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1 Domingo Paola Liceo scientifico A. ISSEL Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova NRD Università di Torino SSIS Genova.

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1 1 Domingo Paola Liceo scientifico A. ISSEL Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova NRD Università di Torino SSIS Genova Carcare, 13 Aprile 2007 Dalla scuola materna alla scuola secondaria di secondo grado

2 2 Indicazioni ed esempi per la scuola materna Indicazioni ed esempi per la scuola elementare Indicazioni ed esempi per la scuola secondaria di primo grado Struttura della relazione Indicazioni ed esempi per la scuola secondaria di secondo grado Discussione

3 3 Scuola materna Vygotskij sottolinea l'importanza del gioco, soprattutto in età prescolastica. Il gioco offre al bambino opportunità di compiere esperienze ricche e varie. Attraverso la finzione ludica, si allarga il proprio campo di azione e di conoscenza. Il gioco è un'attività basilare per lo sviluppo intellettivo e, nella prima infanzia, la più importante. Probabilmente è il mezzo più efficiente per sviluppare il pensiero astratto.

4 4 Scuola materna Per i più piccoli, lapproccio sia davvero ludico e non richieda metacognizione, riflessione, consapevolezza. Lapprendimento può e deve spesso essere di tipo inconsapevole; conoscenza tacita, implicita. Per i più esperti, è necessaria una sempre maggiore consapevolezza, da parte dei bambini, dei concetti matematici che stanno affrontando. Apprendimento consapevole; conoscenza sempre più esplicita.

5 5 Scuola materna FANTASTICANIMALANDO e NUMERINGIOCO I.C. Corinaldo (AN) Lorella Campolucci e Danila Maori GOLD C6AAE/Descrizione%20esperienza.doc Il progetto Fantasticanimalando con i numeri e Numeringioco sono stati realizzati in continuità tra la scuola dellInfanzia e la Scuola Elementare I progetti, pur essendo centrati essenzialmente sul numero, hanno un carattere interdisciplinare, con obiettivi riferiti a diversi campi di esperienza, poiché specialmente a questa età, conoscenze e abilità, matematiche e non, vengono acquisite nella vita quotidiana, attraverso esperienze non inquadrabili e non separabili in ambiti distinti. Scuola elementare

6 6 Scuola materna Al primo progettoFantasticanimalando con i numeri, ha fatto seguito, lanno successivo, Numeringioco. Il titolo vuole mostrare subito quel particolare legame che cè tra lattività ludica e le prime intuizioni e le conoscenze legate al numero. Abbiamo scelto una didattica legata ad esperienze ludiche, perché attraverso i giochi è possibile rilevare le conoscenze e le competenze dei bambini, meglio e in misura maggiore, rispetto ad altre situazioni; inoltre riteniamo fondamentale costruire, fin dai primi anni di scuola, unimmagine della matematica positiva e stimolante, per suscitare simpatia nei riguardi delle attività a carattere matematico e favorire una bella immagine di tutto ciò che riguarda la matematica Scuola elementare

7 7 I tempi: Le esperienze sono state svolte nellarco di due anni scolastici. Contenuti: I numeri e le loro funzioni (aspetto ordinale, cardinale, ricorsivo, numero nella misura, numero nel denaro, numero etichetta). Giochi con e sui numeri. Lettura e animazione di fiabe classiche e non. Invenzione di fiabe. Scuola materna

8 8 Attività: Sono state svolte attività diversificate nelle singole scuole, attività in comune e sono stati organizzati momenti di incontro tra bambini ed esperienze di laboratorio. Il contesto fantastico, il carattere ludico delle proposte e la possibilità di comunicare le proprie esperienze sia ai compagni che alla coniglietta Numerina, hanno caratterizzato questo approccio significativo e proficuo ai contenuti matematici. Caccia al numero – ricerca di numeri in vari luoghi e contesti. Ricerca dei numeri personali. Uscite didattiche (visita al supermercato, percorso casa-scuola, uscite a piedi lungo le vie della città). Scuola materna Scuola elementare

9 9 Personaggio fantastico: un personaggio fantastico (ma realmente interpretato da uninsegnante) ha fatto visita alle varie scuole, portando oggetti e materiali legati ai numeri (strumenti per misurare, carte da gioco, dadi, monete, …). La visita di questo personaggio è stata un forte stimolo per ampliare ulteriormente le esperienze e per diffonderle nelle varie scuole; loccasione di rimanere in contatto con la coniglietta Numerina, poi, ha mantenuto alta la motivazione, ha stimolato il desiderio di ricerca e la voglia di fare. Corrispondenza epistolare. Incontri tra i bambini dei due ordini di scuola. Laboratorio di giochi (durante il quale i bambini più grandi hanno condotto lattività, spiegando i giochi nuovi ai bambini più piccoli). Scuola materna Scuola elementare

