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Test 01 - 1 / 80 Lezione 7 i Test statistici. Test 01 - 2 / 80 introduzione ai test di ipotesi Linferenza sulla popolazione mediante il campione comporta,

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1 Test / 80 Lezione 7 i Test statistici

2 Test / 80 introduzione ai test di ipotesi Linferenza sulla popolazione mediante il campione comporta, oltre alla stima dei parametri, il controllo di ipotesi al fine di valutare la loro compatibilità con i dati campionari. In linea di principio il procedimento implica il confronto della misura di un parametro con un termine di paragone prefissato per dedurre, ad un livello di fiducia prefissato, se la discrepanza dei loro valori sia da attribuire a cause accidentali oppure possa essere ritenuta sistematica. Sul piano logico si tratta di esprimere un giudizio su di una ipotesi principale e, se queste sono state formulate, su ipotesi alternative in conseguenza del valore assunto da un parametro campionario.

3 Test / 80 parte 1 le basi dei test

4 Test / 80 sommario test sullipotesi principale H 0 –azioni decisionali e criterio decisionale su H 0 –linferenza e le conseguenze sul criterio decisionale –rischio di errore 1 ª specie –affidabilità del criterio decisionale e significatività del test test sullipotesi principale H 0 e sulle alternative H j –azioni decisionali su H 0 e su H j –rischio di errore 2 ª specie –affidabilità del criterio decisionale e potenza contro H j formulazione di un test di ipotesi

5 Test / 80 test sullipotesi principale H 0 : il criterio decisionale

6 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 In generale, quando viene espressa unipotesi, che indichiamo con H 0, si possono assumere tre diverse posizioni: si rifiuta H 0 poiché si dispone di informazioni sufficienti a giustificare la decisione; non si può escludere che H 0 sia vera, ma non si dispone di informazioni sufficienti per esprimere un giudizio; si conferma la validità di H 0 disponendo di informazioni sufficienti a giustificare la decisione;

7 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 In generale, quando viene espressa unipotesi, che indichiamo con H 0, si possono assumere tre diverse posizioni: si rifiuta H 0 poiché si dispone di informazioni sufficienti a giustificare la decisione; non si può escludere che H 0 sia vera, ma non si dispone di informazioni sufficienti per esprimere un giudizio; si conferma la validità di H 0 disponendo di informazioni sufficienti a giustificare la decisione; S. Ciriaco, patrono di Ancona, si festeggia il 4 maggio S. Petronio, patrono di Bologna, si festeggia il 4 ottobre S. Illaro, patrono di Lugo, si festeggia il 30 febbraio

8 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 In generale, quando viene espressa unipotesi, che indichiamo con H 0, si possono assumere tre diverse posizioni, ma: nel caso in cui lipotesi H 0 riguardi la caratteristica di una popolazione, per esempio: H 0 : = 0 oppure: H 0 : < 0 (in generale) non è possibile la terza azione decisionale prima di aver esaminato lintera popolazione!!! si conferma la validità di H 0 disponendo di informazioni sufficienti a giustificare la decisione;

9 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 La conferma dellipotesi H 0 non è quindi possibile attraverso linferenza statistica e le prove a campione, ma può essere condotta esclusivamente con prove a tappeto. Le decisioni che possono essere prese mediante lesecuzione di un test statistico su di un campione sono solo le prime due: non si può escludere che H 0 sia vera, ma non si dispone di informazioni sufficienti per esprimere un giudizio; si rifiuta H 0 poiché si dispone di informazioni sufficienti a giustificare la decisione;

10 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 Come è facile vedere se il test a cui è stata sottoposta lipotesi H 0 ha avuto esito positivo ed ha fornito informazioni sufficienti (potremmo dire: se il test è stato utile) lazione decisionale è la cioè il rifiuto di H 0 : non si può escludere che H 0 sia vera, ma non si dispone di informazioni sufficienti per esprimere un giudizio; si rifiuta H 0 poiché si dispone di informazioni sufficienti a giustificare la decisione;

11 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: preso un campione di n elementi da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con media incognita e varianza 2 conosciuta posso esprimere una decisione in merito allipotesi H 0 : 0 ? le premesse a questo test sono le seguenti: –si estrae un campione casuale dalla popolazione e si misurando i valori della caratteristica comune –si definisce la variabile casuale X, –si individuano i valori assunti dalla variabile casuale X in corrispondenza degli elementi che compongono il campione,

