere senso – motorio che simbolico.

15 1 Scuola materna 2 Scuola elementare Il mago di Oz Frank Baum (Adattamento di Domingo Paola da una rielaborazione del testo di Danila Rotta, per bambini di 6-8 anni, pubblicato nella collana “Le pulci con gli occhiali” – Gruppo di lavoro Anna Botto 1995)

16 1 Giochi Riempi il secchio
Scuola materna Giochi Riempi il secchio I bambini sono divisi in squadre. Ogni squadra deve riempire un secchio che si trova a breve distanza usando l'acqua contenuta in un recipiente posto al punto di partenza. Vi sono differenti contenitori e nessuna goccia d’acqua deve essere rovesciata per terra. Il primo bambino riempie un contenitore di acqua che ha a disposizione e corre a versarlo completamente nel secchio, poi torna al gruppo e rimette il contenitore al suo posto. Quindi parte il secondo bambino … I bambini possono scegliere di utilizzare anche più volte uno stesso contenitore, ma ogni bambino, in ogni gioco, può versare una sola volta. Vince la squadra che, alla fine riempie il più possibile il secchio.

17 1 Giochi Strega comanda … numero
Scuola materna Giochi Strega comanda … numero I bambini si muovono liberamente nello spazio a disposizione. Uno di loro ha il ruolo della strega.  La “strega" dice: Strega comanda numero ... uguale a (maggiore di, minore di) tre (a scelta del bambino che fa la strega, fra un insieme di numeri prestabiliti) I bambini a questo comando devono individuare e indicare, toccandolo, un insieme di stessi oggetti che rispetta le indicazioni date dalla strega. Il bambino che per primo individua correttamente l’insieme di oggetti diventa strega e il gioco ricomincia.

18 1 Scuola materna Giochi Girotondo Muoversi sempre alla stessa velocità tangenziale, ma in cerchi sempre più stretti (meglio ancora se si avesse a disposizione una piattaforma rotante): che tipo di sensazioni avvertiamo?

19 1 2 Materiali in rete Inoltre suggerisco: http://www.mathsforfun.tk/
Scuola materna 2 Scuola elementare Materiali in rete associazione di bibliotecari, pediatri, insegnanti e genitori che si propone così: Amare la lettura attraverso un gesto d'amore: un adulto che legge una storia. Ogni bambino ha diritto ad essere protetto non solo dalla malattia e dalla violenza ma anche dalla mancanza di adeguate occasioni di sviluppo affettivo e cognitivo. Questo è il cuore di Nati per Leggere. Dal 1999, il progetto ha l'obiettivo di promuovere la lettura ad alta voce ai bambini di età compresa tra i 6 mesi e i 6 anni. Fra i vari progetti stranieri segnalati da “nati per leggere” può avere un certo interesse Inoltre suggerisco:

20 Scuola materna 1 Scuola elementare 2

21 Un uso sensato ed ecologico della calcolatrice
Matematica Tecnologia 2 Scuola elementare Un uso sensato ed ecologico della calcolatrice per imparare l'aritmetica Il gioco del “batto / vedo” , , , Perché? Che cosa accadrebbe se ...?

22 2 Che cosa accadrebbe se ...? Perché? Il gioco del “ batto / vedo”
Scuola elementare 3* 3*(2+5) 3* 3* 5 – (2+3) 0 5 – 0 / 5 / impossibile Che cosa accadrebbe se ...? Perché?

23 2 Il gioco delle stime e ... la calcolatrice ? Perché?
Scuola elementare Il gioco delle stime Quanto fa ... all’incirca? 115 x X x 132 … x 3689 … e ... la calcolatrice ? Si cerca, senza calcolatrice, un intervallo che contenga il risultato e vince chi determina il più piccolo intervallo in un tempo fissato, ma sufficiente a effettuare stime sensate Viene utilizzata per determinare il risultato dell’operazione … e poi si chiede … Perché? E per rispondere alla domanda “perché il risultato è …”, si usa una procedura di calcolo scegliendola tra quelle che meno mascherano le proprietà delle operazioni Chi controlla che cosa?