10 10 Scuola materna Durante le prime esperienze di caccia al numero, i bambini hanno scoperto nellambiente di vita una gran quantità di numeri; La targa serve per riconoscere una macchina e per capire quando hanno fatto la macchina, Gli adulti usano i numeri per fare gli indirizzi delle cartoline… Sì, è vero! Per spedire le lettere allindirizzo e al numero della casa. Vicino alla scuola cè un segnale stradale su cui è ben visibile il numero 50. Perché lì cè quel numero? A che cosa serve?. Perché non devi andare veloce con la macchina, Perché se vai più forte il vigile ti fa la multa, se vai a cento ti fanno la multa! Al supermercato hanno osservato i cartellini con i prezzi, i numeri sui cartelloni pubblicitari…. Scuola elementare

11 11 Scuola materna Anche le attività consuete, quali il calendario e la registrazione delle presenze, le filastrocche, i ritmi, le attività con le scatole dei numeri, gli ordinamenti, le conte, sono state svolte con una maggiore consapevolezza e con lattenzione costante a ciò che i bambini riuscivano gradualmente a costruire. Le proposte didattiche sono state ambientate a Fantasticanimalandia: uno strano paese abitato dagli animali più conosciuti e più cari ai bambini; animali che parlano, si incontrano, giocano, si vogliono bene, si fanno i dispetti… Qui vive, tra gli altri Numerina, una simpatica coniglietta così chiamata per la sua grande passione per i numeri. Numerina, un giorno, è arrivata a scuola e, immediatamente, ha suscitato la curiosità dei bambini, perché ha portato pacchi colorati, sacchetti, pergamene e altre sorprese veramente speciali … piene di numeri. I bambini le hanno rivolto mille domande: Da dove vieni? Perché ci hai portato queste cose? A cosa servono? Cosa ci possiamo fare?. Numerina ha parlato di sé, ma per alcune richieste ha lasciato aperti i problemi, curiosa di vedere quali giochi e quali attività i bambini avrebbero inventato con clessidre, candele, carte da gioco, dadi, monete … In seguito abbiamo continuato lesperienza didattica sui numeri legandola ancora di più allattività ludica e sollecitando maggiormente la risoluzione di problemi, la collaborazione e il graduale sviluppo del linguaggio. Scuola elementare

12 12 Scuola materna Frank Baum, 1900 Scuola elementare

13 13 Scuola materna 1. Leggono un adattamento della fiaba. 2. Costruiscono un modellino tridimensionale del mondo di Oz (il modellino non deve essere in scala, ma le dimensioni degli oggetti e dei personaggi devono rispettare lordinamento). 3. Riproducono con un disegno il modellino tridimensionale. I bambini della scuola elementare (prima e seconda) aiutati dalle loro maestre: Le produzioni realizzate nelle fasi 2. e 3. sono date ai bambini della scuola materna che: Scuola elementare

14 14 Scuola materna 1. Ascoltano, dalle loro maestre, la lettura delladattamento della favola (per comprendere meglio le situazioni possono effettuare attività di drammatizzazione o produzione di disegni). 2. Giocano, insieme alla loro maestra al gioco del mondo di Oz, con il modellino tridimensionale fornito loro dai bambini della scuola elementare e cinque piccole figurine con piedistallo. 3. Giocano, in piccoli gruppi di 5, in giardino o nelle aule e nei corridoi della scuola, al gioco del mondo di Oz, con la maestra che funge da arbitro e garantisce il rispetto delle regole e delle consegne. I giochi, che possono essere ripetuti più volte, hanno sia carattere senso – motorio che simbolico. Scuola elementare

15 15 Scuola materna Il mago di Oz Frank Baum (Adattamento di Domingo Paola da una rielaborazione del testo di Danila Rotta, per bambini di 6-8 anni, pubblicato nella collana Le pulci con gli occhiali – Gruppo di lavoro Anna Botto 1995)Adattamento di Domingo Paola Scuola elementare

16 16 Scuola materna Riempi il secchio I bambini sono divisi in squadre. Ogni squadra deve riempire un secchio che si trova a breve distanza usando l'acqua contenuta in un recipiente posto al punto di partenza. Vi sono differenti contenitori e nessuna goccia dacqua deve essere rovesciata per terra. Il primo bambino riempie un contenitore di acqua che ha a disposizione e corre a versarlo completamente nel secchio, poi torna al gruppo e rimette il contenitore al suo posto. Quindi parte il secondo bambino … I bambini possono scegliere di utilizzare anche più volte uno stesso contenitore, ma ogni bambino, in ogni gioco, può versare una sola volta. Vince la squadra che, alla fine riempie il più possibile il secchio.