12 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: preso un campione di n elementi da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con media incognita e varianza 2 conosciuta posso esprimere una decisione in merito allipotesi H 0 : 0 ? questo test si conduce: –definendo una opportuna variabile casuale a partire dagli stimatori campionari e fissando un valore critico (cioè un discriminante), –calcolando il valore della variabile prescelta, –confrontando tale valore con quello critico fissato e decidendo, in base al confronto, se è possibile rifiutare oppure se non è possibile rifiutare H 0 : 0

13 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 V/ s. 1) Come definiamo la variabile casuale X ? La variabile casuale X associa a ciascun punto campione un numero positivo ed adimensionale di valore uguale al valore dello slew-rate misurato in V/ s.

14 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 V/ s. 2) Come valutare la affermazione dei tecnici del dR&D? Dato che non sarà possibile provare lintera popolazione (non ancora prodotta) sarà necessario agire tramite un gruppo di prototipi, cioè un campione, ed accettare lincertezza insita nel trasferire informazioni ricavate dal campione alla intera popolazione: ovviamente si userà la media campionaria come stimatore di.

15 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 V/ s. 3) Come definire il valore discriminante per la media campionaria? Si potrebbe pensare di fissare il discriminante al valore di 0 = 80, per rifiutare lipotesi qualora il valore della media campionaria risultasse minore di 0 = 80 : questa scelta è però sbagliata in quanto, se fosse realmente uguale a 0, a causa della aleatorietà del campione il valore della media campionaria avrebbe uguale probabilità di superare e di non superare il discriminante.

16 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 V/ s. 3) Come definire il valore discriminante per la media campionaria?

17 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 V/ s. 3) Come definire il valore discriminante per la media campionaria? Si fissa il discriminante ad un valore diverso da 0, tale da individuare un campo di valori in cui, se fosse realmente uguale a 0, il valore della media campionaria (aleatorio a causa della aleatorietà del campione) avrebbe probabilità molto bassa di entrare.

18 Test / 80 azioni decisionali sullipotesi H 0 esempio 1: Il responsabile del Laboratorio Prove e Misure decide pertanto di adottare un test che prevede le seguenti fasi: 3.se il valore della media campionaria risulterà inferiore a 78,5 si rifiuterà laffermazione dei tecnici del dR&D circa il preteso miglioramento; se invece tale soglia verrà uguagliata o superata non si contesterà la loro affermazione. 1.si costituirà un campione composto da un prestabilito numero di OpAmp, ad esempio 49 OpAmp; 2.mediante appositi strumenti si misurerà lo slew-rate di ciascun elemento del campione per ricavare i valori della X ;

19 Test / 80 criterio decisionale sullipotesi H 0 esempio 1: Il criterio decisionale adottato è quindi il seguente:

20 Test / 80 test sullipotesi principale H 0 : le prestazioni del criterio decisionale

21 Test / 80 affidabilità del criterio decisionale su H 0 il criterio decisionale che è stato adottato nellesempio appena mostrato dice che, qualora la media campionaria risulti inferiore a 78,5, riterremo che il test ci abbia fornito informazioni sufficienti a decidere e rifiuteremo lipotesi H 0 : 0 come è possibile individuare la probabilità che lazione intrapresa, cioè il rifiuto di H 0, sia sbagliata?

22 Test / 80 affidabilità del criterio decisionale su H 0 dai dati del problema è possibile individuare la distribuzione della media campionaria pertanto è possibile individuare il valore della probabilità:

23 Test / 80 affidabilità del criterio decisionale su H 0 dai dati del problema è possibile individuare la distribuzione della media campionaria pertanto è possibile individuare il valore della probabilità: indica quindi la probabilità di estrarre un campione fallato (cioè con media campionaria minore di 78,5) da una popolazione che ha media = 80 e varianza 2 conosciuta; per come è stato fissato il criterio decisionale è evidente che la probabilità di commettere un errore negando H 0 : 0 quando essa è realmente valida è pari alla probabilità di estrarre un campione fallato pertanto tale probabilità ha valore pari ad ;

24 Test / 80 affidabilità del criterio decisionale su H 0 non si deve però confondere il significato di con il valore di ! larea in giallo rappresenta esclusivamente la probabilità che la media campionaria sia minore del discriminante prescelto. il grafico, come è ben evidente, rappresenta la densità di probabilità di una variabile casuale continua, nel nostro caso la media campionaria, il cui valore compare sullasse delle ascisse.