24 Ordinamenti 2 Scuola elementare > 1 2 3 4 5 X
... è maggiore di … è minore di … è uguale a … è diverso da … > 1 2 3 4 5 X

25 2 Scuola elementare Lanci di due dadi + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

26 della moltiplicazione
2 Scuola elementare Le prime ... tabelline della moltiplicazione Schieramenti … e poi: Gi oggetti A e B possono presentarsi ciascuno in 3 stati. Quanti sono le possibili coppie (oggetto, stato)? Ciascuno di m oggetti dati può presentarsi in n stati diversi. Quanti sono le possibili coppie (oggetto, stato)?

27 2 Scuola elementare * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100 n^2 = (n -1) * (n+1) + 1 …

28 …………………. 2 Le prime ... potenze ^ 1 2 3 4 5 6 8 16 32 64
Scuola elementare Le prime ... potenze …………………. ^ 1 2 3 4 5 6 8 16 32 64

29 Le prime ... potenze 2 Scuola elementare …

30 … 8 2 Il cartellone dell' 8 = 0 + 8 = 1 + 7 = 2 + 6 = … = 8 + 0
Scuola elementare Il cartellone dell' 8 8 = = = = … = 8 + 0 ? + 3 = 8 8 = 1*8 = 2*4 = …. = 8*1 8 > 6 ; 7 < 8 … … 16 : 2= 8 77-69=8 … 7 8 9 2^3=8

31 2 Operazioni in riga Come giustificazione del fatto che 134 * 120 = …
Scuola elementare Operazioni in riga Come giustificazione del fatto che 134 * 120 = … Si avvia al sapere teorico (che cosa vuol dire “spiegare perché”) Si lavora sulle proprietà dei numeri e sulla scrittura posizionale Si ripassano le tabelline

32 2 Scuola elementare L'avvio alla divisione Una cavalletta, partendo dalla posizione 15, ha fatto 8 salti della stessa lunghezza per avvicinarsi il più possibile alla posizione 66, dove si trova il seme. Se arriva nella posizione 65, quanto sono lunghi i salti? Ho tre cavallette A,B,C. Se parto da 10, quale di esse mi conviene utilizzare per arrivare più vicino a 71 sapendo che A salta di 3 in 3, B di 5 in 5 e C di 6 in 6? Perché? ……………..

33 2 Scuola elementare Problemi Perché per aggiungere qualcosa devo fare “una meno”? Per esempio consideriamo questo problema: “Quanti litri di vino devo aggiungere a una damigiana che ne contiene 22 per arrivare a 50?” ? 50 – 22 oppure 22+x = 50

34 manca una sintassi per indicare le operazioni con un termine incognito
2 Scuola elementare Problemi In 50 – 22 manca una sintassi per indicare le operazioni con un termine incognito Credo che sarebbe facile produrre una calcolatrice che permette di scrivere 22+?=50 e dia il risultato corretto. Ma anche se nessuno si prenderà mai la briga di produrre un simile oggetto, possiamo ugualmente scrivere nei nostri quaderni 22+?=50, restando in pace con la primitiva intuizione che per aggiungere bisogna fare una addizione.

35 2 Scuola elementare Quello che secondo me dovrebbe essere chiarito agli studenti (non solo delle elementari) è che una cosa sono i procedimenti elementari per risolvere i problemi e un’altra i tipi di calcolo permessi dalle calcolatrici. I procedimenti elementari non sono 4 come le operazioni, ma 12, e secondo me sarebbe ora anche di chiamarli con un nome.

36 tabella dei procedimenti elementari
2 Scuola elementare tabella dei procedimenti elementari procedimento nome A+B=? Più A+?=B Piùcosa ?+A=B Cosapiù A-B=? Meno A-?=? Menocosa ?-A=? Cosameno AxB=? Per Ax?=B Percosa ?xA=B Cosaper A:B=? Diviso A:?=B Divisocosa ?:A=B Cosadiviso

37 2 Scuola elementare Quello che anche i bambini possono scoprire facilmente è che ci sono dei gruppi di procedimenti che, usando gli stessi due numeri, hanno lo stesso risultato. I gruppi risultanti sono questi 4:

38 2 Scuola elementare Si vede che ogni gruppo contiene uno dei 4 procedimenti tradizionali presenti nelle calcolatrici. Se siamo interessati al calcolo del risultato possiamo ricondurre gli altri a uno di questi. Si possono individuare anche delle regole per la trasformazione dei procedimenti.

