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Probabilità 02 - 1 / 53 Lezione 4 Probabilità. Probabilità 02 - 2 / 53 Nella prima parte... La definizione classica della probabilità: P La definizione.

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1 Probabilità / 53 Lezione 4 Probabilità

2 Probabilità / 53 Nella prima parte... La definizione classica della probabilità: P La definizione frequentista della probabilità: P La definizione assiomatica della probabilità: assiomi di Kolmogoroff P P P P A

3 Probabilità / 53 Definizione a posteriori ( o frequentista ) della probabilità definizione: La probabilità P di un evento E è il limite a cui tende il valore della frequenza relativa f E di E quando N tende allinfinito. P

4 Probabilità / 53 Definizione a priori ( o classica ) della probabilità definizione: La probabilità P di un evento E è il rapporto fra il numero s dei risultati favorevoli ( cioè il numero dei risultati che determinano E ) ed il numero n dei risultati possibili Ciò purché i risultati siano ugualmente possibili e si escludano mutuamente. La probabilità P di un evento E è certamente adimensionale! P

5 Probabilità / 53 Definizione assiomatica di probabilità Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che : –ha per dominio lo spazio degli eventi A, –ha per codominio lintervallo [ 0, 1 ], –soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff P P P P A se E 1, E 2, …, E n,... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi dello spazio degli eventi A e se levento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dellevento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi:

6 Probabilità / 53 parte 2 Dalla probabilità alla statistica

7 Probabilità / 53 Sommario La probabilità: –funzioni di probabilità Variabili casuali –concetto di variabile casuale Popolazione oggetto –grandezza caratteristica –Introduzione ai modelli della popolazione oggetto funzione di probabilità cumulativa funzione densità di probabilità Funzioni di probabilità per variabili casuali discrete

8 Probabilità / 53 Funzioni di probabilità: la necessità di un approccio corretto e rigoroso

9 Probabilità / 53 Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff Gli assiomi di Kolmogoroff ci permettono di verificare se una funzione arbitraria può essere assunta come funzione di probabilità. esempio 1: Supponiamo di avere unurna contenente 5 palline di cui 2 bianche e 3 nere:,,,,. Lesperimento casuale consiste nella estrazione in successione di due palline, senza reimmissione della prima pallina estratta. Lo spazio campione S è dato da: S = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),…, (, ), (, ),…, (, ) }

10 Probabilità / 53 Necessità di approccio corretto e rigoroso S = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),…, (, ), (, ),…, (, ) } Definiamo poi i seguenti eventi: –E 1 : la prima pallina estratta sia bianca –E 2 : la seconda pallina estratta sia bianca –E 3 : la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera –E 4 : la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche –E 5 : la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5 –E 6 : la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 5 –E 7 : la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 4 –E 8 : la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 10 –E 9 : la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 10

11 Probabilità / 53 Necessità di approccio corretto e rigoroso S = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),…, (, ), (, ),…, (, ) } Lo spazio campione S è finito ed è composto da 20 punti campione: # S = N = 20 PPP I punti campione sono equiprobabili pertanto: P Se si introduce la funzione è abbastanza agevole verificare che essa soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff ed è pertanto una funzione di probabilità.

12 Probabilità / 53 Necessità di approccio corretto e rigoroso La funzione di probabilità definita ci permette di individuare la probabilità che la prima pallina estratta sia bianca, cioè la probabilità dellevento E 1. S = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),…, (, ), (, ),…, (, ) } : # S = 20 E 1 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } : # E 1 = 8 P

13 Probabilità / 53 Necessità di approccio corretto e rigoroso S = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),…, (, ), (, ),…, (, ) } Definiamo poi i seguenti eventi: –E 1 : la prima pallina estratta sia bianca –E 2 : la seconda pallina estratta sia bianca –E 3 : la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera –E 4 : la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche –E 5 : la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5 –E 6 : la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 5 –E 7 : la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 4 –E 8 : la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 10 –E 9 : la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 10 S = { (, ), (, ), (, ), (, ) }

14 Probabilità / 53 Necessità di approccio corretto e rigoroso S = { (, ), (, ), (, ), (, ) } Definiamo poi i seguenti eventi: –E 1 : la prima pallina estratta sia bianca –E 2 : la seconda pallina estratta sia bianca –E 3 : la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera –E 4 : la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche

15 Probabilità / 53 Necessità di approccio corretto e rigoroso individuata la probabilità p j di ciascun punto campione: p j = P [ { s j } ] con j = 1, 2, …, N e con p j = 1 definiamo per ogni evento E i S: E 1 : la prima pallina estratta sia bianca P p j p j P

16 Probabilità / 53 Dal confronto dei risultati potremmo dedurre che anche il primo metodo è corretto dato che i risultati sono uguali Necessità di approccio corretto e rigoroso definiamo per ogni evento E i S: P p j p j P P p j p j Con il processo deduttivo è anche possibile dimostrare che 60 è divisibile per 7

17 Probabilità / 53 Funzione di probabilità Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che : –ha per dominio lo spazio degli eventi A, –ha per codominio lintervallo [ 0, 1 ], –soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff P P P P A se E 1, E 2, …, E n,... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi dello spazio degli eventi A e se levento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dellevento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi:

18 Probabilità / 53 Variabili casuali

19 Probabilità / 53 (T,T) > (T,C) ? Variabile casuale premessa Gli spazi campione possono essere insiemi di oggetti, di grandezze fisiche, di descrizioni, ecc. non necessariamente trattabili dai comuni operatori matematici. La applicazione che realizza questa trasformazione è la variabile casuale. Volendo definire dei modelli adatti allo studio di fenomeni casuali è pertanto opportuno rappresentare gli elementi dello spazio campione mediante numeri reali. Per fare ciò dobbiamo stabilire una corrispondenza fra le possibili manifestazioni del fenomeno casuale trattato e gli elementi di R.

20 Probabilità / 53 Variabile casuale definizione: La variabile casuale X è una funzione avente come dominio lo spazio campione S e come codominio la retta reale, fissato che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ] ) in cui si opera. requisito: linsieme di tutti gli elementi s S tali che la loro immagine X ( s ) sia minore di un determinato x R deve essere un evento. x 2 E = { s 1, s 3 }

21 Probabilità / 53 Variabile casuale esempio: Consideriamo lesperimento costituito dal lancio (contemporaneo) di due monete: S = { (T,T), (T,C), (C,C) } Definiamo la variabile casuale X come: il numero di teste risultanti: X ha dominio = S e codominio = { 0, 1, 2 }

22 Probabilità / 53 Variabile casuale requisito: linsieme di tutti gli elementi s S tali che la loro immagine X ( s ) sia minore di un determinato x R deve essere un evento. x 2 = 2 E = { s 0, s 1 } = = no 2 teste

23 Probabilità / 53 Variabile casuale Nello spazio campione S non è rappresentata lapopolazione dei lanci effettuati, ma sono presenti solo i possibili risultati.

24 Probabilità / 53 Mappatura di S (C,C) 0 (T,C) 1 (C,C) 2 Variabile casuale

25 Probabilità / 53 Popolazione oggetto Si definisce popolazione oggetto linsieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica. Una popolazione oggetto può essere finita o infinita a seconda che sia composta da un numero finito o infinito di elementi (persone, oggetti, misure, osservazioni, …) Limitiamo il nostro interesse a quelle caratteristiche comuni agli elementi della popolazione oggetto che sono classificabili come grandezze misurabili (numerali, razionali, strumentali, selettive, complesse).

26 Probabilità / 53 Popolazione oggetto Misurazione Variabile casuale

27 Probabilità / 53 Dalla popolazione oggetto alla variabile casuale Caratteristica comune della popolazione oggetto Misure della caratteristica comune della popolazione oggetto con dimensione fisica con unità di misura adimensionale Valori della variabile casuale X

28 Probabilità / 53 Dalla popolazione oggetto alla variabile casuale Caratteristica comune della popolazione oggetto Misure della caratteristica comune della popolazione oggetto Valori della variabile casuale X Francesca Piccinini e Simona Gioli h = 1,85 metri

29 Probabilità / 53 Dallo spazio campione alla retta reale tramite la variabile casuale definizione: La variabile casuale X è una funzione avente come dominio lo spazio campione S e come codominio la retta reale, fissato che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ] ) in cui si opera. convenzione: Indicheremo con X(s) la variabile casuale e con x i valori che essa assume

30 Probabilità / 53 La modellazione della popolazione oggetto: le funzioni di probabilità e le variabili casuali

31 Probabilità / 53 Modello della popolazione oggetto Le funzioni di probabilità, cioè la –densità di probabilità f X ( x ) e la –distribuzione cumulativa di probabilità F X ( x ), sono modelli matematici con cui si cerca di descrivere la popolazione oggetto per quanto è attinente al valore (della misura) della caratteristica comune.