25 Test / 80 affidabilità del criterio decisionale su H 0 non si deve però confondere il significato di con il valore di ! larea in giallo rappresenta esclusivamente la probabilità che la media campionaria sia minore del discriminante prescelto. quando si esamina il criterio decisionale relativamente al caso, cioè al rifiuto di H 0, per valutare la sua affidabilità si deve considerare che si sta discutendo di una variabile casuale binaria: il rifiuto di H 0 è sbagliato; il rifiuto di H 0 è giusto;

26 Test / 80 affidabilità del criterio decisionale su H 0 si è già notato che cè una probabilità pari ad che il rifiuto di H 0 sia sbagliato! dato che il caso, cioè il rifiuto di H 0, è unazione che può essere esclusivamente sbagliata o giusta (*), è semplice individuare la probabilità che la scelta fatta sia giusta: (*) H 0 è lunica ipotesi che viene presa in considerazione.

27 Test / 80 affidabilità del criterio decisionale su H 0 la probabilità che sia sbagliato, cioè che si rifiuti H 0 quando essa è in realtà vera, viene indicata come: rischio (di errore) di prima specie la probabilità che sia giusto, cioè che si rifiuti H 0 quando essa è realmente falsa, viene indicata come: affidabilità (o fiducia) del criterio decisionale 1 - è quindi la affidabilità del criterio decisionale che mi porta a rifiutare H 0

28 Test / 80 significatività del test Si è mostrato che la probabilità ( o rischio ) di commettere un errore di 1 ª specie è legato alla scelta del valore discriminante; nel caso di un test sulla media della popolazione: per ridurre il rischio di errore di 1 ª specie ed aumentare la fiducia, se non si modifica la numerosità del campione, è necessario aumentare il campo di valori dello stimatore campionario entro cui si afferma di non poter agire in quanto non si dispone di informazioni sufficienti.

29 Test / 80 significatività del test Si è mostrato che la probabilità ( o rischio ) di commettere un errore di 1 ª specie è legato alla scelta del valore discriminante; nel caso di un test sulla media della popolazione: per ridurre il rischio di errore di 1 ª specie ed aumentare la fiducia, se non si modifica la numerosità del campione, è necessario aumentare il campo di valori dello stimatore campionario entro cui si afferma di non poter agire in quanto non si dispone di informazioni sufficienti: ciò equivale a dire che il risultato della prova è poco significativo.

30 Test / 80 significatività la probabilità che sia sbagliato, cioè che si rifiuti H 0 quando essa è in realtà vera, viene indicata come: rischio (di errore) di prima specie la probabilità che sia giusto, cioè che si rifiuti H 0 quando essa è realmente falsa, viene indicata come: affidabilità (o fiducia) del criterio decisionale il livello di significatività del criterio decisionale che mi porta a rifiutare H 0 con affidabilità = 1 - è pari ad

31 Test / 80 formulazione di un test di ipotesi

32 Test / 80 test di ipotesi il processo di inferenza che è stato messo in atto per accettare o rifiutare unipotesi relativa alla popolazione attraverso lo studio del comportamento di un campione viene chiamato test di ipotesi

33 Test / 80 formulazione del test di ipotesi per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2, H j ; 5.scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

34 Test / 80 conduzione del test di ipotesi -dopo aver formulato il test si procede alla composizione del campione con numerosità pari a quella stabilita ; -si conducono le prove sperimentali ; -si determina il valore dello stimatore campionario precelto ; -se tale valore cade nella regione di rifiuto si respinge lipotesi principale H 0 ; -se il valore dello stimatore cade nella/nelle regione di non accettazione delle ipotesi alternative - non si accettano queste ultime e - non si rifiuta lipotesi principale H 0.

