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Calcolo delle Probabilità. Fenomeno deterministico: se lesperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato Esempi: Moto di un.

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1 Calcolo delle Probabilità

2 Fenomeno deterministico: se lesperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato Esempi: Moto di un grave Traiettoria di una pallina in un biliardo Fenomeno non deterministico: anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni si trovano risultati diversi Esempi: Risultato del lancio di una moneta Traiettoria di 100 palline in un biliardo Vincita in una lotteria Numero di lanci di un dado per ottenere un 6 Introduzione La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici

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5 Spazio campione: Insieme S di tutti i risultati dellesperimento Esempio: Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce} Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari per avere 6 S= N ( numeri naturali)

6 E3E3 E1E1 E2E2 E4E4 E5E5 E6E6

7 Gli eventi semplici sono costituiti da uno solo dei possibili risultati di un esperimento aleatorio. Gli eventi composti sono costituiti da da più di uno dei possibili risultati di un esperimento aleatorio. Un evento composto può sempre essere scomposto in eventi semplici. Se un evento non risulta ulteriormente scomponibile è per definizione un evento semplice.

8 Fenomeno casuale Evento elementare Spazio Campionario Evento Un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario, ovvero un insieme di eventi elementari Si usa dire che levento E si è realizzato se il fenomeno si manifesta con uno degli eventi elementari che appartengono ad E E

9 Lancio di un dado Faccia dispari Faccia pari A =,, B =,, E =, Modi di descrivere levento E Si realizza se viene faccia 3 o faccia 6

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11 Si dice infinito non numerabile uno spazio campione i cui eventi semplici sono tali per cui, fissati due di essi, è sempre possibile determinarne almeno un terzo intermedio. Esempio. Lo spazio costituito dagli eventi esatto momento della nascita è uno spazio infinito non numerabile. Infatti, prese due qualunque persone nate ognuna in un certo momento, è sempre possibile individuarne una terza la cui nascita si colloca tra le due precedenti.

12 Si possono distinguere tre tipi di spazio campione: - spazio campione finito - spazio campione infinito numerabile - spazio campione infinito non numerabile

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14 Spazio campionario (campione) Evento elementare Lancio di un dado Durata di una lampadina 0 max Finito Infinito Fenomeno casuale o prova P

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16 Gli eventi mutuamente esclusivi possono essere rappresentati da insiemi disgiunti.

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19 Eventi incompatibili A B A

20 Partizione di uno spazio campionario A B Partizione di A B Eventi incompatibili A

21 Partizione di uno spazio campionario A B Partizione di a) b) Partizione finita Partizione infinita

22 Partizione dello Spazio Campionario Si dice che gli eventi A 1,…,A k appartenenti ad formano una partizione dello spazio campionario se: (1) (2) cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.

23 Proprietà Unione Intersezione Commutativa Idempotenza Associativa Distributiva Inoltre, si ha:

24 Leggi di De Morgan

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26 Probabilità n Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa dei concetti probabilistici più elementari si trova di fronte ad un problema; infatti, non solo esistono differenti formalizzazioni e assiomatizzazioni della probabilità ma a queste corrispondono, in generale, molteplici nozioni intuitive di probabilità spesso assai diverse fra loro. n Al di là delle differenze di carattere formale un elemento comune posseduto da tutte le forme di probabilità riguarda il suo significato intuitivo di valutazione della possibilità che un dato evento possa accadere o meno.

