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LABORATORIO di FISICA III Pendolo anarmonico

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Presentazione sul tema: "LABORATORIO di FISICA III Pendolo anarmonico"— Transcript della presentazione:

1 LABORATORIO di FISICA III Pendolo anarmonico
A cura di Boschetti Fabio & Rizzi Valerio

2 Laboratorio III: pendolo anarmonico
INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dell’attrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni Laboratorio III: pendolo anarmonico

3 Laboratorio III: pendolo anarmonico
ABSTRACT Lo scopo di questo esperimento è duplice: Studiare l’andamento del periodo di un pendolo in un ampio intervallo di angoli iniziali, e in particolare analizzare il comportamento del pendolo per angoli in cui il periodo non segue la normale approssimazione. Estrapoleremo dai dati raccolti approssimazioni diverse, più adatte a spiegare il comportamento del pendolo e faremo un confronto tra due di esse: -serie di Taylor -media aritmetica e geometrica Stimare la forza d’attrito agente sul pendolo e confrontare lo spazio delle fasi teorico con quello interpolato dai dati sperimentali. Laboratorio III: pendolo anarmonico

4 Laboratorio III: pendolo anarmonico
INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dell’attrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni Laboratorio III: pendolo anarmonico

5 Laboratorio III: pendolo anarmonico
Introduzione Teorica Dopo dei passaggi elementari si giunge alla nota equazione differenziale del pendolo. Per piccole oscillazioni è possibile approssimare il sinθ con θ e procedere nel modo usuale; lo scopo di questo laboratorio va oltre e quindi dovremo trovare dei modi per approssimare meglio l’equazione differenziale. Laboratorio III: pendolo anarmonico

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I MODO Consideriamo il pendolo dal punto di vista energetico e ne facciamo un bilancio, indicando con θ0 l’angolo a cui il pendolo raggiunge la massima altezza. Utilizzando l’identità trigonometrica otteniamo la seguente da cui Laboratorio III: pendolo anarmonico

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Ora integriamo per trovare il periodo, usando θ0 e 0 come estremi e considerando che il tempo trovato sarà ¼ del periodo. Quello che troviamo è un integrale ellittico del primo tipo. Per semplificare i calcoli effettuiamo le seguenti sostituzioni da cui Laboratorio III: pendolo anarmonico

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Varrà dove con Espandiamo in serie di Taylor il fattore ottenendo questa approssimazione del periodo in cui, per ragioni di spazio, ci fermiamo al 4° grado. Nella trattazione successiva arriveremo fino al 10° grado. Notiamo che per θ0 circa 0, k tende a zero e l’approssimazione del periodo diventa quella che tutti conosciamo. Laboratorio III: pendolo anarmonico

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II MODO Torniamo all’integrale a cui stavolta applichiamo le seguenti che ci portano a dove con le condizioni Laboratorio III: pendolo anarmonico

10 Laboratorio III: pendolo anarmonico
Per valutare la funzione K(k) numericamente, introduciamo i due termini ricorsivi dove a e b sono numeri reali tali che Si può dimostrare che per ogni e quindi infatti, sostituendo, si ha poniamo e e quindi che è vero Laboratorio III: pendolo anarmonico

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Tornando alla formula, poiché il membro a destra tende a zero per , le serie an e bn convergono a un limite comune, univocamente determinato da a0 e b0 . Chiameremo questo limite Introduciamo ora la famiglia di integrali in cui K rappresenta il caso Laboratorio III: pendolo anarmonico

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Siamo quindi giunti alla relazione chiave dove a1 e b1 sono la media aritmetica e geometrica di a e b rispettivamente. Quindi, per induzione Se teniamo il limite e usiamo la definizione di M(a,b), otteniamo che nel nostro caso particolare, diventa dove Usiamo questo risultato in per ottenere L’approssimazione ai primi 4 ordini risulta quindi essere con Laboratorio III: pendolo anarmonico

13 Laboratorio III: pendolo anarmonico
INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dell’attrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni Laboratorio III: pendolo anarmonico