32 Probabilità / 53 Funzione di distribuzione cumulativa definizione: Data una variabile casuale X si definisce funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ) quella funzione che: ha per dominio lasse reale ha per codominio lintervallo chiuso [ 0, 1 ] ed è definita come: F X ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ]

33 Probabilità / 53 Funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ] A rigore: La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x della variabile casuale X la probabilità dellevento costituito da tutti i punti campione s che hanno immagine X ( s ) minore o uguale ad x.

34 Probabilità / 53 Funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ] In termini semplificati: La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x della variabile casuale X la somma delle probabilità dei punti campione s che hanno immagine X ( s ) minore o uguale ad x.

35 Probabilità / 53 Le funzioni per le variabili casuali discrete

36 Probabilità / 53 Funzione di distribuzione cumulativa per una variabile casuale discreta esempio: Consideriamo lesperimento costituito dal lancio (contemporaneo) di due monete: S = { (T,T), (T,C), (C,C) } Sia X la variabile casuale che indica il numero di teste risultanti: X ha dominio = S e codominio = { 0, 1, 2 }

37 Probabilità / 53 spazio campione: S = { (T,T), (T,C), (C,C) } variabile casuale: probabilità dei tre punti campione: P ( s 0 ) = 0,25 P ( s 1 ) = 0,5 P ( s 2 ) = 0,25 Funzione di distribuzione cumulativa per una variabile casuale discreta F X ( x ) = P [ X x ]

38 Probabilità / 53 riassumendo: Funzione di distribuzione cumulativa P ( s 0 ) = 0,25 P ( s 1 ) = 0,5 P ( s 2 ) = 0,25 F X ( x ) = P [ X x ]

39 Probabilità / 53 Funzione di densità discreta definizione: Data una variabile casuale discreta X avente codominio { x 1, x 2, …, x n, … } R si dice funzione di densità discreta di X o funzione di probabilità quella funzione f X ( x ) che: ha per dominio lasse reale, ed è definita da: P

40 Probabilità / 53 Funzione di densità discreta In termini semplificati: La funzione di densità discreta associa ad ogni valore x della variabile casuale X la probabilità del punto campione s che ha immagine X ( s ) uguale ad x P

41 Probabilità / 53 spazio campione: S = { (T,T), (T,C), (C,C) } variabile casuale: probabilità dei tre punti campione: P ( s 0 ) = 0,25 P ( s 1 ) = 0,5 P ( s 2 ) = 0,25 Funzione di densità discreta P

42 Probabilità / 53 riassumendo: Funzione di densità discreta P ( s 0 ) = 0,25 P ( s 1 ) = 0,5 P ( s 2 ) = 0,25 P

43 Probabilità / 53 Funzione di densità discreta Gli elementi dellinsieme { x 1, x 2, …, x n, … } R vengono indicati con il nome di punti massa. La funzione di densità discreta f X ( x ) è una funzione da R nellintervallo chiuso [ 0,1 ] che gode delle seguenti proprietà: più precisamente: f X ( x ) > 0 per ogni x = x j e f X ( x ) = 0 per ogni x x j ove la sommatoria è estesa a tutti punti massa x 1, x 2, …, x n, …

44 Probabilità / 53 Legami fra f X e F X ( x ) La funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ) è legata alla funzione di densità discreta f X della stessa variabile casuale X dalla relazione: F X (x)

45 Probabilità / 53 funzione di densità discreta f X ( x ) funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ) Legami fra f X e F X ( x ) F X (x)

46 Probabilità / 53 Legami fra f X e F X ( x ) La funzione di densità discreta f X è legata alla funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ) della stessa variabile casuale X dalla relazione: FXFX FXFX

47 Probabilità / 53 funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ) funzione di densità discreta f X ( x ) Legami fra f X e F X ( x ) FXFX FXFX

48 Probabilità / 53 Variabili casuali continue


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