27 DEFINIZIONE DI PROBABILITA A priori (o matematica, o classica, o di Pascal) A posteriori (o statistica, o frequentistica, o legge empirica del caso) Soggettiva Probabilità: regola che a ogni evento E associa un numero reale compreso tra 0 e 1 p: E p(E)

28 Classica (Pascal) Definizioni di probabilità: Se un evento si può verificare in N modi mutuamente esclusivi ed ugualmente probabili, se m di questi possiede una caratteristica E, la probabilità di E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il totale dei casi possibili (tutti equiprobabili)

29 Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}. p(Testa)=1/2 (casi favorevoli 1, possibili 2) Lanciamo due dadi e calcoliamo la probabilità che la somma dei punti sia 4 Per semplicità scriviamo i numeri estratti come coppie: Le coppie di 6 numeri sono 6 * 6= 36 = numero di casi possibili; I casi favorevoli sono dati dalle coppie (1,3), (2,2) e (3,1) e sono quindi 3. Pertanto p(somma 4 in 2 lanci)=3/36=1/12 Esempi

30 Problemi della definizione classica: non sempre posso dire che eventi sono equiprobabili (asimmetrie - esempio: ho un dato truccato) il numero di casi deve essere finito Aspetti positivi: è una definizione operativa Definizione assiomatica Determinazione della probabilità usando il calcolo combinatoriocalcolo combinatorio Discussione

31 Definizione frequentistica (o a posteriori) (o a posteriori) Richard von Mises Si ripete un esperimento N volte e se un evento con una certa caratteristica E si verifica m volte, la frequenza relativa di successo è f(E) dà una stima per la probabilità di E

32 In base allimpostazione frequentista, per probabilità di un evento si intende il limite a cui tende la frequenza relativa delle prove in cui levento si verifica, quando il numero di prove tende allinfinito: con s = numero di successi e n = numero di prove.

33 Problemi della definizione frequentistica: In situazioni concrete il passaggio al limite su cui si basa la definizione non può essere effettuato È necessario ripetere lesperimento un gran numero di volte

34 Definizione soggettiva (o bayesiana) (o bayesiana) Bernoulli, De Finetti Probabilità: grado di fiducia che una persona ha nel verificarsi dellevento. Prezzo p che si è disposti a pagare per ricevere 1 se levento si verifica e 0 se non si verifica. Esempio: se lancio un dado il prezzo equo per la scommessa esce il 4 dipende dalle informazioni di cui si dispone; se il dado non è truccato si può assumere p=1/6 Problemi della definizione soggettiva: Non è operativa Una valutazione soggettiva non è necessariamente obiettiva

35 Def. 4. Classica La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili. Def. 4. Classica La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili. Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso). In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità. Lapprossimazione si riduce al crescere del numero di prove. Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso). In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità. Lapprossimazione si riduce al crescere del numero di prove. Def. 6. Soggettivista. La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento. Def. 6. Soggettivista. La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento. Definizione di probabilità.

36 Assiomi del Calcolo delle Probabilità. Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi: 1. 2.

37 Probabilità n Linterpretazione geometrica Larea complessiva è uguale a 1 Larea di ogni sottoinsieme è sicuramente positiva Larea di un insieme di superfici che non si sovrappongono è la somma delle aree delle singole superfici

38 Operazioni sugli eventi (sugli insiemi) Se un insieme E non contiene nessun elemento (evento elementare) viene detto insieme vuoto e si indica con

39 A B A Unione di insiemi (o eventi) AAAA

40 Lancio di un dado E =, A =,,,,,

41 Unione A B C A B C Ecc. Associativa Commutativa

42 A Intersezione A B AAAAAA

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44 C A B Ecc. Associativa Commutativa C A B

45 A Negazione

46 Siano A e B due eventi incompatibili allora Teoremi fondamentali del C.P. Teo.1. Teo.2. Teo.3. Teo.4.

47 ESERCIZI

48 n Disposizioni semplici Disposizioni semplici n Disposizioni con Ripetizione Disposizioni con Ripetizione n Permutazioni semplici Permutazioni semplici n Permutazioni con oggetti identici Permutazioni con oggetti identici n Combinazioni Semplici Combinazioni Semplici n Combinazioni con Ripetizione Combinazioni con Ripetizione A volte puo essere difficile, o almeno noioso, determinare per elencazione diretta gli elementi di uno spazio campione finito. CALCOLO COMBINATORIO