35 Test / 80 i test sulla media: H 0

36 Test / 80 formulazione di un test sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2, H j ; 5.scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

37 Test / 80 formulazione di un test sulla media 1.si stabilisce la numerosità n del campione con cui si vuole condurre il test (nel caso occorrano più campioni si stabilisce la numerosità di ciascuni di essi). ricordiamo che se n è grande si può invocare il teorema limite centrale per affermare che la media campionaria è distribuita in modo normale qualunque sia la distribuzione della X

38 Test / 80 formulazione di un test sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2, H j ; 5.scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

39 Test / 80 formulazione di un test sulla media 2.si definisce la regola di costruzione della variabile casuale X che sarà utilizzata nel test statistico: la regola più semplice consiste nel definire una variabile casuale X che abbia, per ciascun elemento della popolazione, valore x i pari al valore della grandezza caratteristica misurata in base ad una opportuna unità di misura. esempio: Statura h 1 = 1,78 m x 1 = 178 h 2 = 1,82 m x 2 = 182 Tensione elettrica v 1 = 12,4 V x 1 = 12,4 v 2 = -9,2 V x 2 = -9,2

40 Test / 80 formulazione di un test sulla media 2.si definisce la regola di costruzione della variabile casuale X che sarà utilizzata nel test statistico: la regola più semplice consiste nel definire una variabile casuale X che abbia, per ciascun elemento della popolazione, valore x i pari al valore della grandezza caratteristica misurata in base ad una opportuna unità di misura. esempio: Statura h 1 = 1,78 m x 1 = 178 h 2 = 1,82 m x 2 = 182 Tensione elettrica v 1 = 12,4 V x 1 = 12,4 v 2 = -9,2 V x 2 = -9,2 2.si definisce la regola di costruzione della variabile casuale X che sarà utilizzata nel test statistico: una regola alternativa consiste nel definire una variabile casuale X che abbia, per ciascun elemento della popolazione, un valore x i fornito da una arbitraria trasformazione lineare applicata al valore misurato della caratteristica comune. Statura h 1 = 1,78 m x 1 = (1,78 – 1,70) / 0,04 = 2 h 2 = 1,82 m x 2 = (1,82 – 1,70) / 0,04 = 3 Tensione elettrica v 1 = 12,4 V x 1 = (12,4 – 1,6) / 10,8 = +1 v 2 = -9,2 V x 2 = ( -9,2 – 1,6) / 10,8 = -1

41 Test / 80 formulazione di un test sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2, H j ; 5.scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

42 Test / 80 formulazione di un test sulla media 3.si individua lipotesi H 0 (ipotesi principale) che deve essere sottoposta a test. esempio: H 0 : 0 ; oppure: H 0 : = 0 ; il test non ci porta a determinare quanto valga la probabilità che lipotesi H 0 sia vera oppure falsa, ma ci dice solamente se possiamo escludere, con il rischio di errore prefissato, che lipotesi H 0 sia vera.

43 Test / 80 formulazione di un test sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2, H j ; 5.scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

44 Test / 80 formulazione di un test sulla media 5.si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la varianza 2 è nota e se il campione è numeroso (n 30) si potrebbero usare indifferentemente: - la media campionaria che ha distribuzione normale con media e varianza 2 / n ; - la variabile che ha distribuzione normale standard.

45 Test / 80 formulazione di un test sulla media 5.si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la varianza 2 è nota e se il campione è numeroso (n 30) si potrebbero usare indifferentemente: - la media campionaria che ha distribuzione normale con media e varianza 2 / n ; - la variabile che ha distribuzione normale standard. Problema: non dispongo di valori tabulati !

46 Test / 80 formulazione di un test sulla media 5.si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la popolazione ha distribuzione normale con varianza 2 incognita si usa la variabile che ha distribuzione t di Student con n - 1 g.d.l. se n > 30 la variabile T può essere approssimata con la: che ha distribuzione normale standard

47 Test / 80 formulazione di un test sulla media 5.si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la varianza 2 è nota ma il campione è poco numeroso (n 30) si usa: - la variabile che ha distribuzione t di Student con n - 1 g.d.l. se la X ha distribuzione normale

48 Test / 80 formulazione di un test sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2, H j ; 5.scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

49 Test / 80 formulazione di un test sulla media 6.si stabiliscono i valori del rischio di errore di 1 ª specie che si è disposti a correre e 1 - della affidabilità richiesta. La probabilità di commettere un errore di 1 ª specie viene chiamata livello di significatività al quale si intende condurre il test.