39 2 Scuola elementare Questa sostituzione di un procedimento con un altro è un passaggio di solito nascosto nella didattica, in quanto il docente pretende di vedere subito e solo il procedimento sostitutivo, che però in genere non ha niente da spartire con il problema, mentre lo studente ha in mente il vero procedimento che traduce in operazioni il problema: ci sono studenti che dopo un po’ arrivano a vedere questo passaggio, ma credo che parecchi non abbiano questa fortuna, e cominciano ad odiare i problemi e tutto ciò che li accompagna. Alla fine del mio ragionamento, mi sono sorpreso a considerare che le sostituzioni di procedimenti sono l’essenza dell’algebra e quindi questa è presente da sempre fin dalla scuola elementare, anche se non si diceva. Giovanni Artico

40 2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Problemi A che velocità ci stiamo muovendo con la Terra intorno al Sole? Quanto pesa l’aria di questa stanza? Quanto spende all’anno Ariele per andare a scuola se si sposta in macchina e la sua scuola dista 5 km da casa? Quanti alberi occorrono per le fotocopie del nostro circolo? Tracciare un grafico che indichi la quantità d’aria presente nei polmoni in un certo intervallo di tempo. Come si può misurare la lunghezza di una circonferenza?

41 2 3 Scuola elementare Scuola media INPUT OP1 *3 +4 OP1 1 OP1 OUTPUT
1 x 3 + 4 INPUT OP1 OUTPUT 7 x 3 + 4

42 Esplorazioni a livello numerico
3 Scuola media 4 Scuola superiore In un allevamento sono presenti 3000 trote. Si sa che il numero di trote diminuisce ogni anno del 20%, per questioni legate alla pesca e alla morte naturale. Se ogni anno si introducono nell’allevamento 1000 nuove trote, come evolve il loro numero nel tempo? Esplorazioni a livello numerico OP1 * OP OP1 …..

43 Matematica - scienze - tecnologia
4 Scuola superiore Matematica - scienze - tecnologia Concentrazione di un farmaco nel corpo Una studentessa si è prodotta una distorsione al ginocchio e il suo dottore le ha prescritto un farmaco antinfiammatorio. Deve prendere una pastiglia da 440 mg ogni 8 ore per 10 giorni. A ogni nuova assunzione il suo rene ha filtrato il 60% del farmaco. Quanto farmaco c’è al massimo nel suo organismo dopo 3 giorni? E dopo 5 giorni? Cercate di studiare l’evoluzione della quantità massima di farmaco presente nel corpo ogni 8 ore; come evolve la presenza del farmaco se, dopo dieci giorni, la studentessa non lo assume più? Quanto tempo impiega a ridursi a 1/100 del farmaco presente dopo dieci giorni? 1. Esplorazioni a livello numerico 440 ENTER 0.4*ans(1)+440 ENTER …..

44 4 Può essere utile organizzare i dati i una tabella del tipo:
Scuola superiore Può essere utile organizzare i dati i una tabella del tipo:

45 Alcune idee degli studenti
4 Scuola superiore Alcune idee degli studenti “se la studentessa continuasse a prendere le pillole, la quantità massima di farmaco tenderebbe a stabilizzarsi, perché anche se aumenta del 40%, il suo rene filtra il 60% che è sempre maggiore… è come se diamo delle palate di sabbia e dal mucchio, sempre più grande, leviamo sempre il 60%, ossia una quantità sempre più grande…prima o poi quello che aggiungo è uguale a quello che levo e il processo si stabilizza” “la concentrazione del farmaco cresce sempre, ma sempre meno, ossia, la pendenza diminuisce” “parte da 440 e poi filtra il 60%, quindi abbiamo il 40% di 440 e poi il 40% di questo più 440 e così via …”

46 Variazione dei parametri
4 Scuola superiore Aspetti numerici n F(n) 440 1 616 2 686 3 715 4 726 5 730 6 732 7 733 D(n) 176 70 28 11 5 2 1 D2(n) -106 -42 -17 -6 -3 -1 Ricorsione Iterazione x = 0.4 * x + 440 Aspetti simbolici Aspetti grafici Variazione dei parametri