49 Calcolo Combinatorio Problema: determinare il numero di elementi di un insieme finito elenco diretto (lungo!) Esempio:in un menù ho 3 antipasti, 2 primi, 4 secondi. Quanti sono i possibili pasti completi (includono tutte le 3 portate - scelte una sola volta)? Diagramma ad albero

50 A1 A2 A3 P1 P2 S1 S2 S3 S4 ………. ……….. 3 x 2 x 4 = 24 pasti completi 3 x 2 x 4 = 24 pasti completi

51 Contare le scelte Se gli insiemi A 1, A 2, …, A k contengono n 1, n 2, …, n k elementi Ho N= n 1 n 2 … n k modi di scegliere prima un elemento di A 1, poi un elemento di A 2 …...infine un elemento di A k In particolare: se n 1 = n 2 =…= n k =n allora N=n k = numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti a gruppi di k

52 Disposizioni Determinare il numero di schedine del totocalcio si devono giocare per essere sicuri di fare 14 Le possibili schedine sono 3 14 = Esempio: = gruppi di oggetti che si possono formare scegliendo k oggetti tra n oggetti (I gruppi devono differire per qualche oggetto e per lordine) Disposizioni con ripetizione: si può ripetere lo stesso oggetto

53 Disposizioni semplici (senza ripetizione) di n oggetti tra k (n) D(n,k) Non si può ripetere lo stesso oggetto Esempio: Ad un gran premio di formula 1 partecipano 20 piloti. I primi tre classificati vanno sul podio.. Quante sono le possibili terne di piloti sul podio? Il primo classificato può essere un qualunque pilota tra 20, Il secondo uno qualunque tra i restanti 19, il terzo uno tra 18 Quindi: D(20,3)=20*19*18 In generale: D(n,k)=n*(n-1)*…*(n-k+1)

54 Permutazioni = numero dei modi in cui si possono ordinare n oggetti P(n) = D(n,n)=n*(n-1)*… 2*1=n! Esempio: Quanti anagrammi (non necessariamente di senso compiuto) si possono formare della parola FOGLI Ho 5 possibili scelte per la prima lettera, 4 per la seconda, … 1 per la quinta, quindi gli anagrammi sono P(5)=5*4*3*2*1=5!=120

55 Combinazioni = disposizioni a meno dellordine = gruppi di oggetti che si possono formare scegliendo k oggetti tra n oggetti (I gruppi devono differire per qualche oggetto ma non per lordine)= Esempio Quante squadre di pallacanestro si possono formare con 8 giocatori Sono le combinazioni di 5 persone scelte tra 8 =

56 Esercizi In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina che ha solo 4 posti? (Si risolva l'esercizio due volte, una volta considerando importante l'ordine in cui si siedono e una no). In quanti modi diversi si possono sedere 7 persone in un tavolo rotondo? Supponiamo di estrarre per 40 volte una pallina da un'urna contenente palline numerate da 1 a 365 ( dopo ciascuna estrazione la pallina estratta viene nuovamente messa nell'urna). Quanti sono i possibili risultati diversi? Quanti sono i possibili risultati in cui i 40 numeri estratti risultano tutti diversi tra loro? Si deve costituire un comitato di 3 membri, rappresentanti ciascuno gli studenti, i docenti e il personale amministrativo. Se ci sono 4 candidati per gli studenti, 3 per i docenti e 2 per il personale amministrativo, si determini quanti comitati differenti si possono formare.

57 Esercizi Dovete preparare un dolce, disponete di una cesta con 10 uova di cui ve ne serviranno solo 2 per l'impasto. Ma vi ricordate che il giorno prima avete posto in quel cesto 4 uova vecchie di due settimane. Qual è la probabilità di aver utilizzato almeno un uovo non fresco? Intorno ad un tavolo rotondo si dispongono a caso 5 uomini e 5 donne. Qual è la probabilità che ogni donna sia seduta tra due uomini? Qual è la probabilità di fare tre volte 6 lanciando tre volte un dado non truccato?