17 17 Scuola materna Strega comanda … numero I bambini si muovono liberamente nello spazio a disposizione. Uno di loro ha il ruolo della strega. La strega" dice: Strega comanda numero... uguale a (maggiore di, minore di) tre (a scelta del bambino che fa la strega, fra un insieme di numeri prestabiliti) I bambini a questo comando devono individuare e indicare, toccandolo, un insieme di stessi oggetti che rispetta le indicazioni date dalla strega. Il bambino che per primo individua correttamente linsieme di oggetti diventa strega e il gioco ricomincia.

18 18 Scuola materna Girotondo Muoversi sempre alla stessa velocità tangenziale, ma in cerchi sempre più stretti (meglio ancora se si avesse a disposizione una piattaforma rotante): che tipo di sensazioni avvertiamo?

19 19 Scuola materna associazione di bibliotecari, pediatri, insegnanti e genitori che si propone così: Amare la lettura attraverso un gesto d'amore: un adulto che legge una storia. Ogni bambino ha diritto ad essere protetto non solo dalla malattia e dalla violenza ma anche dalla mancanza di adeguate occasioni di sviluppo affettivo e cognitivo. Questo è il cuore di Nati per Leggere. Dal 1999, il progetto ha l'obiettivo di promuovere la lettura ad alta voce ai bambini di età compresa tra i 6 mesi e i 6 anni. Fra i vari progetti stranieri segnalati da nati per leggere può avere un certo interesse Inoltre suggerisco: Scuola elementare

20 20 Scuola materna Scuola elementare

21 21 Scuola elementare Il gioco del batto / vedo 0 0, 2 2, 3 23,

22 22 Scuola elementare Il gioco del batto / vedo 3* *(2+5) 21 3* * – (2+3) 0 5 – / / 0 impossibile

23 23 Scuola elementare Quanto fa... allincirca? 115 x X x 132 … 2345 x 3689 … Si cerca, senza calcolatrice, un intervallo che contenga il risultato e vince chi determina il più piccolo intervallo in un tempo fissato, ma sufficiente a effettuare stime sensate Viene utilizzata per determinare il risultato delloperazione … e poi si chiede … E per rispondere alla domanda perché il risultato è …, si usa una procedura di calcolo scegliendola tra quelle che meno mascherano le proprietà delle operazioni

24 24... è maggiore di … è minore di … è uguale a … è diverso da … > X 3XX 4XXX 5XXXX Scuola elementare

25 25 Scuola elementare

26 26 Scuola elementare della moltiplicazione Gi oggetti A e B possono presentarsi ciascuno in 3 stati. Quanti sono le possibili coppie (oggetto, stato)? Ciascuno di m oggetti dati può presentarsi in n stati diversi. Quanti sono le possibili coppie (oggetto, stato)? … e poi:

27 27 Scuola elementare * n^2 = (n -1) * (n+1) + 1 …

28 28 Scuola elementare …………………. ^

29 29 Scuola elementare …

30 30 Scuola elementare 8 = = = = … = = 1*8 = 2*4 = …. = 8*1 8 > 6 ; 7 < 8 … … 879 ? + 3 = 8 16 : 2= =8 … 2^3=8

31 31 Scuola elementare Come giustificazione del fatto che 134 * 120 = … Si avvia al sapere teorico (che cosa vuol dire spiegare perché) Si lavora sulle proprietà dei numeri e sulla scrittura posizionale Si ripassano le tabelline

32 32 Una cavalletta, partendo dalla posizione 15, ha fatto 8 salti della stessa lunghezza per avvicinarsi il più possibile alla posizione 66, dove si trova il seme. Se arriva nella posizione 65, quanto sono lunghi i salti? Ho tre cavallette A,B,C. Se parto da 10, quale di esse mi conviene utilizzare per arrivare più vicino a 71 sapendo che A salta di 3 in 3, B di 5 in 5 e C di 6 in 6? Perché? …………….. Scuola elementare

33 33 Scuola elementare Perché per aggiungere qualcosa devo fare una meno? Per esempio consideriamo questo problema: Quanti litri di vino devo aggiungere a una damigiana che ne contiene 22 per arrivare a 50? 50 – 22 oppure 22+x = 50

34 34 Scuola elementare In 50 – 22 manca una sintassi per indicare le operazioni con un termine incognito Credo che sarebbe facile produrre una calcolatrice che permette di scrivere 22+?=50 e dia il risultato corretto. Ma anche se nessuno si prenderà mai la briga di produrre un simile oggetto, possiamo ugualmente scrivere nei nostri quaderni 22+?=50, restando in pace con la primitiva intuizione che per aggiungere bisogna fare una addizione.