14 APPARATO SPERIMENTALE
STRUMENTI INTERFACCIA PASCO PASCO 500 MASSA + VITE SENSORE DI SPOSTAMENTO ANGOLARE BASE D’APPOGGIO DISCO FISSAGGIO ASTA + VITE Entrata singoli elementi e conculsione con questa foto ASTA OSCILLANTE V ASTA DI SUPPORTO Laboratorio III: pendolo anarmonico

15 Laboratorio III: pendolo anarmonico
Oggetto Massa (±0,1 g) Diametro Est. (±0,1 mm) Diametro Int. (±0,1 mm) Lunghezza Masse 74 25,2 8,0 20,0±0,1 V.Grossa 7,0 V.Piccola 1,0 Asta 26,6 5,4 381 ± 1 Disco 7,9 5,0 Le misure sono state prese utilizzando una bilancia elettronica, un calibro e un righello per la lunghezza dell’asta perché era troppo lunga per il calibro Laboratorio III: pendolo anarmonico

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MONTAGGIO Livellare la base per mezzo di una bolla Inserire l’asta di supporto nella base Fissare il sensore di spostamento angolare in cima all’asta di supporto Collegare il sensore all’interfaccia Collegare l’interfaccia al computer Posizionare il disco facendo passare dal foro centrale il perno del sensore Fissare sul disco l’asta oscillante per mezzo dell’apposita vite, facendo attenzione ad adagiare il corpo dell’asta tra le 2 coppie di scanalature presenti diametralmente opposte sul disco Aggiungere via via più masse supplementari quanto richiesto dall’esperimento Laboratorio III: pendolo anarmonico

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Interfaccia POWER Computer Sensore spostamento angolare Laboratorio III: pendolo anarmonico

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INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dell’attrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni Laboratorio III: pendolo anarmonico

19 DETERMINAZIONE CENTRO DI MASSA E MOMENTO D’INERZIA
ASTA SEMPLICE X cma(m) Err. Ass. Err. % 0.166 0.001 0.8% CENTRO DI MASSA Abbiamo assunto l’asta di densità uniforme e abbiamo fissato l’origine del sistema di riferimento nel perno dell’asta. Perciò il CM dell’asta singola cadrà nel punto Xcma secondo la formula sottostante MOMENTO D’INERZIA Per trovare il momento d’inerzia dell’asta rispetto al perno basta applicare il teorema di Huygens-Steiner. Ometteremo sempre il polo rispetto a cui calcoleremo i momenti perché sarà sempre nel perno del pendolo. I asta(kgm2) Err. Ass. Err. % 1.05*10-3 0.02*10-3 1.9% Xdx Xsx Xcma x -0,025 0,166 0,356 Laboratorio III: pendolo anarmonico

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ASTA SEMPLICE + 1 MASSA X cm(m) Err. Ass. Err. % 0.299 0.002 0.6% CENTRO DI MASSA Abbiamo assunto che il centro di massa del pesetto cada esattamente a metà, anche se non è esattamente simmetrico per via della vite da 1 grammo. Il centro di massa del sistema sarà dato dalla media del sistema asta e del sistema pesetto come si vede dalla formula qui sotto. MOMENTO D’INERZIA I tot(kgm2) Err. Ass. Err. % 10.03*10-3 0.06*10-3 0.6% XM Xsx Xcma Xcm x -0,025 0,166 0,299 0,346 0,356 Laboratorio III: pendolo anarmonico

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INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dell’attrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni Laboratorio III: pendolo anarmonico

22 Andamento sperimentale del periodo al variare degli angoli
Tramite il software Science Workshop abbiamo determinato il periodo per ciascuna prova misurando la distanza tra i picchi nel grafico angolo-tempo riportato in figura. Per semplicità di trattazione escludiamo dal discorso gli angoli superiori a 150°, a cui sarà dedicata una sezione successivamente. Abbiamo effettuato la misura in 3 modi: su 10 periodi, su 3 e su 1. Nel caso di 10 periodi evidentemente la precisione sui dati migliora molto, ma è evidente che su angoli dove il periodo non è con buona approssimazione costante la misura è errata. Laboratorio III: pendolo anarmonico

