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Geoelettrica Principi fisici: la Legge di Ohm Georg Ohm [1827]

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Presentazione sul tema: "Geoelettrica Principi fisici: la Legge di Ohm Georg Ohm [1827]"— Transcript della presentazione:

1 Geoelettrica Principi fisici: la Legge di Ohm Georg Ohm [1827]

2 Geoelettrica Principi fisici: Resistenza, resistività e conduttività elettrica Legge di Ohm I = corrente elettrica [A] = differenza di potenziale elettrostatico [V] R = resistenza elettrica [Ω] ρ = resistività elettrica [Ωm] σ = 1/ρ σ = conduttività elettrica [S/m] proprietà del materiale

3 Geoelettrica Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce la resistività delle rocce secche diminuisce allinsorgere dei primi processi di fusione dei minerali intorno ai °C

4 Geoelettrica Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce la resistività delle formazioni rocciose dipende soprattutto dal contenuto dei fluidi e della conduttività elettrica dei fluidi stessi La legge di Archie [1942] è una legge empirica, originariamente sviluppata per formazioni sature: esempio: Curva 1: a = 1.0; m = 2.3 Curva 2: a = 1.0; m = 2.0 Curva 3: a = 0.62; m = 1.9 Curva 4: a = 1.4; m = 1.4 Curva 5: a = 1.0; m = 1.4 Curva 6: a = 3.0; m = 1.0 dove: ρ = resistività complesiva della roccia ρ w = resisitività del fluido (soluzione acquosa che satura i pori) = porosità della roccia a, m = costanti empiriche F = fattore di formazione

5 Geoelettrica Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce Nel caso più generale la legge di Archie [1942] si può estendere a formazioni parzialmente sature in acqua dove: S = saturazione in acqua = V w /V por n = costante empirica di solito = 2 Nota che la legge di Archie si può esprimere anche in termini di conduttività elettrica: Ove σ g identifica, se presente, la conduttività elettrica delle superfici dei grani (p.es. in presenza di una elevata frazione argillosa)

6 Geoelettrica Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce

7 Geoelettrica Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce Sono state spesso tentate correlazioni empiriche fra la resisitività o la conduttività elettrica di una formazione e la sua conduttività idraulica Queste relazioni empiriche sono estremamente incerte. Si basano sullidea che la connettività dei pori (tortuosità) che determina la conduttività idraulica sia anche alla base della conduttività elettrica tramite il moto di ioni. Tuttavia è chiaro che mentre la conduttività idraulica si basa sul moto complessivo del fluido nel sistema di pori interconnessi, la conduttività elettrica dipende dal moto degli ioni entro un fluido (acqua) che può anche essere fondamentalmente immobile (come nellargille). Per cui la relazione fra le due grandezze non è per nulla stabilita.

8 Geoelettrica Il flusso di corrente continua in un mezzo conduttore è descritto nella forma di unequazione differenziale alle derivate parziali che coinvolge le variabili spaziali (x,y,z) e temporale (t) da cui dipende il flusso. Lequazione è derivata sulla base di due principi base: (1) la conservazione della carica elettrica (2) la validità della legge di Ohm Si consideri un volume infinitesimo di mezzo poroso, detto volume di controllo, che sia comunque grande abbastanza da rappresentare le caratteristiche del mezzo poroso (un representative elementary volume o REV). x y z dy dx dz

9 Geoelettrica Un REV è definito come il volume elementare in grado di rappresentare le caratteristiche del mezzo poroso. In generale, data una proprietà fisica P, si ha un range di dimensione dx del volume di controllo ove la proprietà è stabile – si consideri per esempio la porosità. dx (dimensione del REV) P effetto della micro- struttura dei pori effetto delle eterogeneità a grande scala range di stabilità dimensione minima del REV

10 Geoelettrica j (e le sue componenti) è espresso in termini di carica unità di area trasversale per unità di tempo. Il flusso di carica elettrica in base al quale si definisce la legge di Ohm è di solito I, che è il prodotto di j per larea della sezione di flusso A. x y z dy dx dz jyjy jxjx jzjz Si assuma che il sistema sia omogeneo ed isotropo. Sia j il flusso di carica elettrica per unità di area attraverso il REV considerato. Le componenti di j nelle tre direzioni del sistema di riferimento sono j x, j y e j z. La posizione cui si riferisce j è (x,y,z) – il punto blu nella figura. j = Q/(At) A I=jA = Q/t

11 Geoelettrica Consideriamo quindi il flusso che entra nel REV lungo lasse x: x z dy dx dz Il flusso netto lungo la direzione x è dunque: mentre il flusso che esce dal REV lungo lasse x, utilizzando unespansione in serie di Taylor del flusso di massa x :

12 Geoelettrica che corrisponde alla variazione nellunità di tempo della massa dacqua contenuta nel REV. x z dy dx dz Dal momento che simili componenti sono calcolabili per le altre direzioni, si ha in totale:

13 Geoelettrica Loperatore si chiama NABLA ed è un operatore differenziale vettoriale composto dalle tre derivate spaziali Dal momento che lavoriamo in corrente continua, NON cè accumulo di cariche da nessuna parte, per cui: Questo si può anche scrivere in forma compatta come: Il prodotto scalare indicato dal punto si chiama DIVERGENZA e implica che Ovvero la conservazione della carica implica per j che la sua DIVERGENZA = 0

14 Geoelettrica A questo punto si utilizza la legge di Ohm (nel caso più generale, anisotropa, con assi paralleli agli assi principali di anistropia) per esprimere il flusso di corrente elettrica: da cui infine risulta lequazione differenziale che descrive il flusso stazionario (ovvero in corrente continua) in un mezzo 3D non omogeneo e anisotropo:

15 Geoelettrica che è lequazione di base per il calcolo delle soluzioni analitiche dellequazione di corrente continua. Siccome la soluzione =0 è di non interesse, in generale si scrive: Nel caso di un sistema isotropo, si ha ovviamente x = y = z =, per cui: e nel caso di un sistema omogeneo ed isotropo, la conduttività elettrica si può estrarre dalle derivate spaziali: ove il Laplaciano è la somma delle derivate seconde rispetto allo spazio.

16 Geoelettrica E quindi per un sistema omogeneo ne deriva la classica equazione di Laplace: la natura dellequazione di Laplace getta luce in generale sulla natura delle equazioni precedenti. Si tratta in generale di equazioni Paraboliche (se in presenza di derivata prima rispetto al tempo) o Ellittiche (in assenza di questa). Sono equazioni della DIFFUSIONE. ovvero:

17 Geoelettrica Principi fisici: Equazioni del flusso di corrente continua Combinando le tre equazioni viste: Se il mezzo è omogeneo, ovvero se σ è uniforme nello spazio il potenziale soddisfa lequazione di Laplace: è lequazione che governa il flusso di corrente in un mezzo a conduttività elettrica σ variabile nello spazio che p.es. in coordinate cartesiane ortogonali si scrive:

18 Geoelettrica Analogo fisico: Equazioni del flusso in un mezzo poroso saturo Se il mezzo è omogeneo, ovvero se σ è uniforme nello spazio il potenziale soddisfa lequazione di Laplace: è lequazione che governa il flusso di acqua in un mezzo poroso a conduttività idraulica K variabile nello spazio che p.es. in coordinate cartesiane ortogonali si scrive: Legge di Darcy conservazione della massa (volume) dacqua

19 Geoelettrica Analogo fisico: Equazioni della conduzione termica Se il mezzo è omogeneo, ovvero se σ è uniforme nello spazio il potenziale soddisfa lequazione di Laplace: che p.es. in coordinate cartesiane ortogonali si scrive: Legge di Fourier conservazione dellenergia (termica) è lequazione che governa il flusso termico per conduzione in un mezzo poroso a conduttività termica variabile nello spazio

20 Geoelettrica Condizioni al contorno Condizioni di primo tipo (o di Dirichlet, o di valore imposto) Condizioni di secondo tipo (o di Neumann, o di flusso) Condizioni di terzo tipo (o di Robin, o miste di valore e flusso) x x0x0 contorno su cui è definita la condizione

21 Geoelettrica Condizioni al contorno per lequazione di flusso di carica elettrica in corrente continua Servono per ogni dimensione del problema (x,y,z) tante condizioni quantè lordine più elevato di differenziazione in quella direzione. p.es. richiede 2 condizioni al contorno in direzione x, 2 in direzione y, 2 in direzione z. In ogni direzione almeno una condizione deve essere di Dirichlet (valore fissato sul contorno)

22 Geoelettrica Principi fisici: elettrodo singolo Si consideri un singolo punto di immissione di corrente I in un mezzo omogeneo 3D esteso allinfinito Vale Lequazione di Laplace che in coordinate sferiche centrate sullelettrodo diviene: Si dimostra che in questo caso il potenziale che soddisfa lequazione si può scrivere: Ove A e B sono costanti determinate dalle condizioni al contorno: Mentre a r=0 va immessa una corrente I tale per cui (data la simmetria e la legge di Ohm): da cui:

23 Geoelettrica Principi fisici: Elettrodo singolo alla superficie Se lelettrodo (puntiforme) è posto alla superficie di un semispazio omogeneo la corrente I si distribuisce solo su ½ volume e quindi la densità di corrente J è doppia, da cui: La densità di corrente è Due elettrodi alla superficie Lequazione di Laplace è lineare, per cui posso sovrapporre gli effetti di più elettrodi per calcolare il campo complessivo.