35 35 Scuola elementare Quello che secondo me dovrebbe essere chiarito agli studenti (non solo delle elementari) è che una cosa sono i procedimenti elementari per risolvere i problemi e unaltra i tipi di calcolo permessi dalle calcolatrici. I procedimenti elementari non sono 4 come le operazioni, ma 12, e secondo me sarebbe ora anche di chiamarli con un nome.

36 36 Scuola elementare tabella dei procedimenti elementari procedimentonome A+B=?Più A+?=BPiùcosa ?+A=BCosapiù A-B=?Meno A-?=?Menocosa ?-A=?Cosameno AxB=?Per Ax?=BPercosa ?xA=BCosaper A:B=?Diviso A:?=BDivisocosa ?:A=BCosadiviso

37 37 Scuola elementare Quello che anche i bambini possono scoprire facilmente è che ci sono dei gruppi di procedimenti che, usando gli stessi due numeri, hanno lo stesso risultato. I gruppi risultanti sono questi 4:

38 38 Scuola elementare Si vede che ogni gruppo contiene uno dei 4 procedimenti tradizionali presenti nelle calcolatrici. Se siamo interessati al calcolo del risultato possiamo ricondurre gli altri a uno di questi. Si possono individuare anche delle regole per la trasformazione dei procedimenti.

39 39 Scuola elementare Questa sostituzione di un procedimento con un altro è un passaggio di solito nascosto nella didattica, in quanto il docente pretende di vedere subito e solo il procedimento sostitutivo, che però in genere non ha niente da spartire con il problema, mentre lo studente ha in mente il vero procedimento che traduce in operazioni il problema: ci sono studenti che dopo un po arrivano a vedere questo passaggio, ma credo che parecchi non abbiano questa fortuna, e cominciano ad odiare i problemi e tutto ciò che li accompagna. Alla fine del mio ragionamento, mi sono sorpreso a considerare che le sostituzioni di procedimenti sono lessenza dellalgebra e quindi questa è presente da sempre fin dalla scuola elementare, anche se non si diceva. Giovanni Artico

40 40 Scuola elementareScuola mediaScuola superiore A che velocità ci stiamo muovendo con la Terra intorno al Sole? Quanto pesa laria di questa stanza? Quanto spende allanno Ariele per andare a scuola se si sposta in macchina e la sua scuola dista 5 km da casa? Quanti alberi occorrono per le fotocopie del nostro circolo? Tracciare un grafico che indichi la quantità daria presente nei polmoni in un certo intervallo di tempo. Come si può misurare la lunghezza di una circonferenza?

41 41 Scuola elementare Scuola media OP1*3+4OP11 INPUT OUTPUT 1 x x INPUT OP1 OUTPUT

42 42 Scuola mediaScuola superiore In un allevamento sono presenti 3000 trote. Si sa che il numero di trote diminuisce ogni anno del 20%, per questioni legate alla pesca e alla morte naturale. Se ogni anno si introducono nellallevamento 1000 nuove trote, come evolve il loro numero nel tempo? OP1 * OP OP1 …..

43 43 Scuola superiore 440 ENTER 0.4*ans(1)+440 ENTER ….. Una studentessa si è prodotta una distorsione al ginocchio e il suo dottore le ha prescritto un farmaco antinfiammatorio. Deve prendere una pastiglia da 440 mg ogni 8 ore per 10 giorni. A ogni nuova assunzione il suo rene ha filtrato il 60% del farmaco. Quanto farmaco cè al massimo nel suo organismo dopo 3 giorni? E dopo 5 giorni? Cercate di studiare levoluzione della quantità massima di farmaco presente nel corpo ogni 8 ore; come evolve la presenza del farmaco se, dopo dieci giorni, la studentessa non lo assume più? Quanto tempo impiega a ridursi a 1/100 del farmaco presente dopo dieci giorni?

44 44 Può essere utile organizzare i dati i una tabella del tipo: Scuola superiore

45 45 Scuola superiore Alcune idee degli studenti se la studentessa continuasse a prendere le pillole, la quantità massima di farmaco tenderebbe a stabilizzarsi, perché anche se aumenta del 40%, il suo rene filtra il 60% che è sempre maggiore… è come se diamo delle palate di sabbia e dal mucchio, sempre più grande, leviamo sempre il 60%, ossia una quantità sempre più grande…prima o poi quello che aggiungo è uguale a quello che levo e il processo si stabilizza la concentrazione del farmaco cresce sempre, ma sempre meno, ossia, la pendenza diminuisce parte da 440 e poi filtra il 60%, quindi abbiamo il 40% di 440 e poi il 40% di questo più 440 e così via …