50 Test / 80 formulazione di un test sulla media 6.si stabiliscono i valori del rischio di errore di 1 ª specie che si è disposti a correre e 1 - della affidabilità richiesta. La probabilità di commettere un errore di 1 ª specie viene chiamata livello di significatività al quale si intende condurre il test. criterio di scelta: la scelta del valore di rischio accettabile richiede considerazioni di vario tipo, non solamente tecniche ma, molto spesso, economiche, di politica aziendale, di immagine, ecc.

51 Test / 80 formulazione di un test sulla media per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2, H j ; 5.scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

52 Test / 80 formulazione di un test sulla media 8.in base a ciò che si è stabilito nei punti precedenti, si identifica il valore critico (o la coppia di valori critici) della statistica campionaria che individua nel dominio la regione di rifiuto dellipotesi principale H 0.

53 Test / 80 formulazione di un test sulla media 8.in base a ciò che si è stabilito nei punti precedenti, si identifica il valore critico (o la coppia di valori critici) della statistica campionaria che individua nel dominio la regione di rifiuto dellipotesi principale H 0. / 2

54 Test / 80 / 2 conduzione di un test sulla media Dopo aver formulato il test: - si procede alla composizione del campione con numerosità pari a quella stabilita, -si conducono le prove sperimentali, -si determina il valore della variabile campionaria precelta,

55 Test / 80 conclusione del test Se il valore della variabile cade nella regione di rifiuto di H 0 si respinge lipotesi principale H 0 con un rischio pari ad di commettere un errore: -il rifiuto di H 0 avviene con una fiducia pari a 1 - corrispondente alla probabilità di avere correttamente respinto H 0 quando essa è realmente falsa

56 Test / 80 numerosità del campione 1.si stabilisce la numerosità n del campione con cui si vuole condurre il test. supponiamo di avere scelto come variabile campionaria la: che, per n sufficientemente grande, sappiamo avere distribuzione normale standardizzata per comprendere leffetto di un aumento della numerosità del campione si può fare la seguente considerazione:

57 Test / 80 numerosità del campione

58 Test / 80 1° test sulla media varianza nota

59 Test / 80 test di ipotesi sulla media (con 2 nota) Problema: Si è acquistato un campione di induttori di nuovo tipo e ci si interroga sulla possibilità che il valore tipico di induttanza della popolazione sia uguale a 12,50 mH, Si definisce sulla popolazione una X come valore della induttanza misurata in mH che ha varianza 2 (per lintera popolazione) nota: 2 = 0,09

60 Test / 80 formulazione del test di ipotesi per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2, H j ; 5.scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

61 Test / 80 test di ipotesi sulla media (con 2 nota) Si è acquistato un campione di induttori di nuovo tipo e ci si interroga sulla possibilità che il valore tipico di induttanza della popolazione sia uguale a 12,50 mH. 1.stabiliamo di operare con un campione di 36 induttori ; 2.Definiamo, come da testo del problema, la X come valore della induttanza misurata in mH 3.indicando con 0 il valore 12,50 si scrive: H 0 : = 0 ; 5.come variabile campionaria viene scelta la media campionaria che, se la numerosità n del campione è sufficientemente elevata, segue la distribuzione normale con media e varianza 2 / n (si ricordi il teorema limite centrale) ;

62 Test / 80 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) 6.fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,04 ( che comporta un livello di fiducia del 96% ); 8.calcoliamo il valore (oppure i valori) critici della statistica campionaria adottata che individuano le regioni di accettazione e di rifiuto della ipotesi principale H 0 in funzione del valore di che è stato prestabilito (0,04); utilizzeremo la distribuzione a due code in quanto lipotesi principale deve essere rigettata sia se la media della X per lintera popolazione risulta superiore a 0, sia se essa risulta inferiore a 0

63 Test / 80 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) utilizzando un foglio elettronico, per esempo MS Excel per il quale la funzione da invocare è la INV.NORM(probabilità;media;dev_standard), risulta agevole individuare i due valori critici cercati: INV.NORM( / 2 ; 0 ; / n ) INV.NORM( 1 - / 2 ; 0 ; / n )

