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LABORATORIO di FISICA III A cura di Boschetti Fabio & Rizzi Valerio Pendolo anarmonico.

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Presentazione sul tema: "LABORATORIO di FISICA III A cura di Boschetti Fabio & Rizzi Valerio Pendolo anarmonico."— Transcript della presentazione:

1 LABORATORIO di FISICA III A cura di Boschetti Fabio & Rizzi Valerio Pendolo anarmonico

2 INDICE 2Laboratorio III: pendolo anarmonico Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dellattrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni

3 3Laboratorio III: pendolo anarmonico ABSTRACT Lo scopo di questo esperimento è duplice: 1)Studiare landamento del periodo di un pendolo in un ampio intervallo di angoli iniziali, e in particolare analizzare il comportamento del pendolo per angoli in cui il periodo non segue la normale approssimazione. Estrapoleremo dai dati raccolti approssimazioni diverse, più adatte a spiegare il comportamento del pendolo e faremo un confronto tra due di esse: -serie di Taylor -media aritmetica e geometrica 2)Stimare la forza dattrito agente sul pendolo e confrontare lo spazio delle fasi teorico con quello interpolato dai dati sperimentali.

4 INDICE 4Laboratorio III: pendolo anarmonico Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dellattrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni

5 Laboratorio III: pendolo anarmonico5 Introduzione Teorica Dopo dei passaggi elementari si giunge alla nota equazione differenziale del pendolo. Per piccole oscillazioni è possibile approssimare il sinθ con θ e procedere nel modo usuale; lo scopo di questo laboratorio va oltre e quindi dovremo trovare dei modi per approssimare meglio lequazione differenziale.

6 Laboratorio III: pendolo anarmonico6 Consideriamo il pendolo dal punto di vista energetico e ne facciamo un bilancio, indicando con θ 0 langolo a cui il pendolo raggiunge la massima altezza. Utilizzando lidentità trigonometrica otteniamo la seguente da cui I MODO

7 7Laboratorio III: pendolo anarmonico Ora integriamo per trovare il periodo, usando θ 0 e 0 come estremi e considerando che il tempo trovato sarà ¼ del periodo. Quello che troviamo è un integrale ellittico del primo tipo. Per semplificare i calcoli effettuiamo le seguenti sostituzioni da cui

8 8Laboratorio III: pendolo anarmonico Varrà dove con Espandiamo in serie di Taylor il fattore ottenendo questa approssimazione del periodo in cui, per ragioni di spazio, ci fermiamo al 4° grado. Nella trattazione successiva arriveremo fino al 10° grado. Notiamo che per θ 0 circa 0, k tende a zero e lapprossimazione del periodo diventa quella che tutti conosciamo.

9 9Laboratorio III: pendolo anarmonico II MODO Torniamo allintegrale a cui stavolta applichiamo le seguenti che ci portano a dove con le condizioni

10 10Laboratorio III: pendolo anarmonico Per valutare la funzione K(k) numericamente, introduciamo i due termini ricorsivi dove a e b sono numeri reali tali che Si può dimostrare che per ogni e quindi infatti, sostituendo, si ha poniamo e e quindi che è vero

11 Laboratorio III: pendolo anarmonico11 Tornando alla formula, poiché il membro a destra tende a zero per, le serie a n e b n convergono a un limite comune, univocamente determinato da a 0 e b 0. Chiameremo questo limite Introduciamo ora la famiglia di integrali in cui K rappresenta il caso

12 Laboratorio III: pendolo anarmonico12 Siamo quindi giunti alla relazione chiave dove a 1 e b 1 sono la media aritmetica e geometrica di a e b rispettivamente. Quindi, per induzione Se teniamo il limite e usiamo la definizione di M(a,b), otteniamo che nel nostro caso particolare, diventa dove. Usiamo questo risultato in per ottenere. Lapprossimazione ai primi 4 ordini risulta quindi essere con

13 INDICE 13Laboratorio III: pendolo anarmonico Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dellattrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni

14 14Laboratorio III: pendolo anarmonico APPARATO SPERIMENTALE STRUMENTI MASSA + VITE V ASTA OSCILLANTE ASTA DI SUPPORTO DISCO FISSAGGIO ASTA + VITE BASE DAPPOGGIO PASCO 500 INTERFACCIA PASCO SENSORE DI SPOSTAMENTO ANGOLARE

15 Laboratorio III: pendolo anarmonico15 Oggetto Massa (±0,1 g) Diametro Est. (±0,1 mm) Diametro Int. (±0,1 mm) Lunghezza (±0,1 mm) Masse7425,28,020,0±0,1 V.Grossa7,0 V.Piccola1,0 Asta26,68,05,4381 ± 1 Disco7,95,0 Le misure sono state prese utilizzando una bilancia elettronica, un calibro e un righello per la lunghezza dellasta perché era troppo lunga per il calibro