46 46 Scuola superiore nF(n) (n) (n) x = 0.4 * x + 440

47 47 Scuola elementare Da unidea di Piero Brunet: ELEMENTI DI PREANALISI E GERMI DEL PENSIERO INFINITESIMALE NELLA SCUOLA PRIMARIA "Sono convinto che una buona parte delle difficoltà incontrate da questi studenti derivino dalla non corretta acquisizione, o dalla mancata acquisizione di qualche concetto fondamentale, quali quelli di costante, variabile, funzione e, soprattutto, rapporto. A mio avviso sarebbe possibile favorire l'acquisizione di tali concetti lavorando in modo opportuno già a partire dalla scuola elementare. Gli obiettivi da definire in questo primo livello scolare sono limitati, ma, se correttamente perseguiti, contribuiscono a preparare un terreno fertile dove prospererà l'albero della conoscenza di ogni alunno; un albero che ha bisogno, per ramificarsi, di essere sostenuto da solide radici". P. Brunet

48 48 Scuola elementare Le attività didattiche proposte si situano sia a livello di primo che di secondo ciclo. I temi principali che vengono trattati possono essere suddivisi nei due seguenti gruppi: Gruppo 1. introduzione ai concetti di costante, di variabile, di proporzionalità diretta e inversa, di rapporto; Gruppo 2. introduzione di germi del pensiero infinitesimale.

49 49 Il lavoro sulla velocità. Obiettivi generali (primo ciclo) - Facilitare l'uso, nel linguaggio corrente, del termine "tempo" e dei termini che indicano la durata (ore, minuti, secondi...) nelle conversazioni intorno al concetto di velocità; -facilitare l'uso, nel linguaggio corrente del termine "spazio" e dei suoi sinonimi (distanza, percorso...) nelle conversazioni intorno al concetto di velocità; -scoprire l'esistenza delle relazioni che legano tempo, spazio e velocità. (secondo ciclo) - prendere coscienza del ruolo che gioca la variabile tempo e la variabile spazio nel concetto di velocità media; - facilitare l'uso corrente e appropriato, nel linguaggio di tutti i giorni dei termini spazio e tempo o di loro sinonimi nella definizione della velocità media; - facilitare lo sviluppo e la maturazione dei concetti di: costante, variabile, proporzionalità diretta e inversa, funzione, rapporto Scuola elementare

50 50 Scuola elementare Fasi del lavoro 1. Analisi delle conoscenze preliminari - Questionario per prendere atto del significato che ogni alunno attribuisce ai termini "velocità" e "tempo", sulla base delle proprie esperienze (distribuito a tutte le classi, dalla prima alla quinta) 2. La variabile tempo - Il gioco del più veloce (prima e seconda elementare): gli allievi si suddividono a coppie e, una coppia alla volta, escono dall'aula, ciascun alunno della coppia avendo un percorso ben determinato da fare (che si conclude con il rientro in classe), ma ignoto agli studenti che rimangono in classe. Quando i due allievi ritornano, i loro compagni devono formulare un'ipotesi su quale dei due è stato il più veloce, giustificandola. Obiettivi: favorire l'uso dei termini "lontano", "vicino", "più lontano", "più vicino", "veloce" "lento"...

51 51 Scuola elementare - Olimpiadi in palestra (quarta e quinta elementare): si corre in palestra seguendo un percorso fissato e registrando tempi intermedi e finali. Si costruiscono un diagramma a barre e un grafico cartesiano con i dati raccolti. Si leggono e si interpretano i grafici. Obiettivi: facilitare l'uso corrente e appropriato, nel linguaggio di tutti i giorni, del termine tempo e dei sinonimi nella definizione di velocità media; rinforzare le conoscenze che si hanno sul rapporto tra tempo e velocità (quando lo spazio percorso non varia); saper raccogliere dati; costruire grafici; leggere e interpretare grafici; affrontare i concetti di proporzionalità inversa. - Il gioco della bacchetta magica (quarta e quinta elementare): il bambino più lento ha una bacchetta magica con la quale può accorciare la sua colonna (fino a farla diventare la più corta) e risultare così il più veloce... Obiettivi: favorire la nascita e lo sviluppo dei "germi del pensiero infinitesimale". 2. La variabile tempo

52 52 Scuola elementare 3. La variabile spazio - Olimpiadi in palestra (classi quarta e quinta): corsa in palestra in un tempo fissato; ogni alunno segna il suo punto di arrivo e valuta i metri percorsi con un'unità di misura convenzionale; realizzazione del grafico relativo; lettura e interpretazione del grafico. Obiettivi: favorire l'uso corrente e appropriato nel linguaggio quotidiano del termine spazio e dei sinonimi nella definizione di velocità media; facilitare le conoscenze delle relazioni che legano fra loro spazio e velocità (con tempo costante); sapere riassumere i dati e rappresentarli graficamente; leggere e interpretare i grafici; affrontare il concetto di proporzionalità diretta. - Il gioco della bacchetta magica (quarta e quinta elementare): il bambino che ha percorso meno spazio ha una bacchetta magica con la quale allungare la colonna e farla diventare la più lunga. In tal modo risulterà il più veloce. Obiettivi: favorire la nascita e lo sviluppo di "germi del pensiero infinitesimale".