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La precisione del mirino di Science Workshop è di 0.01 secondi e, visto che la misura del periodo prevede la rilevazione di 2 punti, l’errore sulle misure chiamate “1 oscillazione” sarà quindi secondi. Visti i valori del periodo rilevati, l’errore % che ne deriverà sarà sempre intorno all’1%, perciò per i nostri scopi già la misura da 1 oscillazione può essere considerata soddisfacente. Angolo ° 1 osc. 3 osc. 10 osc. 2 1,15 1,150 4 6 1,16 1,158 8 1,157 10 15 1,159 30 1,17 1,176 45 1,20 1,205 Angolo ° 1 osc. 3 osc. 10 osc. 60 1,23 1,231 75 1,29 1,28 1,272 90 1,36 1,34 1,327 105 1,45 1,43 1,443 120 1,58 1,53 1,476 135 1,71 1,64 1,561 150 1,95 1,80 1,653 Laboratorio III: pendolo anarmonico

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Ci siamo però accorti che lo smorzamento su una oscillazione era davvero rilevante, come si può notare dalla figura. Introducendo l’angolo da 180° e mantenendo lo stesso sistema di misurazione otterremmo il grafico che segue. Laboratorio III: pendolo anarmonico

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Ricordiamo che a 180° il pendolo presente un punto di equilibrio instabile e quindi il periodo per angoli sempre più vicini a 180° dovrebbe crescere ad libitum. Abbiamo provato allora a sacrificare la precisione per cercare di ottenere un risultato più attinente alla realtà. Abbiamo quindi ripetuto le misure del periodo per angoli superiori a 45° prendendo come riferimento mezzo e un quarto di periodo. Nella tabella le confrontiamo con i valori ottenuti per 1 intera oscillazione. Angolo ° 1/4 osc. (±0.06s) 1/2 osc. (±0.03s) 1 osc. (±0.014s) 45 1,18 1,20 60 1,22 1,23 75 1,28 1,30 1,29 90 1,36 1,37 105 1,44 1,45 120 1,56 1,58 135 1,68 1,7 1,71 150 1,96 1,92 1,95 165 2,48 2,39 2,30 180 6,00 4,18 2,97 Possiamo notare che fino a 150° i valori ottenuti sono sempre molto vicini, quindi nella nostra stima del periodo possiamo prendere tranquillamente il dato da 1 oscillazione. I dati da 165° e soprattutto da 180° cambiano molto in base al tipo di misurazione effettuata per l’intervento dell’attrito che smorza pesantemente l’angolo di massimo. Laboratorio III: pendolo anarmonico

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Integrando questi ultimi dati otteniamo quello che chiameremo “Periodo sperimentale” e useremo nelle analisi successive. Angolo (°) 2 4 6 8 10 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 Periodo (s) 1.15 1.16 1.17 1.20 1.23 1.29 1.36 1.45 1.58 1.71 1.95 2.48 6.00 Err. Ass. 0.01 0.06 Err. % 0.9% 0.8% 0.7% 0.6% 0.5% 2.4% 1.0% Laboratorio III: pendolo anarmonico

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INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dell’attrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni Laboratorio III: pendolo anarmonico

28 Approssimazione analitica del periodo
Come spiegato nella parte teorica, abbiamo utilizzato essenzialmente 2 metodi per ottenere un’approssimazione analitica del periodo per ogni angolo iniziale. I MODO Il I modo prevede un’espansione in serie di Taylor e perciò restituisce sempre migliore precisione al crescere dei termini. Noi ci siamo spinti fino a 6, e questo è il risultato. Laboratorio III: pendolo anarmonico