16 Laboratorio III: pendolo anarmonico16 MONTAGGIO 1)Livellare la base per mezzo di una bolla 2)Inserire lasta di supporto nella base 3)Fissare il sensore di spostamento angolare in cima allasta di supporto 4)Collegare il sensore allinterfaccia 5)Collegare linterfaccia al computer 6)Posizionare il disco facendo passare dal foro centrale il perno del sensore 7)Fissare sul disco lasta oscillante per mezzo dellapposita vite, facendo attenzione ad adagiare il corpo dellasta tra le 2 coppie di scanalature presenti diametralmente opposte sul disco 8)Aggiungere via via più masse supplementari quanto richiesto dallesperimento

17 Laboratorio III: pendolo anarmonico17 POWER Computer Interfaccia Sensore spostamento angolare

18 Laboratorio III: pendolo anarmonico18 INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dellattrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni

19 19Laboratorio III: pendolo anarmonico DETERMINAZIONE CENTRO DI MASSA E MOMENTO DINERZIA ASTA SEMPLICE x 0,356 -0,025 0,166 X cma 0 X sx X dx Abbiamo assunto lasta di densità uniforme e abbiamo fissato lorigine del sistema di riferimento nel perno dellasta. Perciò il CM dellasta singola cadrà nel punto X cma secondo la formula sottostante CENTRO DI MASSA MOMENTO DINERZIA Per trovare il momento dinerzia dellasta rispetto al perno basta applicare il teorema di Huygens- Steiner. Ometteremo sempre il polo rispetto a cui calcoleremo i momenti perché sarà sempre nel perno del pendolo. X cma (m)Err. Ass.Err. % % I asta (kgm 2 )Err. Ass.Err. % 1.05* * %

20 20Laboratorio III: pendolo anarmonico ASTA SEMPLICE + 1 MASSA x X sx X cma 0,356 0,166 -0,025 XMXM 0 0,299 X cm 0,346 Abbiamo assunto che il centro di massa del pesetto cada esattamente a metà, anche se non è esattamente simmetrico per via della vite da 1 grammo. Il centro di massa del sistema sarà dato dalla media del sistema asta e del sistema pesetto come si vede dalla formula qui sotto. CENTRO DI MASSA MOMENTO DINERZIA X cm (m)Err. Ass.Err. % % I tot (kgm 2 )Err. Ass.Err. % 10.03* * %

21 INDICE 21Laboratorio III: pendolo anarmonico Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dellattrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni

22 22Laboratorio III: pendolo anarmonico Andamento sperimentale del periodo al variare degli angoli Tramite il software Science Workshop abbiamo determinato il periodo per ciascuna prova misurando la distanza tra i picchi nel grafico angolo-tempo riportato in figura. Per semplicità di trattazione escludiamo dal discorso gli angoli superiori a 150°, a cui sarà dedicata una sezione successivamente. Abbiamo effettuato la misura in 3 modi: su 10 periodi, su 3 e su 1. Nel caso di 10 periodi evidentemente la precisione sui dati migliora molto, ma è evidente che su angoli dove il periodo non è con buona approssimazione costante la misura è errata.

23 23Laboratorio III: pendolo anarmonico La precisione del mirino di Science Workshop è di 0.01 secondi e, visto che la misura del periodo prevede la rilevazione di 2 punti, lerrore sulle misure chiamate 1 oscillazione sarà quindi secondi. Visti i valori del periodo rilevati, lerrore % che ne deriverà sarà sempre intorno all1%, perciò per i nostri scopi già la misura da 1 oscillazione può essere considerata soddisfacente. Angolo ° 1 osc.3 osc.10 osc. 2 1,15 1, ,15 1, ,16 1, ,161,151, ,16 1, ,16 1, ,17 1, ,20 1,205 Angolo ° 1 osc.3 osc.10 osc. 60 1,23 1, ,291,281, ,361,341, ,451,431, ,581,531, ,711,641, ,951,801,653

24 24Laboratorio III: pendolo anarmonico Introducendo langolo da 180° e mantenendo lo stesso sistema di misurazione otterremmo il grafico che segue. Ci siamo però accorti che lo smorzamento su una oscillazione era davvero rilevante, come si può notare dalla figura.