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59 Probabilità condizionata e indipendenza stocastica Dati due eventi A e B, si dice probabilità di B condizionata ad A p(B|A) la probabilità di B calcolata sapendo che si è verificato A. (E ovvio che si può definire una probabilità condizionata al verificarsi di A soltanto se A è possibile.) Esempio: unurna contiene 15 palline rosse e 5 nere. Calcoliamo la probabilità di ottenere in 2 estrazioni consecutive senza reimbussolamento una pallina rossa e poi una nera: A:=estraggo una rossa B:=estraggo una nera p(A)=15/20=3/4 La probabilità di estrarre una nera dopo aver estratto una rossa è 5/19. La conoscenza dellevento A ha ridotto lo spazio dei campioni

60 p(B|A) = 5/19 La probabilità di estrarre prima una rossa e poi una nera è p(A B)=p(A)p(B|A)=3/4*5/19=15/76 Regola di moltiplicazione:

61 p(B|A) in funzione di p(A) e p(A B) se p(A)0 Esempio: trovare la probabilità che con un lancio di un dado si ottenga un numero < 5, sapendo che il risultato del lancio è dispari B:={ottengo un numero < 5} A:={ottengo un dispari} p(B)=2/3, p(A)=1/2, A B={1,3}, p(A B)=1/3 p(B|A)=p(A B)/p(A)=(1/3)/(1/2)=2/3

62 Esercizio La seguente tabella rappresenta la frequenza mensile in cui dei ragazzi vedono il telefilm Friends Numero di volte al mese Maschi Femmine Totale > Totale Scelgo una persona a caso. Qual è la probabilità che non veda mai il telefilm? p(0|M)=4/46 Se è un maschio, qual è la probabilità che non veda mai il telefilm? p(0)=9/97

63 Indipendenza stocastica Se per due eventi A e B p(A|B)=p(A) si dice: levento A è stocasticamente indipendente da B Esempi: Nellesercizio precedente: non vedere mai il telefilm Friends ed essere maschio non sono stocasticamente indipendenti Siano A:={una persona è alta più di 1 metro e 75} B:={una persona non mangia Nutella} Supponiamo che p(A)=0.5, p(B)=0.3, p(A B)=0.15 Allora p(A|B)=p(A B)/p(B)=0.15/0.3=0.5=p(A) Dunque A è stocasticamente indipendente da B.

64 Indipendenza stocastica Nota: p(B|A)=p(A B)/p(A)=0.15/0.5=0.3=p(B) anche B è stocasticamente indipendente da A. Questo non è casuale: A è stoc. indipendente da B B è stoc. indipendente da A e diciamo A e B sono indipendenti

65 Esempio: in unurna ci sono 10 palline rosse e 12 nere. Estraiamo dallurna una pallina poi la rimettiamo nellurna (estrazione con reimbussolamento). Siano A1={estraggo una pallina rossa alla prima estrazione} A2={estraggo una pallina rossa alla seconda estrazione} Laver estratto una rossa alla prima estrazione non influenza la probabilità che la seconda sia rossa A1 e A2 sono indipendenti

66 Regola di moltiplicazione per eventi indipendenti Esempio: Nel caso dellestrazione con reimbussolamento dellesempio precedente la probabilità di estrarre entrambe le volte una pallina rossa è p(A1 A2)=p(A1)p(A2)=(10/22) 2 Vale la seguente regola di moltiplicazione per eventi indipendenti A e B: p(A B)=p(A)p(B) Nota: non confondere i concetti di eventi disgiunti ed eventi indipendenti. Due eventi disgiunti non sono mai indipendenti (se cosi fosse avrei p(A B)=p(ø)=0=p(A)p(B), quindi p(A) o p(B) sarebbe nulla). In realtà due eventi disgiunti sono fortemente dipendenti: se un evento è realizzato non può esserlo laltro.