47 Da un’idea di Piero Brunet:
Educazione motoria 2 Scuola elementare Scienze Matematica Da un’idea di Piero Brunet: ELEMENTI DI PREANALISI E GERMI DEL PENSIERO INFINITESIMALE NELLA SCUOLA PRIMARIA "Sono convinto che una buona parte delle difficoltà incontrate da questi studenti derivino dalla non corretta acquisizione, o dalla mancata acquisizione di qualche concetto fondamentale, quali quelli di costante, variabile, funzione e, soprattutto, rapporto. A mio avviso sarebbe possibile favorire l'acquisizione di tali concetti lavorando in modo opportuno già a partire dalla scuola elementare. Gli obiettivi da definire in questo primo livello scolare sono limitati, ma, se correttamente perseguiti, contribuiscono a preparare un terreno fertile dove prospererà l'albero della conoscenza di ogni alunno; un albero che ha bisogno, per ramificarsi, di essere sostenuto da solide radici". P. Brunet

48 2 Scuola elementare Le attività didattiche proposte si situano sia a livello di primo che di secondo ciclo. I temi principali che vengono trattati possono essere suddivisi nei due seguenti gruppi: Gruppo 1. introduzione ai concetti di costante, di variabile, di proporzionalità diretta e inversa, di rapporto; Gruppo 2. introduzione di germi del pensiero infinitesimale.

49 2 Scuola elementare Il lavoro sulla velocità. Obiettivi generali
(primo ciclo) - Facilitare l'uso, nel linguaggio corrente, del termine "tempo" e dei termini che indicano la durata (ore, minuti, secondi...) nelle conversazioni intorno al concetto di velocità; facilitare l'uso, nel linguaggio corrente del termine "spazio" e dei suoi sinonimi (distanza, percorso...) nelle conversazioni intorno al concetto di velocità; scoprire l'esistenza delle relazioni che legano tempo, spazio e velocità. (secondo ciclo) - prendere coscienza del ruolo che gioca la variabile tempo e la variabile spazio nel concetto di velocità media; - facilitare l'uso corrente e appropriato, nel linguaggio di tutti i giorni dei termini spazio e tempo o di loro sinonimi nella definizione della velocità media; - facilitare lo sviluppo e la maturazione dei concetti di: costante, variabile, proporzionalità diretta e inversa, funzione, rapporto

50 2 Scuola elementare Fasi del lavoro
1. Analisi delle conoscenze preliminari - Questionario per prendere atto del significato che ogni alunno attribuisce ai termini "velocità" e "tempo", sulla base delle proprie esperienze (distribuito a tutte le classi, dalla prima alla quinta) 2. La variabile tempo - Il gioco del più veloce (prima e seconda elementare): gli allievi si suddividono a coppie e, una coppia alla volta, escono dall'aula, ciascun alunno della coppia avendo un percorso ben determinato da fare (che si conclude con il rientro in classe), ma ignoto agli studenti che rimangono in classe. Quando i due allievi ritornano, i loro compagni devono formulare un'ipotesi su quale dei due è stato il più veloce, giustificandola. Obiettivi: favorire l'uso dei termini "lontano", "vicino" , "più lontano", "più vicino", "veloce" "lento" ...

51 2 Scuola elementare 2. La variabile tempo
- Olimpiadi in palestra (quarta e quinta elementare): si corre in palestra seguendo un percorso fissato e registrando tempi intermedi e finali. Si costruiscono un diagramma a barre e un grafico cartesiano con i dati raccolti. Si leggono e si interpretano i grafici. Obiettivi: facilitare l'uso corrente e appropriato, nel linguaggio di tutti i giorni, del termine tempo e dei sinonimi nella definizione di velocità media; rinforzare le conoscenze che si hanno sul rapporto tra tempo e velocità (quando lo spazio percorso non varia); saper raccogliere dati; costruire grafici; leggere e interpretare grafici; affrontare i concetti di proporzionalità inversa. - Il gioco della bacchetta magica (quarta e quinta elementare): il bambino più lento ha una bacchetta magica con la quale può accorciare la sua colonna (fino a farla diventare la più corta) e risultare così il più veloce... Obiettivi: favorire la nascita e lo sviluppo dei "germi del pensiero infinitesimale".