24 Geoelettrica Principi fisici: configurazione a 4 elettrodi Potenziale allelettrodo P 1 Potenziale allelettrodo P 2 Da cui risulta: P1P1 P2P2

25 Geoelettrica Perché si usano 4 elettrodi? A causa della resistenza di contatto degli elettrodi col suolo, resistenza talora molto elevata (~ decine di KOhm) e sempre incognita. Usando 4 elettrodi, la differenza di potenziale fra gli elettrodi di potenziale non è influenzata dalla resistenza di contatto agli elettrodi di corrente. A R contatto R terra V A V

26 Geoelettrica Perché si usano 4 elettrodi? A causa della resistenza di contatto degli elettrodi col suolo, resistenza talora molto elevata (~ decine di KOhm) e sempre incognita. Usando 4 elettrodi, la differenza di potenziale fra gli elettrodi di potenziale non è influenzata dalla resistenza di contatto agli elettrodi di corrente. A V R contatto R terra A R contatto R terra V

27 Geoelettrica Distribuzione della corrente in profondità a metà strada fra gli elettrodi Integrando si ottiene la corrente totale fino alla profondità z: Linea % di I P A L r1r1 r2r2 z x

28 Geoelettrica Distribuzione della corrente in profondità Man mano che si allontanano gli elettrodi di corrente si ottiene che la corrente penetra sempre più in profondità. La corrente totale sotto la profondità z è: Il problema ha nella distanza L la sua dimensione di lunghezza fondamentale

29 Geoelettrica Principi fisici: condizioni al contorno, campo elettrico Se ci sono discontinuità in σ, allora ci sono anche discontinuità anche in E. (la componente tangenziale di E rimane costante) (la componente normale della densità di corrente J rimane costante) ovvero 1 2

30 Geoelettrica Principi fisici: condizioni al contorno, campo magnetico Analogamente, se ci sono discontinuità in μ, allora ci sono anche discontinuità in H (la componente tangenziale di H rimane costante) (la componente normale del vettore induzione magnetica B rimane costante) ovvero 1 2

31 Geoelettrica Principi fisici: eterogeneità e rifrazione, campo elettrico Le condizioni al contorno generano rifrazione delle linee di corrente allinterfaccia Legge delle tangenti 1 2 Ma essendo:

32 Geoelettrica Principi fisici: eterogeneità e rifrazione, campo elettrico (1) se (2) se Da questi risultati si vede come la corrente tenda a evitare le zone ad alta resistività ed a preferire quelle a bassa resistività, scegliendo il percorso a resistenza minima

33 Geoelettrica Principi fisici: mezzi stratificati In un mezzo stratificato, la distribuzione di corrente nel sottosuolo viene distorta per rifrazione alle interfacce fra mezzi diversi. Questa distorsione è responsabile del segnale che possiamo misurare alla superficie, dal quale cercheremo di ricostruire la struttura del sottosuolo. In particolare per un mezzo stratificato cercheremo: (1) La profondità di tutte le interfacce (ovvero lo spessore degli strati) (z 1, z 2, …, z n-1 ) (2) La resistività di ciascun strato (ρ 1, ρ 2, …, ρ n-1 )

34 Geoelettrica Definizione di resistività apparente Data una configurazione elettrodica in un mezzo non omogeneo, è sempre possibile rappresentare la risposta del sistema nei termini della resistività equivalente di un mezzo omogeneo. Dalla disposizione di elettrodi misureremo I e ΔV. Utilizzando la formula generale per un sistema a 4 elettrodi: possiamo invertire lequazione e trovare lespressione per la ρ equivalente di un sistema omogeneo che produrrebbe gli stessi valori di I e ΔV, che chiameremo ρ apparente ρ a : P1P1 P2P2 ove K è il fattore geometrico dellarray di elettrodi che stiamo considerando, R è la resistenza complessiva vista dallarray.

35 Geoelettrica Principi fisici: mezzi stratificati, profondità in funzione della spaziatura fra elettrodi. spaziatura tra elettrodi di corrente resistività apparente

36 Geoelettrica Principi fisici: mezzi stratificati, profondità in funzione della spaziatura fra elettrodi. spaziatura tra elettrodi di corrente resistività apparente

37 Geoelettrica Principi fisici: Elettrodo singolo in mezzo stratificato Data la simmetria del problema, vale lequazione di Laplace in coordinate cilindriche: La soluzione si trova per separazione di variabili, per cui il potenziale nello stesso strato j è dato in generale nella forma: Sottoposto a condizioni alle interfacce: Con n strati si hanno 2n+2 equazioni in 2n+2 incognite ρ1ρ1 ρ2ρ2 ρ3ρ3 ρ n-1 ρnρn I r Z=0 Z=d 1 Z=d 2 Z=d 3 Z=d n-2 Z=d n-1