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II MODO Il II modo è un po’ più laborioso. Tramite una procedura ricorsiva si ottiene una approssimazione punto per punto del periodo per ogni angolo iniziale. Abbiamo svolto 3 iterazioni e le curve che abbiamo ottenuto sono le seguenti Laboratorio III: pendolo anarmonico

30 Laboratorio III: pendolo anarmonico
INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dell’attrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni Laboratorio III: pendolo anarmonico

31 Confronto con l’andamento sperimentale della curva
Dapprima limitiamo la nostra analisi ad angoli inferiori a 150°. Notiamo che per angoli inferiori a 60° tutte le approssimazioni analitiche riproducono bene l’andamento della curva sperimentale. Fino a circa 100° l’andamento sperimentale è man mano meglio riprodotto solo dalle curve AGM e da quelle con più termini di Taylor. Oltre 100° è evidente che le approssimazioni ricorsive siano più aderenti alla curva sperimentale. In particolare le curve di Taylor presentano un cambio di concavità mentre le altre crescono in modo deciso. Notiamo inoltre che sembra non esserci differenza tra l’approssimazione AGM 2 e AGM 3, rispettivamente a 2 e 3 iterazioni. Il motivo è da ricercarsi nel fatto che ora siamo fermi a 150°. Laboratorio III: pendolo anarmonico

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Ora estendiamo l’analisi a tutto il range degli angoli fino a 180° Laboratorio III: pendolo anarmonico

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La situazione che si delineava nel caso limitato a 150°, qui si fa evidente. Le curve AGM incontrano evidentemente un asintoto per 180° a differenza di quelle di Taylor. I dati sperimentali, cioè le rilevazioni per 165° e 180° seguono evidentemente l’andamento asintotico. Purtroppo al momento attuale non possiamo più ripetere l’esperimento. Qualche ulteriore dato in quella zona sarebbe stato veramente utile. Notiamo inoltre che ora c’è una marcata differenza tra la AGM 2 e la AGM 3, una differenza che però si palesa solo nella zona di angoli intorno ai 180°. Laboratorio III: pendolo anarmonico

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INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dell’attrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni Laboratorio III: pendolo anarmonico

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Stima dell’attrito E’ evidente che il pendolo reale si comporta ben diversamente da quello ideale che non dissipa energia nel moto. L’effetto dell’attrito è sempre più evidente al crescere dell’angolo. Emblematico è il caso delle oscillazioni per 180° di cui riportiamo qui il grafico dell’angolo in funzione del tempo e il grafico dello spazio delle fasi, entrambi in confronto coi corrispondenti per 90°. Laboratorio III: pendolo anarmonico

36 Laboratorio III: pendolo anarmonico
L’equazione che utilizzeremo è la seguente: ΔE indica la differenza di energia del sistema nell’arco di un periodo; ovviamente coinciderà con il lavoro della forza di attrito. Avevamo poi provato a stimare la F di attrito come funzione lineare della velocità, e ricavare il coefficiente di attrito dinamico, ma ci siamo accorti di un errore nei conti e non è stato possibile sistemarli in tempo. Proponiamo quindi una trattazione ridotta in questa parte. Laboratorio III: pendolo anarmonico

37 Laboratorio III: pendolo anarmonico
Proponiamo qui un grafico dell’andamento della perdita di energia in funzione dell’angolo iniziale. Si nota subito il differente comportamento per angoli piccoli ed elevati. Se nei primi l’attrito è con buona approssimazione trascurabile, negli ultimi assume un ruolo decisamente rilevante. Laboratorio III: pendolo anarmonico