52 2 Scuola elementare 3. La variabile spazio
- Olimpiadi in palestra (classi quarta e quinta): corsa in palestra in un tempo fissato; ogni alunno segna il suo punto di arrivo e valuta i metri percorsi con un'unità di misura convenzionale; realizzazione del grafico relativo; lettura e interpretazione del grafico. Obiettivi: favorire l'uso corrente e appropriato nel linguaggio quotidiano del termine spazio e dei sinonimi nella definizione di velocità media; facilitare le conoscenze delle relazioni che legano fra loro spazio e velocità (con tempo costante); sapere riassumere i dati e rappresentarli graficamente; leggere e interpretare i grafici; affrontare il concetto di proporzionalità diretta. - Il gioco della bacchetta magica (quarta e quinta elementare): il bambino che ha percorso meno spazio ha una bacchetta magica con la quale allungare la colonna e farla diventare la più lunga. In tal modo risulterà il più veloce. Obiettivi: favorire la nascita e lo sviluppo di "germi del pensiero infinitesimale".

53 2 4. Tempo, spazio e velocità
- Con il ritmo è meglio (in palestra, classi quarta e quinta). Si invitano gli alunni a effettuare le seguenti cinque prove: a) percorrere 24 metri in 24 secondi. b) percorrere 24 metri in 12 secondi c) percorrere 24 metri in 6 secondi d) percorrere 24 metri in 48 secondi. Obiettivi: sapere regolare la propria andatura a una velocità costante in base a un tempo e a un percorso fissati; favorire la formulazione di ipotesi sui rapporti esistenti tra tempo, spazio e velocità; introduzione al concetto di funzione; introduzione ai concetti di proporzionalità diretta e inversa; costruzione di grafici; discussione dei risultati ottenuti con considerazioni personali e di gruppo; favorire la nascita e lo sviluppo di "germi del pensiero infinitesimale". - Il pulmino scolare più veloce del mondo (classi quarta e quinta): elaborazione di una griglia sulla quale si rilevano dati sul pulmino che fa servizio scolastico riportando le distanze percorsi tra una fermata e l'altra, i tempi impiegati a percorrere quelle distanze e i tempi di ciascuna fermata. Si utilizzano i dati per costruire un grafico cartesiano con l'aiuto di un calcolatore. Si legge il grafico e si discute collettivamente la lettura. Obiettivi: formulazione di ipotesi relative alla soluzione di situazioni problematiche; organizzazione del lavoro di ricerca; raccolta dei dati; costruzione e discussione dei grafici; lettura e interpretazione dei grafici; favorire la nascita e lo sviluppo di "germi del pensiero infinitesimale". Scuola elementare 2

54 Per un approccio dinamico al concetto di funzione
3 Scuola media 4 Scuola superiore I sensori di posizione Per un approccio dinamico al concetto di funzione

55 3 Scuola media 4 Scuola superiore A turno, ciascun coordinatore di ogni gruppo si è mosso rispetto al sensore, osservando la traccia del proprio movimento proiettata su un muro dell'aula grazie a un view screen posto su una lavagna luminosa e collegato alla calcolatrice. La consegna prevedeva che anche gli altri studenti osservassero attentamente, dal proprio banco, il movimento dei coordinatori e la traccia descritta sul muro dell'aula.

56 3 Scuola media 4 Scuola superiore Gli studenti si sono riuniti nei gruppi di lavoro per riflettere e discutere su quanto avevano fatto o visto fare. La consegna era quella iniziare ad avanzare ipotesi (o di confrontare quelle eventualmente già pensate individualmente durante la precedente attività) sul come e perché il movimento fosse legato al grafico osservato sul muro.

57 3 Scuola media 4 Scuola superiore A turno, tutti gli alunni che nella prima attività si erano limitati semplicemente a osservare il movimento dei coordinatori dei gruppi di lavoro, sono stati chiamati a compiere essi stessi il movimento. Inizialmente, però, la lavagna luminosa veniva spenta: i compagni di gruppo (eventualmente anche di altri gruppi) dovevano disegnare un grafico tempo-posizione che rappresentasse il movimento. Subito dopo, la lavagna veniva riaccesa, in modo che gli studenti potessero confrontare la traccia disegnata sul muro con il grafico tempo-posizione prodotto sul foglio. 1 2

