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Num 02 - 1 / 40 Lezione 8 Numerosità del campione.

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Presentazione sul tema: "Num 02 - 1 / 40 Lezione 8 Numerosità del campione."— Transcript della presentazione:

1 Num / 40 Lezione 8 Numerosità del campione

2 Num / 40 parte 2 la numerosità minima del campione nei test di ipotesi

3 Num / 40 come tutti gli strumenti di misura, anche gli stimatori sono imperfetti e la loro stima del parametro presenta unincertezza che viene quantificata attraverso lintervallo di confidenza: Dato un campione con immagini { X 1, X 2, …, X n } proveniente da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X avente densità f ( x ) qualsiasi con media e varianza 2 si possono usare la media campionaria e la varianza campionaria corretta per stimare i valori dei parametri della popolazione. gli strumenti di inferenza

4 Num / 40 la numerosità minima del campione nei test sulla media

5 Num / 40 azioni decisionali sullipotesi H 0 Come è facile vedere se il test a cui è stata sottoposta lipotesi H 0 ha avuto esito positivo ed ha fornito informazioni sufficienti (potremmo dire: se il test è stato utile) lazione decisionale è la cioè il rifiuto di H 0 : non si può escludere che H 0 sia vera, ma non si dispone di informazioni sufficienti per esprimere un giudizio; si rifiuta H 0 poiché si dispone di informazioni sufficienti a giustificare la decisione;

6 Num / 40 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: preso un campione di n elementi da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con media incognita e varianza 2 conosciuta posso esprimere una decisione in merito allipotesi H 0 : 0 ? le premesse a questo test sono le seguenti: –si estrae un campione casuale dalla popolazione e si misurando i valori della caratteristica comune –si definisce la variabile casuale X, –si individuano i valori assunti dalla variabile casuale X in corrispondenza degli elementi che compongono il campione,

7 Num / 40 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: preso un campione di n elementi da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con media incognita e varianza 2 conosciuta posso esprimere una decisione in merito allipotesi H 0 : 0 ? questo test si conduce: –definendo una opportuna variabile casuale a partire dagli stimatori campionari e fissando un valore critico (cioè un discriminante), –calcolando il valore della variabile prescelta, –confrontando tale valore con quello critico fissato e decidendo, in base al confronto, se è possibile rifiutare oppure se non è possibile rifiutare H 0 : 0

8 Num / 40 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 mV/ns. 1) Come definiamo la variabile casuale X ? La variabile casuale X associa a ciascun punto campione un numero positivo ed adimensionale di valore uguale al valore dello slew-rate misurato in mV/ns.

9 Num / 40 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 mV/ns. 2) Come valutare la affermazione dei tecnici del dR&D? Dato che non sarà possibile provare lintera popolazione (non ancora prodotta) sarà necessario agire tramite un gruppo di prototipi, cioè un campione, ed accettare lincertezza insita nel trasferire informazioni ricavate dal campione alla intera popolazione: ovviamente si userà la media campionaria come stimatore di.

10 Num / 40 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 mV/ns. 3) Come definire il valore discriminante per la media campionaria? Si fissa il discriminante ad un valore diverso da 0, tale da individuare un campo di valori in cui, se fosse realmente uguale a 0, il valore della media campionaria (aleatorio a causa della aleatorietà del campione) avrebbe probabilità molto bassa di entrare.

11 Num / 40 azioni decisionali sullipotesi H 0 (approccio pessimistico) esempio 1: Il responsabile del Laboratorio Prove e Misure decide pertanto di adottare un test che prevede le seguenti fasi: 3.se il valore della media campionaria risulterà inferiore a 78,5 si rifiuterà laffermazione dei tecnici del dR&D circa il preteso miglioramento; se invece tale soglia verrà uguagliata o superata non si contesterà la loro affermazione. 1.si costituirà un campione composto da un prestabilito numero di OpAmp, ad esempio 49 OpAmp; 2.mediante appositi strumenti si misurerà lo slew-rate di ciascun elemento del campione per ricavare i valori della X ;

12 Num / 40 criterio decisionale sullipotesi H 0 esempio 1: Il criterio decisionale adottato è quindi il seguente:

13 Num / 40 Effetto della numerosità del campione Se il campione è fedele il valore della media campionaria non dipende dalla numerosità

14 Num / 40 Effetto della numerosità del campione Al contrario, la incertezza dello stimatore campionario dipende dalla numerosità del campione! ?

15 Num / 40 Effetto della numerosità del campione Al contrario, la incertezza dello stimatore campionario dipende dalla numerosità del campione!