67 Esercizio Si hanno tre urne. U1 ha 2 palline bianche e 2 nere U2 ha 1 pallina bianca e 3 nere U3 ha 4 palline bianche e 2 nere Si sceglie unurna a caso e si estrae una pallina. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca? U1bianca U2bianca U3bianca 1/3 1/2 1/4 2/3 P(bianca)=1/2 * 1/3 + 1/4 * 1/3 + 2/3 * 1/3=17/36

68 Teorema delle probabilità totali Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A 1,…,A n, che rappresentano una partizione dello spazio campionario cause effetto Dr. Daniela Morale Lutilità del teorema sta nel fatto che talvolta P(A) è difficile da calcolare direttamente, mentre è più facile calcolare le probabilità P(A/B i ) e poi ricostruire P(A) dalla formula

69 Esercizio In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di pioggia è del 30%. La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è dello 40%, e dello 10% se non piove. Qual è la probabilità che vinca Mazzacane? Sia P={piove} M={vince Mazzacane} 0.3 P 0.4 M 0.7 P c 0.1 M p(M)=0.3* *0.1=0.19

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71 Teorema di Bayes Se B è un evento che si verifica insieme ad n eventi incompatibili A 1,…,A n se sappiamo che B si è verificato, ci si può porre il problema di calcolare la probabilità che B venga da uno di tali eventi, un generico A i causa effetto

72 In un Gran Premio di Formula 1 la probabilità di pioggia è del 30%. La probabilità che il pilota Mazzacane vinca se piove è dello 40% e dello 10%, se non piove. Se vince Mazzacane qual è la probabilità che piova? Sia P={piove} M={vince Mazzacane} 0.3 P 0.4 M 0.7 P c 0.1 M Esercizio (continuazione)

73 Esercizio Sia C levento: la nuova sede di scienze sarà pronta nel 2019 e sia E : limpresa a cui è dato lappalto fallirà prima del Se la probabilità che la ditta fallisca prima del 2018 è del 60% e la probabilità che la sede sia pronta è dello 0.15 o dello 0.75 a seconda se la ditta fallisce o no prima del 2018, calcolare la probabilità che se la sede è pronta in tempo, la ditta sia non fallita prima del 2018 p(E)=0.60 p(E c )=0.40 EcEc E C C p(C|E)=0.15 p(C| E c )=0.75

74 Da trovare p(E c | C) Nella formula del teorema di Bayes A numeratore: moltiplicare i numeri del ramo relativo a S-E (quello in basso): p(E c ) * p(C | E c )=0.40 * 0.75 = 0.30 A denominatore: somma dei prodotti delle probabilità di entrambi i rami p(E)*p(C | E)+p(E c ) * p(C | E c )= =0.60 * * 0.75 = 0.39 Si trova allora p( E c | C)=0.30/0.39=0.77

75 La seguente tabella mostra 1000 candidati di una scuola per infermieri classificati secondo il punteggio riportato allesame di ingresso alluniversità e la qualità della scuola superiore da cui provenivano Dire qual è la probabilità che un candidato 1. Abbia avuto un punteggio basso allesame. 2. Si sia diplomato in una scuola ottima 3. Abbia avuto un punteggio basso e si sia diplomato in una scuola ottima. 4. Ammesso che si sia diplomato in una scuola ottima, abbia avuto un punteggio basso Esercizio di riepilogo

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79 Dunque, una v.c. è una regola (una funzione) che permette di assegnare un valore numerico ad ogni risultato dellesperimento. Dalla definizione è evidente che dato uno spazio campionario è possibile costruire infinite v.c. (si osserva che tale funzione non deve essere necessariamente biunivoca). Dunque, una v.c. è una regola (una funzione) che permette di assegnare un valore numerico ad ogni risultato dellesperimento. Dalla definizione è evidente che dato uno spazio campionario è possibile costruire infinite v.c. (si osserva che tale funzione non deve essere necessariamente biunivoca).