58 3 Scuola media 4 Scuola superiore Gli studenti si sono nuovamente riuniti in gruppo per rispondere a domande riguardanti l'interpretazione di alcune caratteristiche grafiche delle tracce osservate sul muro (per esempio, che cosa suggerisce un segmento orizzontale, uno obliquo, oppure un tratto di curva e così via…) A turno, i coordinatori di ciascun gruppo si sono mossi con il sensore in funzione e con la traccia proiettata alle loro spalle, in modo tale che essi, al contrario dei compagni, non potessero osservare la traccia prodotta dal proprio movimento. I coordinatori dovevano descrivere verbalmente, al tempo stesso, i propri movimenti e le caratteristiche significative della traccia proiettata sul muro e visibile a tutti gli altri studenti. I compagni di gruppo dovevano prendere nota di eventuali errori commessi dal coordinatore per poi discuterne al termine dell'esperienza.

59 3 Scuola media 4 Scuola superiore A turno, ogni studente doveva cercare di riprodurre, con il proprio movimento, un grafico tempo-posizione generato dalla calcolatrice. A turno, ciascun coordinatore si è mosso e i compagni di gruppo hanno riportato, sul proprio quaderno, la traccia proiettata sul muro durante il movimento del coordinatore. Al termine del movimento, il coordinatore, utilizzando una specifica funzione fornita dalla calcolatrice, ha rilevato un certo numero di coppie di dati "tempo-posizione". I dati raccolti sono stati elaborati in classe dagli studenti, con l'aiuto l'insegnante, in successive lezioni.

60 2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore I sette messaggeri Il figlio di un re, ormai diventato grande, era curioso di visitare e di conoscere l’immenso regno del padre. Un giorno decise di partire insieme a tutto il suo seguito: cavalieri, servi, carri, tende e viveri. Ogni giorno percorrevano 50 chilometri e alla sera si accampavano per la notte. Temendo che il viaggio fosse lunghissimo, il figlio del re, già dopo la prima notte di sosta, chiamò il cavaliere più fidato e gli disse: “Tu hai il compito di fare avanti e indietro dalla nostra postazione al castello, per portarmi notizie di mia madre, di mio padre e riferirmi che cosa succede. Io intanto continuerò ad andare avanti”. Così si salutarono e il figlio del re riprese a cavalcare, allontanandosi sempre più dal castello. Ogni giorno il figlio del re percorreva 50 chilometri e il suo messaggero ne percorreva 100… Dobbiamo scoprire quanti giorni intercorrono tra due successivi incontri del principe con il cavaliere …

61 Diverse modalità di rappresentazione
3 Scuola media 4 Scuola superiore Diverse modalità di rappresentazione Supponiamo di trovarci all’n-esimo incontro, a una distanza d dal castello (che coincide con la posizione del re nel sistema che ha come origine il castello); il cavaliere, prima di incontrare nuovamente il re, deve ripassare dalla posizione d e quindi percorrere una distanza 2*d. Nello stesso tempo il re, che si muove a una velocità che è la metà di quella del cavaliere, ha percorso una distanza d trovandosi quindi in vantaggio di d rispetto al cavaliere. Questi, muovendosi a velocità doppia del re, lo raggiungerà dopo aver percorso una distanza 2*d a partire dalla posizione dell’ennesimo incontro (d). Quindi il cavaliere, dopo ogni incontro, percorrerà una distanza 4*d, mentre il re una distanza 2*d. Entrambi, essendo partiti dalla posizione d, si troveranno, al prossimo incontro, nella posizione 3*d. Quindi la legge ricorsiva d(1) = 50 d(n+1) = 3*d(n) dà le posizioni dei successivi incontri. La legge esplicita è d(n) = 50 * 3n con n numero naturale. Analoga legge varrà per i tempi t(n+1) = 3*t(n) con t(1) = 1. Quindi t(n) = 3n con n numero naturale. Se si rappresentano le due leggi orarie con le corrette pendenze, basta contare i quadretti per scoprire che figlio del re e cavaliere si incontrano in giorni che sono potenze di 3 Viene utilizzata un’unica retta per rappresentare spazio e tempo. Per il figlio del re ogni punto della retta rappresenta un evento individuato da due numeri (giorno e posizione, che coincide con i chilometri percorsi); per il cavaliere, che va avanti e indietro, sono utilizzati diversi numeri che rappresentano i giorni, perché il cavaliere passa per la stessa posizione in giorni diversi.