53 53 4. Tempo, spazio e velocità - Con il ritmo è meglio (in palestra, classi quarta e quinta). Si invitano gli alunni a effettuare le seguenti cinque prove: a) percorrere 24 metri in 24 secondi. b) percorrere 24 metri in 12 secondi c) percorrere 24 metri in 6 secondi d) percorrere 24 metri in 48 secondi. Obiettivi: sapere regolare la propria andatura a una velocità costante in base a un tempo e a un percorso fissati; favorire la formulazione di ipotesi sui rapporti esistenti tra tempo, spazio e velocità; introduzione al concetto di funzione; introduzione ai concetti di proporzionalità diretta e inversa; costruzione di grafici; discussione dei risultati ottenuti con considerazioni personali e di gruppo; favorire la nascita e lo sviluppo di "germi del pensiero infinitesimale". - Il pulmino scolare più veloce del mondo (classi quarta e quinta): elaborazione di una griglia sulla quale si rilevano dati sul pulmino che fa servizio scolastico riportando le distanze percorsi tra una fermata e l'altra, i tempi impiegati a percorrere quelle distanze e i tempi di ciascuna fermata. Si utilizzano i dati per costruire un grafico cartesiano con l'aiuto di un calcolatore. Si legge il grafico e si discute collettivamente la lettura. Obiettivi: formulazione di ipotesi relative alla soluzione di situazioni problematiche; organizzazione del lavoro di ricerca; raccolta dei dati; costruzione e discussione dei grafici; lettura e interpretazione dei grafici; favorire la nascita e lo sviluppo di "germi del pensiero infinitesimale". Scuola elementare

54 54 I sensori di posizione Scuola mediaScuola superiore

55 55 A turno, ciascun coordinatore di ogni gruppo si è mosso rispetto al sensore, osservando la traccia del proprio movimento proiettata su un muro dell'aula grazie a un view screen posto su una lavagna luminosa e collegato alla calcolatrice. La consegna prevedeva che anche gli altri studenti osservassero attentamente, dal proprio banco, il movimento dei coordinatori e la traccia descritta sul muro dell'aula. Scuola superioreScuola media

56 56 Scuola superioreScuola media Gli studenti si sono riuniti nei gruppi di lavoro per riflettere e discutere su quanto avevano fatto o visto fare. La consegna era quella iniziare ad avanzare ipotesi (o di confrontare quelle eventualmente già pensate individualmente durante la precedente attività) sul come e perché il movimento fosse legato al grafico osservato sul muro.

57 57 Scuola superioreScuola media A turno, tutti gli alunni che nella prima attività si erano limitati semplicemente a osservare il movimento dei coordinatori dei gruppi di lavoro, sono stati chiamati a compiere essi stessi il movimento. Inizialmente, però, la lavagna luminosa veniva spenta: i compagni di gruppo (eventualmente anche di altri gruppi) dovevano disegnare un grafico tempo-posizione che rappresentasse il movimento. Subito dopo, la lavagna veniva riaccesa, in modo che gli studenti potessero confrontare la traccia disegnata sul muro con il grafico tempo-posizione prodotto sul foglio.

58 58 Scuola superioreScuola media Gli studenti si sono nuovamente riuniti in gruppo per rispondere a domande riguardanti l'interpretazione di alcune caratteristiche grafiche delle tracce osservate sul muro (per esempio, che cosa suggerisce un segmento orizzontale, uno obliquo, oppure un tratto di curva e così via…) A turno, i coordinatori di ciascun gruppo si sono mossi con il sensore in funzione e con la traccia proiettata alle loro spalle, in modo tale che essi, al contrario dei compagni, non potessero osservare la traccia prodotta dal proprio movimento. I coordinatori dovevano descrivere verbalmente, al tempo stesso, i propri movimenti e le caratteristiche significative della traccia proiettata sul muro e visibile a tutti gli altri studenti. I compagni di gruppo dovevano prendere nota di eventuali errori commessi dal coordinatore per poi discuterne al termine dell'esperienza.