25 25Laboratorio III: pendolo anarmonico Ricordiamo che a 180° il pendolo presente un punto di equilibrio instabile e quindi il periodo per angoli sempre più vicini a 180° dovrebbe crescere ad libitum. Abbiamo provato allora a sacrificare la precisione per cercare di ottenere un risultato più attinente alla realtà. Abbiamo quindi ripetuto le misure del periodo per angoli superiori a 45° prendendo come riferimento mezzo e un quarto di periodo. Nella tabella le confrontiamo con i valori ottenuti per 1 intera oscillazione. Angolo ° 1/4 osc. (±0.06s) 1/2 osc. (±0.03s) 1 osc. (±0.014s) 45 1,18 1, ,22 1, ,281,301, ,361,371, ,441, ,56 1, ,681,71, ,961,921, ,482,392, ,004,182,97 Possiamo notare che fino a 150° i valori ottenuti sono sempre molto vicini, quindi nella nostra stima del periodo possiamo prendere tranquillamente il dato da 1 oscillazione. I dati da 165° e soprattutto da 180° cambiano molto in base al tipo di misurazione effettuata per lintervento dellattrito che smorza pesantemente langolo di massimo.

26 26Laboratorio III: pendolo anarmonico Integrando questi ultimi dati otteniamo quello che chiameremo Periodo sperimentale e useremo nelle analisi successive. Angolo (°) Periodo (s) Err. Ass Err. %0.9% 0.8% 0.7% 0.6% 0.5%2.4%1.0%

27 INDICE 27Laboratorio III: pendolo anarmonico Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dellattrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni

28 28Laboratorio III: pendolo anarmonico Approssimazione analitica del periodo Come spiegato nella parte teorica, abbiamo utilizzato essenzialmente 2 metodi per ottenere unapprossimazione analitica del periodo per ogni angolo iniziale. Il I modo prevede unespansione in serie di Taylor e perciò restituisce sempre migliore precisione al crescere dei termini. Noi ci siamo spinti fino a 6, e questo è il risultato. I MODO

29 29Laboratorio III: pendolo anarmonico II MODO Il II modo è un po più laborioso. Tramite una procedura ricorsiva si ottiene una approssimazione punto per punto del periodo per ogni angolo iniziale. Abbiamo svolto 3 iterazioni e le curve che abbiamo ottenuto sono le seguenti

30 INDICE 30Laboratorio III: pendolo anarmonico Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dellattrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni

31 31Laboratorio III: pendolo anarmonico Confronto con landamento sperimentale della curva Dapprima limitiamo la nostra analisi ad angoli inferiori a 150°. Notiamo che per angoli inferiori a 60° tutte le approssimazioni analitiche riproducono bene landamento della curva sperimentale. Fino a circa 100° landamento sperimentale è man mano meglio riprodotto solo dalle curve AGM e da quelle con più termini di Taylor. Oltre 100° è evidente che le approssimazioni ricorsive siano più aderenti alla curva sperimentale. In particolare le curve di Taylor presentano un cambio di concavità mentre le altre crescono in modo deciso. Notiamo inoltre che sembra non esserci differenza tra lapprossimazione AGM 2 e AGM 3, rispettivamente a 2 e 3 iterazioni. Il motivo è da ricercarsi nel fatto che ora siamo fermi a 150°.

32 32Laboratorio III: pendolo anarmonico Ora estendiamo lanalisi a tutto il range degli angoli fino a 180°

33 33Laboratorio III: pendolo anarmonico La situazione che si delineava nel caso limitato a 150°, qui si fa evidente. Le curve AGM incontrano evidentemente un asintoto per 180° a differenza di quelle di Taylor. I dati sperimentali, cioè le rilevazioni per 165° e 180° seguono evidentemente landamento asintotico. Purtroppo al momento attuale non possiamo più ripetere lesperimento. Qualche ulteriore dato in quella zona sarebbe stato veramente utile. Notiamo inoltre che ora cè una marcata differenza tra la AGM 2 e la AGM 3, una differenza che però si palesa solo nella zona di angoli intorno ai 180°.

34 INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dellattrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni 34Laboratorio III: pendolo anarmonico

35 35 Stima dellattrito E evidente che il pendolo reale si comporta ben diversamente da quello ideale che non dissipa energia nel moto. Leffetto dellattrito è sempre più evidente al crescere dellangolo. Emblematico è il caso delle oscillazioni per 180° di cui riportiamo qui il grafico dellangolo in funzione del tempo e il grafico dello spazio delle fasi, entrambi in confronto coi corrispondenti per 90°.

36 Laboratorio III: pendolo anarmonico36 Lequazione che utilizzeremo è la seguente: ΔE indica la differenza di energia del sistema nellarco di un periodo; ovviamente coinciderà con il lavoro della forza di attrito. Avevamo poi provato a stimare la F di attrito come funzione lineare della velocità, e ricavare il coefficiente di attrito dinamico, ma ci siamo accorti di un errore nei conti e non è stato possibile sistemarli in tempo. Proponiamo quindi una trattazione ridotta in questa parte.