62 Il valore del denaro nel tempo
2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Matematica Scienze sociali Geografia Tecnologia Il valore del denaro nel tempo Classi interessate nella sperimentazione: due quinte elementari e una seconda liceo scientifico a sperimentazione PNI (gli studenti del liceo fungevano da tutor dei bambini della scuola elementare, oltre a seguire un percorso più approfondito e completo).

63 Progetto che ha vinto il concorso 100 scuole a.s. 2005-2006
Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Progetto che ha vinto il concorso 100 scuole a.s Fondazione San Paolo Prima fase (scuola elementare) Interviste a genitori e nonni, ricerche su internet e sui libri per individuare fatti importanti dal 1960 al 2005 (locali e nazionali). Costruzione di una striscia del tempo dal 1960 al 2005 nella quale inserire i fatti ritenuti più significativi per esporla in classe (o nel corridoio) e poi trasferirla sul quaderno.

64 Seconda fase (scuola elementare e liceo)
2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Seconda fase (scuola elementare e liceo) Una raccolta di statistiche della variazione dei prezzi di certi beni e del salario di un operaio dal 1960 al 2005 per evidenziare l’evoluzione dei prezzi e il cambiamento del potere di acquisto del denaro e il cambiamento del potere di acquisto del salario mensile su un certo insieme di beni (uso di un foglio elettronico per la raccolta e l’elaborazione dei dati). Gli studenti del liceo elaborano autonomamente i dati, anche con l’obiettivo di aiutare i bambini della scuola elementare a risolvere eventuali problemi incontrati.

65 Terza fase (scuola elementare)
2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Terza fase (scuola elementare) Verifica finale con proposta agli studenti di un testo in cui si parla di variazione del potere di acquisto, sondando la loro capacità di capire un testo destinato agli adulti. Terza fase (liceo) Descrizione dell’esperienza.

66 Elaborazioni statistiche
2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Striscia del tempo Vedere CD Elaborazioni statistiche … Come approccio ad un’attività più sistematica, tesa a rilevare come cambia il valore del denaro nel tempo, gli alunni completano collettivamente la tabella … Immediatamente gli alunni rilevano che, per effettuare un possibile confronto, è indispensabile utilizzare la stessa unità di misura: si rende necessario convertire in lire i valori espressi in euro o, viceversa, in euro quelli espressi in lire…

67 Elaborazioni statistiche
2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Elaborazioni statistiche 1. Nel 2006, sia i prezzi che lo stipendio sono molto più alti rispetto agli altri anni. 2. Le auto costano sempre più dello stipendio di un operaio. 3. Per acquistare un televisore, sia nel 1955 che nel 1965, occorreva più di uno stipendio, mentre nel 2006 con uno stipendio si potrebbero acquistare 5 televisori 4. Il biglietto dell’autobus e il quotidiano mantengono lo stesso prezzo. 5. Tutti i prodotti dal 1955 al 1965, aumentano di prezzo, tranne zucchero, benzina e televisori.

68 Elaborazioni statistiche 2 3 4 Scuola elementare Scuola media
Scuola superiore

69 Elaborazioni statistiche
2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Elaborazioni statistiche Si consegna a ogni singolo alunno: una tabella a doppia entrata indicante i prezzi al consumo di una serie di prodotti per ogni quinquennio a partire dal 1960; un foglio per effettuare registrazioni e calcoli a livello collettivo o di gruppo; un foglio personale dove scrivere osservazioni, problemi, quesiti. In un secondo momento, al termine delle attività, in piccolo gruppo, gli alunni metteranno in comune le reciproche osservazioni, confrontandosi e cercando di chiarirsi eventuali problemi. I quesiti rimasti aperti e le osservazioni che gli alunni stessi riterranno significative verranno riportati in classe virtuale. Si prende in esame il decennio 1960 – 1970 e si “misura” il potere di acquisto della lira, calcolando quanti chili di carne si potevano acquistare nel 1960, nel 1965 e nel 1970.