59 59 Scuola superioreScuola media A turno, ogni studente doveva cercare di riprodurre, con il proprio movimento, un grafico tempo-posizione generato dalla calcolatrice. A turno, ciascun coordinatore si è mosso e i compagni di gruppo hanno riportato, sul proprio quaderno, la traccia proiettata sul muro durante il movimento del coordinatore. Al termine del movimento, il coordinatore, utilizzando una specifica funzione fornita dalla calcolatrice, ha rilevato un certo numero di coppie di dati "tempo-posizione". I dati raccolti sono stati elaborati in classe dagli studenti, con l'aiuto l'insegnante, in successive lezioni.

60 60 Il figlio di un re, ormai diventato grande, era curioso di visitare e di conoscere limmenso regno del padre. Un giorno decise di partire insieme a tutto il suo seguito: cavalieri, servi, carri, tende e viveri. Ogni giorno percorrevano 50 chilometri e alla sera si accampavano per la notte. Temendo che il viaggio fosse lunghissimo, il figlio del re, già dopo la prima notte di sosta, chiamò il cavaliere più fidato e gli disse: Tu hai il compito di fare avanti e indietro dalla nostra postazione al castello, per portarmi notizie di mia madre, di mio padre e riferirmi che cosa succede. Io intanto continuerò ad andare avanti. Così si salutarono e il figlio del re riprese a cavalcare, allontanandosi sempre più dal castello. Ogni giorno il figlio del re percorreva 50 chilometri e il suo messaggero ne percorreva 100… Dobbiamo scoprire quanti giorni intercorrono tra due successivi incontri del principe con il cavaliere … Scuola superioreScuola mediaScuola elementare

61 61 Viene utilizzata ununica retta per rappresentare spazio e tempo. Per il figlio del re ogni punto della retta rappresenta un evento individuato da due numeri (giorno e posizione, che coincide con i chilometri percorsi); per il cavaliere, che va avanti e indietro, sono utilizzati diversi numeri che rappresentano i giorni, perché il cavaliere passa per la stessa posizione in giorni diversi. Se si rappresentano le due leggi orarie con le corrette pendenze, basta contare i quadretti per scoprire che figlio del re e cavaliere si incontrano in giorni che sono potenze di 3 Supponiamo di trovarci alln-esimo incontro, a una distanza d dal castello (che coincide con la posizione del re nel sistema che ha come origine il castello); il cavaliere, prima di incontrare nuovamente il re, deve ripassare dalla posizione d e quindi percorrere una distanza 2*d. Nello stesso tempo il re, che si muove a una velocità che è la metà di quella del cavaliere, ha percorso una distanza d trovandosi quindi in vantaggio di d rispetto al cavaliere. Questi, muovendosi a velocità doppia del re, lo raggiungerà dopo aver percorso una distanza 2*d a partire dalla posizione dellennesimo incontro (d). Quindi il cavaliere, dopo ogni incontro, percorrerà una distanza 4*d, mentre il re una distanza 2*d. Entrambi, essendo partiti dalla posizione d, si troveranno, al prossimo incontro, nella posizione 3*d. Quindi la legge ricorsiva d(1) = 50 d(n+1) = 3*d(n) dà le posizioni dei successivi incontri. La legge esplicita è d(n) = 50 * 3 n con n numero naturale. Analoga legge varrà per i tempi t(n+1) = 3*t(n) con t(1) = 1. Quindi t(n) = 3 n con n numero naturale. Scuola superioreScuola media

62 62 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare Classi interessate nella sperimentazione: due quinte elementari e una seconda liceo scientifico a sperimentazione PNI (gli studenti del liceo fungevano da tutor dei bambini della scuola elementare, oltre a seguire un percorso più approfondito e completo).

63 63 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare Interviste a genitori e nonni, ricerche su internet e sui libri per individuare fatti importanti dal 1960 al 2005 (locali e nazionali). Costruzione di una striscia del tempo dal 1960 al 2005 nella quale inserire i fatti ritenuti più significativi per esporla in classe (o nel corridoio) e poi trasferirla sul quaderno.

64 64 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare Una raccolta di statistiche della variazione dei prezzi di certi beni e del salario di un operaio dal 1960 al 2005 per evidenziare levoluzione dei prezzi e il cambiamento del potere di acquisto del denaro e il cambiamento del potere di acquisto del salario mensile su un certo insieme di beni (uso di un foglio elettronico per la raccolta e lelaborazione dei dati). Gli studenti del liceo elaborano autonomamente i dati, anche con lobiettivo di aiutare i bambini della scuola elementare a risolvere eventuali problemi incontrati.

65 65 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare Verifica finale con proposta agli studenti di un testo in cui si parla di variazione del potere di acquisto, sondando la loro capacità di capire un testo destinato agli adulti. Descrizione dellesperienza.