80 COME SI ASSOCIANO LE PROBABILITA ALLE VARIABILI ALEATORIE?

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88 In questo modo la distribuzione di probabilità di Y diventa:

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96 Costruiamo una v.c. e le corrispondenti probabilità in due fasi: 1. Ad ogni evento di si associa uno ed un solo numero reale X(e). Questa operazione definisce una v.c. X. 2. Ad ogni possibile valore di X(.) si associa una probabilità P r [X]. Questa operazione definisce la distribuzione di probabilità della v.c. X. Si osserva che mentre la regola da adottare è arbitraria in quanto dipende da ciò che vogliamo che la v.c. interpreti, lo stesso non è vero per la determinazione della distribuzione di probabilità P r [X] in quanto questultima è legata alle probabilità degli eventi elementari P r [e].

97 Anziché specificare le singole P[X] si cercherà, ove possibile, di determinare la relazione funzionale che lega queste probabilità, sintetizzata in una funzione f(x). Ciò sarà necessario quando la v.c. X è di tipo continuo o discreto con un numero molto elevato di valori. In alcuni casi, sarà necessario calcolare la probabilità che X assuma un valore minore o uguale a x k, cioè Questa funzione è detta funzione di ripartizione (f.r.) ed è uguale a:

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99 Proprietà della f.r. F(.): La rappresentazione di F(x) è una funzione a gradini.

100 Valore atteso e varianza Per le variabili discrete è possibile definire un valore atteso E[x] ed una varianza Var[x] che sono analoghe alle misure di posizione e dispersione del valore medio e dello scarto quadratico medio:

101 Valore atteso e varianza non coincidono con media e scarto quadratico medio Per un numero di tentativi molto elevato è ragionevole che si identifichino le f i e le p i.

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105 Distribuzioni di probabilità continue Sono descritte da funzioni. Larea sottesa dalla curva tra due valori (es. a-b) è la probabilità che la variabile casuale assuma valori compresi tra a e b a b x y x y

106 Si presuppone lesistenza di una funzione f(x) t.c. Si definisce poi la probabilità che X sia compresa fra a e b nel modo seguente: Questa definizione soddisfa gli assiomi della teoria della probabilità. La funzione f(x) è detta densità di probabilità

107 f(y), non è la probabilità, ma è proporzionale (a meno di un infinitesimo) alla probabilità di un intervallo >

108 La probabilità che X prenda un valore nellintervallo [ a, b ] è l area sotto la pdf fra a e b. La funzione di distribuzione (o ripartizione) F( x), di una variabile aleatoria X, ed è definita per x da

109 Lintegrale è la probabilità che la variabile casuale assuma un valore in un intervallo e dipende dalla densità di probabilità f(x) x f(x) XAXA XBXB

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115 La funzione f(x) non è una probabilità, è solo il suo integrale su un intervallo (che ha il significato di probabilità). Nel caso discreto invece, la distribuzione di probabilità f(x k ) è per definizione la probabilità P(X=x k )

116 Distribuzioni discrete e densità continue sono oggetti matematici di tipo diverso, non confrontabili fra loro. Lo strumento che consente di confrontare variabili aleatorie continue e discrete sono invece le rispettive funzioni di distribuzione.

117 Variabili continue: limite del caso discreto f(x)

118 Valore atteso per variabili continue Variabili continue Variabili discrete prob di avere x Somma

119 Varianza per variabili continue Variabili continue probabili tà di x Somma Scarto quadratico Variabili discrete

120 Def. 11. Momenti semplici di ordine r. Se X è una v.c. il momento di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente: Def. 11. Momenti semplici di ordine r. Se X è una v.c. il momento di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente: Nel caso continuo. Nel caso discreto Si osserva che per r=1 si ottiene il valore atteso (aspettativa) di X.

121 Def. 12. Momenti centrali di ordine r. Se X è una v.c. il momento centrale di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente: Def. 12. Momenti centrali di ordine r. Se X è una v.c. il momento centrale di ordine r, con r naturale, è definito dalla seguente: Nel caso continuo Nel caso discreto Si osserva che per r=2 si ottiene la varianza di X.

122 Il teorema di Bayes nel caso di variabili aleatorie continue assume la seguente formulazione Dove f è la fuzione di densità di probabilità della variabile aleatoria B


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