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I ndice : o Lalgebra di Boole Lalgebra di Boole o Applicazione dellalgebra di Boole Applicazione dellalgebra di Boole Boole sviluppò assieme a De Morgan.

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Presentazione sul tema: "I ndice : o Lalgebra di Boole Lalgebra di Boole o Applicazione dellalgebra di Boole Applicazione dellalgebra di Boole Boole sviluppò assieme a De Morgan."— Transcript della presentazione:

1 I ndice : o Lalgebra di Boole Lalgebra di Boole o Applicazione dellalgebra di Boole Applicazione dellalgebra di Boole Boole sviluppò assieme a De Morgan la logica matematica moderna e il metodo simbolico. Boole e De Morgan costruirono l'algebra della logica (o algebrea booleana), staccando la logica dalla filosofia (Logica Aristotelica) e legandola alla matematica.

2 L algebra Booleana 01falsovero Contempla due costanti LOGICHE 0 e 1 (falso e vero) Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti ANDORNOT Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani: AND, OR, NOT sono gli operatori fondamentali 0 1

3 Porte logiche Le variabili logiche sono indicate generalmente con lettere maiuscole A, B, C.. Gli operandi principali sono tre: 1. la negazione o NOT ( ¯ oppure !) 2. la somma logica o OR ( + ) 3. il prodotto logico o AND ( )

4 Loperazione di AND prodotto logico Si definisce loperazione di prodotto logico (AND): il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo = = = =

5 Loperazione di OR somma logica Si definisce loperazione di somma logica (OR): il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore di almeno uno degli addendi è il simbolo = = = =

6 La negazione NOT negazione Si definisce loperatore di negazione (NOT): loperatore inverte il valore della costante su cui opera Dalla definizione… 0 = 1 1 = 0 0 = 0 1 = 1

7 Porte logiche Porte logiche Le possibili combinazioni tra le porte principali sono: L'operatore NAND (cioè la negazione del risultato dell'operazione AND) L'operatore NOR (cioè la negazione del risultato dell'operazione OR) L'operatore XOR (detto anche OR esclusivo) L'operatore XNOR (cioè la negazione del risultato dell'operazione XOR)

8 La tabella di verità tabella di verità Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di verità della funzione logica somma logica di prodotti logici Si può scrivere la funzione Y come somma logica di prodotti logici A B C Y Y = A B C + A B C + A B C + A B C

9 Una variabile y è una funzione delle n variabili indipendenti x 1, x 2,…, x n, se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2 n configurazioni delle x i un valore di y tabella di verità Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili combinazioni di x 1, x 2, …, x n, con associato il valore di y Funzioni logiche y = F(x 1,x 2,…,x n ) x 1 x 2 y y = x 1 +x 2

10 La forma canonica Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la funzione Y che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1 Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli 1 Y = ABC + ABC + ABC A B C Y Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma

11 Un circuito con due interruttori I due interruttori corrispondono a due variabili (A,B) a valori booleani le variabili assumono i due valori 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni dellinterruttore Y = A B+A B A B A B A=1 B=0 Y A B A B A=1 B=1 Y A B A B A=0 B=1 Y A B A B A=0 B=0 Y

12 Mappe di KARNAUGH Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che permettono in modo immediato la rappresentazione e la semplificazione di funzioni booleane fino 6 variabili. Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per rappresentare una funzione booleana xy z Rappresentazione con Mappa di K. di una funzione.


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