70 2 3 4 Elaborazioni statistiche Scuola elementare Scuola media
Scuola superiore Elaborazioni statistiche

71 Elaborazioni statistiche
2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Elaborazioni statistiche Mentre si registrano le variazioni dei costi su un grafico cartesiano, Sanie esprime la perplessità di non riuscire a pensare ad un grafico che registri contemporaneamente le variazioni relative allo stipendio e quelle relative, ad esempio, alla carne: sul grafico cartesiano non riusciamo a confrontare insieme i valori dello stipendio,dal 1965 al 1975,e quelli della carne:l'ascissa va bene ma ... l'ordinata? Il problema viene “preso in carico” dagli studenti tutor … “I numeri indice” …

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2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Elaborazioni statistiche

73 Elaborazioni statistiche
2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Elaborazioni statistiche I bambini leggono, insieme all’insegnante tabelle e grafici dell’ISTAT. Ricompaiono i “numeri indice”. Si studia un’attività per iniziare a far comprendere la loro importanza e utilità nello studio di una “serie storica”. La scheda di Flatlandia

74 Elaborazioni statistiche
2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Elaborazioni statistiche …

75 Elaborazioni statistiche
2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Elaborazioni statistiche Liceo

76 Altri possibili lavori
2 Scuola elementare 3 Scuola media 4 Scuola superiore Altri possibili lavori La variazione del denaro nello spazio I numeri del consumo energetico nel mondo I numeri del consumo dell’acqua nel mondo

77 Una didattica lunga e sensata
Per concludere Una didattica lunga e sensata Uso di strumenti Attenzione ai processi Favorire l'uso del pensiero critico e consapevole Riflettere continuamente sulle proprie esperienze e conoscenze richiamandole spesso

78 Usare consapevolmente strumenti e tecnologie Lo spazio e le figure
Competenze Contenuti Comprendere e comunicare un testo Le grandezze che cambiano Rappresentare elaborare e interpretare dati Probabilità e Statistica Usare consapevolmente strumenti e tecnologie Lo spazio e le figure Riflettere sulle proprie conoscenze e sulle loro possibili applicazioni

79 Ulteriori indicazioni sitografiche
  Si tratta di uno dei siti più ricchi di materiali didattici per l'insegnamento - apprendimento della matematica.  Il sito è organizzato dal gruppo di Paolo Boero, del Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova e contiene materiali per ogni livello scolare, dalle elementari al triennio della scuola secondaria.  In particolare, cliccando sull'hotword "progetto MIUR/DIMA", si accede a una serie di lavori effettuati da alcuni docenti di diversi ordini scolari. In questi lavori è compreso il mio "Storia di una ricerca" che è una puntuale descrizione di un anno di lavoro con una classe di prima liceo scientifico. 

80 Ulteriori indicazioni sitografiche
La Matematica per il cittadino Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di matematica Ciclo secondario Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca Direzione Generale Ordinamenti Scolastici Unione Matematica Italiana Società Italiana di Statistica Liceo Scientifico Statale “A. Vallisneri ” Lucca matematica 2003 Digitare su Google Matematica 2001 Matematica 2003

81 Ulteriori indicazioni sitografiche
È il sito del  Progetto Macosa, un progetto di innovazione nell'insegnamento della matematica nella scuola secondaria superiore coordinato da Carlo Dapueto del Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova. I materiali che si trovano in rete a questo indirizzo sono particolarmente interessanti e curati. Se si vuole andare direttamente ai materiali per gli studenti utilizzare l'indirizzo .

82 Ulteriori indicazioni sitografiche
Una raccolta di attività di matematica on line classificate per livello scolare e progettate come esempi di applicazione degli standard nazionali dei programmi degli Stati Uniti d'America. Si tratta di attività particolarmente intelligenti e stimolanti, alle quali mi sono spesso ispirato nella mia attività di insegnamento.

83 Ulteriori indicazioni sitografiche
Sito di Michele Impedovo, docente dell'Università Bocconi, Luigi Tomasi e Domingo Paola, docenti di scuola secondaria di secondo grado. I siti propongono materiali didattici, articoli di descrizione di esperienze e di riflessione sull'insegnamento - apprendimento della matematica, con una particolare attenzione all'uso delle nuove tecnologie... navigazione quanto mai opportuna, per chi è interessato a questo tema.

84 In particolare, per il lavoro sulla variazione del denaro nel tempo:

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