38 L’errore nella misurazione degli angoli è di 0. 25°
L’errore nella misurazione degli angoli è di 0.25°. Considerando quest’ultimo come unico errore rilevante, otteniamo un errore sull’energia di J che su ΔE diventa J. Come si vede in tabella questo si traduce in errori percentuali enormi per angoli piccoli, dove la perdita di energia in un periodo è infinitesima. Inoltre, per angoli piccoli, la differenza di energia tra due oscillazioni consecutive è così ridotta che non è stimabile con la precisione del nostro setup. Angolo iniziale (gradi) Energia iniziale (J) Angolo dopo 1 osc (gradi) Energia dopo 1 osc. (J) ΔE err. % 2 0,000 4 0,001 6 0,002 8 0,003 7,75 10 0,005 15 0,010 14,75 30 0,040 29,75 0,039 -0,001 284% 45 0,087 44,25 0,084 -0,003 67% 60 0,149 59,25 0,145 55% 75 0,221 74 0,216 -0,005 37% 90 0,298 88,5 0,290 -0,008 24% 105 0,375 103,25 0,366 -0,009 21% 120 0,446 117,2 0,434 -0,013 14% 135 0,508 131 0,493 -0,015 12% 150 0,555 143,5 0,537 -0,019 10% 165 0,585 154 0,565 -0,020 9% 180 0,595 155,25 0,568 -0,027 7% Laboratorio III: pendolo anarmonico

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INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dell’attrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni Laboratorio III: pendolo anarmonico

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Fit spazio delle fasi In questa ultima parte abbiamo utilizzato il software Igor Pro per fare il fit di un ramo dei dati sperimentali nello spazio delle fasi tramite l’equazione riportata sotto. Abbiamo scelto la serie di dati da 90° e quella da 180°. La seconda sarà ovviamente un caso estremo, pesantemente influenzato dall’attrito. Abbiamo deciso di utilizzare il momento d’inerzia come unico parametro libero visto che la compresenza di troppi gradi di libertà aumenta l’errore sulla stima che Igor dà a ciascun parametro. Laboratorio III: pendolo anarmonico

41 Laboratorio III: pendolo anarmonico
I (kgm2) err. l err % Diff. relativa t Sperimentale 0.6% 1.9% 1.75 Fit 0.9% 90° Il valore del momento d’inerzia che otteniamo dal fit è confidente con quello sperimentale anche se non precisissimo. Crediamo che ciò sia dovuto al fatto che la curva interpolante ideale dovrebbe considerare i dati sperimentali tutti sistematicamente sottostimati a causa dell’attrito. Invece, nel nostro fit, la curva interpolante li ritiene casualmente sovrastimati o sottostimati. In ogni caso, siccome l’intervento dell’attrito nel caso di 90° non è rilevantissimo questo effetto non si ripercuote pesantemente sull’imprecisione del momento d’inerzia. # punti parametri gradi di libertà Χ2 Χ2 ridotto 73 1 72 2.2 0.03 Laboratorio III: pendolo anarmonico

42 Laboratorio III: pendolo anarmonico
I (kgm2) err. l err % Diff. relativa t Sperimentale 0.6% 5.5% 3.8 Fit 1.2% 5.2% 180° In questo caso i valori del momento d’inerzia non possono dirsi confidenti. Le cause sono da ricercarsi nell’effetto citato nel caso da 90° e qui decisamente più influente e soprattutto nella distribuzione profondamente asimmetrica dei punti sperimentali a causa dell’attrito. Questo si nota molto osservando la coda a destra del grafico, dove la curva interpolante proseguirebbe in modo simmetrico mentre i dati sperimentali deviano verso il basso in modo più marcato. # punti parametri gradi di libertà Χ2 Χ2 ridotto 212 1 211 32.3 0.15 Laboratorio III: pendolo anarmonico

43 Laboratorio III: pendolo anarmonico
INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dell’attrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni Laboratorio III: pendolo anarmonico

44 Laboratorio III: pendolo anarmonico
Conclusioni Possiamo affermare, nei limiti della precisione del nostro apparato, che l’esperimento ha dato buoni risultati. Bibliografia S. T. Thornton e J. B. Marion, “Classical dynamics of particles and systems” Fifth Edition, Thomson C.G. Carvalhes e P. Suppes, “Approximations for the period of the simple pendulum based on the arithmetic-geometric mean”, Am. J. Ph. Vol. 76, No. 12 Laboratorio III: pendolo anarmonico


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