64 Test / 80 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) utilizzando un foglio elettronico, per esempo MS Excel per il quale la funzione da invocare è la INV.NORM(probabilità;media;dev_standard), risulta agevole individuare i due valori critici cercati: INV.NORM( / 2 ; 0 ; / 6 ) INV.NORM( 1 - / 2 ; 0 ; / 6 ) 0,02

65 Test / 80 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) regione di rifiuto di H 0 : 0,02

66 Test / 80 composto il campione si procede con la misurazione della induttanza di ciascun elemento mediante un metodo a risonanza Test di ipotesi sulla media (con 2 nota)

67 Test / 80 composto il campione si procede con la misurazione della induttanza di ciascun elemento mediante un metodo a risonanza Test di ipotesi sulla media (con 2 nota)

68 Test / 80 composto il campione si procede con la misurazione della induttanza di ciascun elemento mediante un metodo a risonanza Test di ipotesi sulla media (con 2 nota)

69 Test / 80 composto il campione si procede con la misurazione della induttanza di ciascun elemento mediante un metodo a risonanza Test di ipotesi sulla media (con 2 nota)

70 Test / 80 terminata la campagna sperimentale sul campione e determinata la media campionaria si ottiene: Test di ipotesi sulla media (con 2 nota)

71 Test / 80 Test di ipotesi sulla media (con 2 nota) Dato che possiamo, con un livello di fiducia del 96%, rigettare lipotesi H 0 : = 0 = 12,50

72 Test / 80 Esercizio 1

73 Test / 80 Esercizio 1 Un costruttore di condensatori teme che la linea di produzione sia andata fuori taratura e produca componenti con una capacità inferiore a quella desiderata: osservando i valori della capacità misurata a 1 kHz di tre condensatori da 10 F nota i seguenti valori: 9,84 F9,94 F9,96 F Decide quindi di condurre un test statistico per assicurarsi che la capacità tipica della popolazione non sia scesa sotto i 9,90 F, valore questo ritenuto accettabile dato che la classe di tolleranza dei condensatori è ± 1% Il test deve essere condotto con una affidabilità del 95% e con un campione di 16 elementi.

74 Test / 80 Esercizio 1 … per assicurarsi che la capacità tipica della popolazione non sia scesa sotto i 9,90 F… … affidabilità del 95% … campione di 16 elementi. Gli elementi del campione di 16 condensatori mostrano i seguenti valori della capacità misurata a 1 kHz: 9,80 F9,84 F9,88 F9,90 F 9,92 F9,94 F9,95 F9,96 F 9,96 F9,97 F9,98 F10,00 F 10,02 F10,04 F10,08 F10,12 F Cosa conclude il costruttore ?

75 Test / 80 formulazione del test di ipotesi per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2.costruzione della variabile casuale X 3.individuazione della ipotesi principale H 0 ; 4.eventuale definizione di ipotesi alternative H 1, H 2, H j ; 5.scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6.definizione della affidabilità richiesta ; 7.definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8.determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9.verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna allinizio e si aumenta la numerosità del campione ;

76 Test / La numerosità del campione era stata data nella definizione del problema: 2.Come variabile casuale X viene scelta una variabile adimensionale che assume, per ciascun elemento della popolazione, valore pari a: 3. Come ipotesi principale H 0 si prende: (… per assicurarsi che la capacità tipica della popolazione non sia scesa sotto i 9,90 F…) Esercizio 1

77 Test / È plausibile che la X abbia distribuzione normale e come variabile campionaria idonea a svolgere il test si prende: ( la varianza 2 non è nota ed il campione ha n = 16) - la variabile che ha distribuzione t di Student con 15 g.d.l. 6.si stabilisce il valore ( … affidabiltà del 95% … ) del rischio di errore di 1 ª specie: = 0,05 Esercizio 1

78 Test / 80 8.Il valore critico della T che individua la regione di rifiuto di H 0 è: e la regione di rifiuto di H 0 è Esercizio 1

79 Test / 80 Dai dati del problema si ricava: Esercizio 1

80 Test / 80 Dato che: e che la regione di rifiuto è: il costruttore conclude che è possibile escludere che la capacità tipica della produzione sia scesa sotto i 9,90 F Esercizio 1


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