37 Laboratorio III: pendolo anarmonico37 Proponiamo qui un grafico dellandamento della perdita di energia in funzione dellangolo iniziale. Si nota subito il differente comportamento per angoli piccoli ed elevati. Se nei primi lattrito è con buona approssimazione trascurabile, negli ultimi assume un ruolo decisamente rilevante.

38 Laboratorio III: pendolo anarmonico38 Angolo iniziale (gradi) Energia iniziale (J) Angolo dopo 1 osc (gradi) Energia dopo 1 osc. (J) ΔEΔEerr. % 20, ,0014 0,000 60,0026 0,000 80,0037,750,0030, ,005100,0050, ,01014,750,0100, ,04029,750,039-0,001284% 450,08744,250,084-0,00367% 600,14959,250,145-0,00355% 750,221740,216-0,00537% 900,29888,50,290-0,00824% 1050,375103,250,366-0,00921% 1200,446117,20,434-0,01314% 1350, ,493-0,01512% 1500,555143,50,537-0,01910% 1650, ,565-0,0209% 1800,595155,250,568-0,0277% Lerrore nella misurazione degli angoli è di 0.25°. Considerando questultimo come unico errore rilevante, otteniamo un errore sullenergia di J che su ΔE diventa J. Come si vede in tabella questo si traduce in errori percentuali enormi per angoli piccoli, dove la perdita di energia in un periodo è infinitesima. Inoltre, per angoli piccoli, la differenza di energia tra due oscillazioni consecutive è così ridotta che non è stimabile con la precisione del nostro setup.

39 INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dellattrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni 39Laboratorio III: pendolo anarmonico

40 40 Fit spazio delle fasi In questa ultima parte abbiamo utilizzato il software Igor Pro per fare il fit di un ramo dei dati sperimentali nello spazio delle fasi tramite lequazione riportata sotto. Abbiamo scelto la serie di dati da 90° e quella da 180°. La seconda sarà ovviamente un caso estremo, pesantemente influenzato dallattrito. Abbiamo deciso di utilizzare il momento dinerzia come unico parametro libero visto che la compresenza di troppi gradi di libertà aumenta lerrore sulla stima che Igor dà a ciascun parametro.

41 Laboratorio III: pendolo anarmonico41 I (kgm 2 )err. lerr %Diff. relativat Sperimentale %1.9%1.75 Fit %1.9% 90° Il valore del momento dinerzia che otteniamo dal fit è confidente con quello sperimentale anche se non precisissimo. Crediamo che ciò sia dovuto al fatto che la curva interpolante ideale dovrebbe considerare i dati sperimentali tutti sistematicamente sottostimati a causa dellattrito. Invece, nel nostro fit, la curva interpolante li ritiene casualmente sovrastimati o sottostimati. In ogni caso, siccome lintervento dellattrito nel caso di 90° non è rilevantissimo questo effetto non si ripercuote pesantemente sullimprecisione del momento dinerzia. # puntiparametrigradi di libertàΧ2Χ2 Χ 2 ridotto

42 Laboratorio III: pendolo anarmonico42 I (kgm 2 )err. lerr %Diff. relativat Sperimentale %5.5%3.8 Fit %5.2% 180° In questo caso i valori del momento dinerzia non possono dirsi confidenti. Le cause sono da ricercarsi nelleffetto citato nel caso da 90° e qui decisamente più influente e soprattutto nella distribuzione profondamente asimmetrica dei punti sperimentali a causa dellattrito. Questo si nota molto osservando la coda a destra del grafico, dove la curva interpolante proseguirebbe in modo simmetrico mentre i dati sperimentali deviano verso il basso in modo più marcato. # puntiparametrigradi di libertàΧ2Χ2 Χ 2 ridotto

43 INDICE Abstract Introduzione teorica Apparato sperimentale Determinazione momento di inerzia e centro di massa del pendolo Parte I a: andamento del periodo al variare degli angoli Parte I b: approssimazione analitica del periodo Parte I c: confronto andamento sperimentale con curva teorica e conclusioni parte I Parte IIa: stima dellattrito Parte IIb: fit spazio delle fasi Conclusioni 43Laboratorio III: pendolo anarmonico

44 44 Conclusioni Possiamo affermare, nei limiti della precisione del nostro apparato, che lesperimento ha dato buoni risultati. Bibliografia S. T. Thornton e J. B. Marion, Classical dynamics of particles and systems Fifth Edition, Thomson C.G. Carvalhes e P. Suppes, Approximations for the period of the simple pendulum based on the arithmetic-geometric mean, Am. J. Ph. Vol. 76, No. 12


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