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Determinazione Orbitale di Satelliti Artificiali Lezione 5 Alessandro Caporali Università di Padova.

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Presentazione sul tema: "Determinazione Orbitale di Satelliti Artificiali Lezione 5 Alessandro Caporali Università di Padova."— Transcript della presentazione:

1 Determinazione Orbitale di Satelliti Artificiali Lezione 5 Alessandro Caporali Università di Padova

2 Stima ottima delle costanti di modello In assenza di errori sistematici, la migliore stima X 0 * delle p costanti X 0 viene ottenuta minimizzando rispetto a X 0 il funzionale Il valore del vettore X o che minimizza la somma dei quadrati degli scarti osservato – calcolato (oppure o-c) è quello più probabile, naturalmente nei limiti del numero di osservazioni e della bontà del modello delle osservazioni. Condizione necessaria per il minimo è che le p X 0 soddisfino il sistema di p equazioni lineari, per X 0 = X 0 * :

3 Linearizzazione dei modelli dei processi e dei modelli delle misure Se è disponibile una stima a priori delle p costanti incognite di modello X 0 è conveniente linearizzare: -il modello dei processi: - il modello delle osservazioni:

4 Modelli linearizzati

5 Minimi quadrati – Equazioni normali Modello degli osservabili Stima di x mediante minimizzazione del funzionale Condizione necessaria per il minimo di J:

6 Minimi quadrati pesati Si assuma che ogni residuo i abbia una probabilità 0<=w i <=1. Allora il funzionale J viene ridefinito come segue: Ove W è una matrice diagonale i cui elementi sono w i Minimizzazione di J:

7 Minimi quadrati con equazioni di condizione Minimizzazione di J, ove i parametri X sono ulteriormente soggetti a una o più equazioni di condizione del tipo 1 (X)=0,.. n (X)=0 Linearizzazione delle eq.i di condizione: In pratica, disponiamo di ulteriori n equazioni di osservazione, una per vincolo, e ciascuna affetta da un errore :

8 Minimi quadrati con informazioni a priori sui parametri (1/2) Si consideri il sistema di osservazioni Tale sistema descrive la circostanza che dei p parametri incogniti di modello, m sono noti a priori con una certa incertezza Questo è il caso ad es.per il GM terrestre, o per certi coefficienti del campo gravitazionale terrestre, che sono fissati convenzionalmente. Possiamo scrivere: Assumiamo

9 Minimi quadrati con informazioni a priori sui parametri (2/2) Introdotta una matrice di peso delle osservazioni in questi termini: le equazioni delle osservazioni, incluse losservazione diretta dei parametri, sono:

10 Propagazione della stima e della covarianza Nota la stima di x j =x(t j ) a unepoca t j, fatta sulla base di osservazioni y 1,..,y j, nonché la covarianza P j associata, si tratta di predirre allepoca t k (ad es. successiva) x k e P k

11 Filtro di Kalman vs. Minimi quadrati Minimi quadrati Filtro di Kalman

12 Esempio numerico Excel può essere usato per il problema piano ranging da una Terra puntiforme: 1.Genera r obs =a(1-e*cos(E-E0)), E=0..360, ponendo ad es a= m, e=0.3, E 0 =1 2.Genera r calc =a(1-e*cos(E-E0)), E=0..360, ponendo ad es a= m, e=0.5, E 0 =0 3.Genera r obs -r calc, E=0,360 4.Genera Ha=(1-e*cos(E-E0)), He=-a*cos(E-E0),H E0 =-a*e*sin(E-E 0 ) 5.Minimi quadrati: Risolvi per a, e, E 0 con la funzione REGR. LIN 6.Filtro di Kalman: assegna valori a priori per x eP 0 7.Calcola il guadagno del Filtro K 8.Aggiorna x e P sequenzialmente 9.Filtro esteso: aggiorna le derivate parziali, r calc e r obs -r calc man mano che diventano disponibili stime aggiornate di x+ x


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