66 66 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare Vedere CD … Come approccio ad unattività più sistematica, tesa a rilevare come cambia il valore del denaro nel tempo, gli alunni completano collettivamente la tabella … Immediatamente gli alunni rilevano che, per effettuare un possibile confronto, è indispensabile utilizzare la stessa unità di misura: si rende necessario convertire in lire i valori espressi in euro o, viceversa, in euro quelli espressi in lire…

67 67 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare 1. Nel 2006, sia i prezzi che lo stipendio sono molto più alti rispetto agli altri anni. 2. Le auto costano sempre più dello stipendio di un operaio. 3. Per acquistare un televisore, sia nel 1955 che nel 1965, occorreva più di uno stipendio, mentre nel 2006 con uno stipendio si potrebbero acquistare 5 televisori 4. Il biglietto dellautobus e il quotidiano mantengono lo stesso prezzo. 5. Tutti i prodotti dal 1955 al 1965, aumentano di prezzo, tranne zucchero, benzina e televisori.

68 68 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare

69 69 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare Si consegna a ogni singolo alunno: una tabella a doppia entrata indicante i prezzi al consumo di una serie di prodotti per ogni quinquennio a partire dal 1960; un foglio per effettuare registrazioni e calcoli a livello collettivo o di gruppo; un foglio personale dove scrivere osservazioni, problemi, quesiti. In un secondo momento, al termine delle attività, in piccolo gruppo, gli alunni metteranno in comune le reciproche osservazioni, confrontandosi e cercando di chiarirsi eventuali problemi. I quesiti rimasti aperti e le osservazioni che gli alunni stessi riterranno significative verranno riportati in classe virtuale. Si prende in esame il decennio 1960 – 1970 e si misura il potere di acquisto della lira, calcolando quanti chili di carne si potevano acquistare nel 1960, nel 1965 e nel 1970.

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71 71 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare Mentre si registrano le variazioni dei costi su un grafico cartesiano, Sanie esprime la perplessità di non riuscire a pensare ad un grafico che registri contemporaneamente le variazioni relative allo stipendio e quelle relative, ad esempio, alla carne: sul grafico cartesiano non riusciamo a confrontare insieme i valori dello stipendio,dal 1965 al 1975,e quelli della carne:l'ascissa va bene ma... l'ordinata? Il problema viene preso in carico dagli studenti tutor … I numeri indice …

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73 73 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare I bambini leggono, insieme allinsegnante tabelle e grafici dellISTAT. Ricompaiono i numeri indice. Si studia unattività per iniziare a far comprendere la loro importanza e utilità nello studio di una serie storica. La scheda di Flatlandia

74 74 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare …

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76 76 Scuola superioreScuola mediaScuola elementare La variazione del denaro nello spazio I numeri del consumo energetico nel mondo I numeri del consumo dellacqua nel mondo

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79 79 Si tratta di uno dei siti più ricchi di materiali didattici per l'insegnamento - apprendimento della matematica. Il sito è organizzato dal gruppo di Paolo Boero, del Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova e contiene materiali per ogni livello scolare, dalle elementari al triennio della scuola secondaria. In particolare, cliccando sull'hotword "progetto MIUR/DIMA", si accede a una serie di lavori effettuati da alcuni docenti di diversi ordini scolari. In questi lavori è compreso il mio "Storia di una ricerca" che è una puntuale descrizione di un anno di lavoro con una classe di prima liceo scientifico.

80 80 La Matematica per il cittadino Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo curricolo di matematica Ciclo secondario Ministero dellIstruzione, dellUniversità e della Ricerca Direzione Generale Ordinamenti Scolastici Unione Matematica Italiana Società Italiana di Statistica Liceo Scientifico Statale A.Vallisneri Lucca matematica 2003

81 81 È il sito del Progetto Macosa, un progetto di innovazione nell'insegnamento della matematica nella scuola secondaria superiore coordinato da Carlo Dapueto del Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova. I materiali che si trovano in rete a questo indirizzo sono particolarmente interessanti e curati. Se si vuole andare direttamente ai materiali per gli studenti utilizzare l'indirizzo

82 82 esources Una raccolta di attività di matematica on line classificate per livello scolare e progettate come esempi di applicazione degli standard nazionali dei programmi degli Stati Uniti d'America. Si tratta di attività particolarmente intelligenti e stimolanti, alle quali mi sono spesso ispirato nella mia attività di insegnamento.standard nazionali dei programmi degli Stati Uniti d'America.

83 83 Sito di Michele Impedovo, docente dell'Università Bocconi, Luigi Tomasi e Domingo Paola, docenti di scuola secondaria di secondo grado. I siti propongono materiali didattici, articoli di descrizione di esperienze e di riflessione sull'insegnamento - apprendimento della matematica, con una particolare attenzione all'uso delle nuove tecnologie... navigazione quanto mai opportuna, per chi è interessato a questo tema.

84 84 In particolare, per il lavoro sulla variazione del denaro nel tempo:

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