38 Geoelettrica Principi fisici: Elettrodo singolo in mezzo stratificato Agli scopi pratici interessa il valore del potenziale nel primo strato (è dove si misura) in conseguenza delliniezione di corrente I allelettrodo. Risulta: Ove K(λ) è funzione della variabile di integrazione ma dipende dalla resistività e spessore di tutti gli strati. Per due strati: è il coeff. di riflessione Nota che lintegrale (detto di Stefanescu) rappresenta il potenziale di disturbo rispetto alla soluzione per un mezzo omogeneo di resistività ρ 1. ρ1ρ1 ρ2ρ2 ρ3ρ3 ρ n-1 ρnρn I r Z=0 Z=d 1 Z=d 2 Z=d 3 Z=d n-2 Z=d n-1 ρ1ρ1 I ρ2ρ2 d1d1

39 Geoelettrica Teorema di Slichter-Langer (1933) Se la resistività del suolo varia solo con la profondità, essa può essere determinata univocamente dalla conoscenza del potenziale alla superficie creato da un elettrodo puntiforme. Si tenga presente che: (1)la resistività varia solo con la profondità (2)il potenziale deve essere noto su tutta la superficie (3) non ci sono errori nella misura del potenziale ρ1ρ1 ρ2ρ2 ρ3ρ3 ρ n-1 ρnρn I r Z=0 Z=d 1 Z=d 2 Z=d 3 Z=d n-2 Z=d n-1

40 Geoelettrica Il concetto di equivalenza Gli errori di misura rendono linversione dei dati geoelettrici non univoca, nonostante la univocità teorica garantita dal teorema di Slichter-Langer. Si parla perciò di un problema mal posto ambiguità di interpretazione La resistenza del blocco è: equivalenza caso (a): e rimane la stessa se il rapporto ρ/h non cambia La resistenza del blocco è: equivalenza caso (b): e rimane la stessa se il rapporto ρh non cambia

41 Geoelettrica Conduttanza longitudinale e resistenza trasversa (parametri di Dar Zarrouk) I due casi di equivalenza possono essere generalizzati d una sequenza di strati, definendo due parametri rispetto a cui la geoelettrica dà risultati quasi equivalenti: conduttanza longitudinale (somma di conduttanze in parallelo) resistenza trasversa (somma di resistenze in serie) Il concetto di soppressione Se uno strato è molto sottile e con resistività non estrema, il suo effetto sulla resistività apparente alla superficie può risultare del tutto trascurabile, e quindi lo strato può risultare invisibile (soppressione dello strato).

42 Geoelettrica Lequivalenza nelle curve di resistività apparente Vediamo alcuni esempi di curve calcolate per una sequenza di tipo K; il valore della resistività del primo e del terzo strato è uguale a 10 (Ωm); Il valore dello spessore del primo strato è uguale a 10 (m). I valori sono: 1) ρ 2 = 100 h 2 = 10 T = ) ρ 2 = 50 h 2 = 20 T = ) ρ 2 = 25 h 2 = 40 T = ) ρ 2 = 12.5 h 2 = 80 T = 1000

43 Geoelettrica Lequivalenza nelle curve di resistività apparente Vediamo alcuni esempi di curve calcolate per una sequenza di tipo H; il valore della resistività del primo e del terzo strato è uguale a 10 (Ωm); Il valore dello spessore del primo strato è uguale a 10 (m). I valori sono: 1) ρ 2 = 8 h 2 = 80 S = 10 2) ρ 2 = 4 h 2 = 40 S = 10 3) ρ 2 = 2 h 2 = 20 S = 10 4) ρ 2 = 1 h 2 = 10 S = 10

44 Geoelettrica Lequivalenza nelle curve di resistività apparente Esempio in cui, a parità di dati di campagna, con procedimenti di calcolo semi-automatico si ottengono tre diverse interpretazioni che definiscono strutture del sottosuolo differenti. Qui le diverse interpretazioni nascono dallavere assunto differenti valori di resistività degli strati intermedi e finali. Lo strato finale, come spesso avviene, non è ben definito nelle curve sperimentali.

45 Geoelettrica Lequivalenza nelle curve di resistività apparente Esempio in cui linterprete ha assunto, a differenza dallesempio precedente, gli stessi valori di resistività per il primo e per lultimo strato, ma ha considerato tra questi: nel primo caso, uno solo strato nel secondo, due strati Anche qui le interpretazioni sono tecnicamente corrette, nel senso che la coincidenza tra i dati sperimentali e la curva teorica è ottima in entrambi i casi, ma, ovviamente, il significato geologico è diverso.

46 Geoelettrica ρ 1 = 42 Ohm-m, h 1 = 5 m; ρ 2 = 480 Ohm-m, h 2 = 16 m; ρ 3 = 33 Ohm-m, h 3 = 75 m; ρ 4 = 500 Ohm-m, h 4 non determinabile. Fitting automatico min


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