16 Num / 40 i test sulla media: H 0

17 Num / 40 formulazione di un test sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2, H j ; 5.scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

18 Num / 40 formulazione di un test sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2, H j ; 5.scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

19 Num / 40 formulazione di un test sulla media 5.si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la varianza 2 è nota e se il campione è numeroso (n 30) si potrebbero usare indifferentemente: - la media campionaria che ha distribuzione normale con media e varianza 2 / n ; - la variabile che ha distribuzione normale standard.

20 Num / 40 formulazione di un test sulla media 5.si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la varianza 2 è nota e se il campione è numeroso (n 30) si potrebbero usare indifferentemente: - la media campionaria che ha distribuzione normale con media e varianza 2 / n ; - la variabile che ha distribuzione normale standard. Problema: non dispongo di valori tabulati !

21 Num / 40 formulazione di un test sulla media 5.si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la popolazione ha distribuzione normale con varianza 2 incognita si usa la variabile che ha distribuzione t di Student con n - 1 g.d.l. se n > 30 la variabile T può essere approssimata con la: che ha distribuzione normale standard

22 Num / 40 numerosità del campione: normale standard 1.si stabilisce la numerosità n del campione con cui si vuole condurre il test. supponiamo di avere scelto come variabile campionaria la: che, per n sufficientemente grande, sappiamo avere distribuzione normale standardizzata per comprendere leffetto di un aumento della numerosità del campione si può fare la seguente considerazione:

23 Num / 40 numerosità del campione: normale standard

24 Num / 40 numerosità del campione: normale standard

25 Num / 40 numerosità del campione: normale standard

26 Num / 40 numerosità del campione: normale standard

27 Num / 40 numerosità del campione: t di Student Qualora la varianza della X per lintera popolazione non sia conosciuta si può condurre il calcolo della numerosità richiesta al campione mediante lo stimatore varianza campionaria corretta: Sappiamo che se n è sufficientemente grande la variabile casuale segue una distribuzione t di Student con n-1 g.d.l.

28 Num / 40 numerosità del campione: t di Student

29 Num / 40 numerosità del campione: t di Student

30 Num / 40 Un problema da considerare è rappresentato dal fatto che il valore critico t 1- /2 della t di Student dipende da n numerosità del campione: t di Student

31 Num / 40 Un primo calcolo approssimato può essere condotto sostituendo al quantile della T il corrispondente quantile di una variabile Z normale standard. Se n min > 30 sappiamo che la distribuzione t di Student non differisce in maniera evidente dalla distribuzione normale standard. Individuato così un primo valore approssimato si può proseguire cercando il valore corretto di n min mediante un procedimento iterativo: numerosità del campione: t di Student

32 Num / 40 partendo da una prima valutazione del quantile della t di Student calcolato per un numero di g.d.l. pari a n min - 1 si calcola: Con un ragionevole numero di iterazioni si può quindi individuare la numerosità richiesta al campione. numerosità del campione: t di Student

33 Num / 40 Se pensiamo di dover operare con un campione di numerosità ridotta n < 30 dobbiamo ricordare che la distribuzione della media campionaria può essere considerata normale solamente se anche la X segue la distribuzione normale!!! Se ciò si verifica possiamo individuare il valore della numerosità richiesta n min con un procedimento uguale a quello già mostrato per n > 30. numerosità del campione: t di Student

34 Num / 40 Partiamo da una prima valutazione condotta con la: per poi ricalcolare iterativamente il valore di n min partendo da una prima valutazione del quantile della t di Student calcolato per un numero di g.d.l. pari a n min - 1 Con un ragionevole numero di iterazioni si può quindi individuare la numerosità richesta al campione. numerosità del campione: t di Student

35 Num / 40 la numerosità minima del campione nel test sulla varianza

36 Num / 40 distribuzione della varianza campionaria corretta dato un campione con immagini { X 1, X 2, …, X n } proveniente da una popolazione infinita su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2, la varianza campionaria corretta divisa per 0 2 fornisce una variabile casuale che segue una distribuzione C 2 con n - 1 gradi di libertà

37 Num / 40 Quantili critici nel test sulla varianza / 2

38 Num / 40 numerosità del campione nel test sulla varianza Nei vari casi le regioni di rifiuto sono:

39 Num / 40 Consistenza della varianza campionaria corretta Sappiamo che S n 2 è uno stimatore corretto e consistente della varianza quindi, al crescere della numerosità n del campione, il suo valore si distribuisce in modo sempre piùconcentrato in prossimità di 2 E pertanto possibile ipotizzare che, per valori di n sufficientemente elevati, la casualità con cui viene estratto il campione non faccia variare in modo significativo il valore della varianza campionaria S n 2.

40 Num / 40 numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la varianza il più basso valore dei gradi di libertà per cui i valori critici della C 2 soddisfano la forma corrispondente: è pari a n min - 1 il valore di n min non compare in modo esplicito, ma deve essere individuato attraverso i gradi di libertà della C 2


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