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Lezione 4 Probabilità.

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Presentazione sul tema: "Lezione 4 Probabilità."— Transcript della presentazione:

1 Lezione 4 Probabilità

2 Nella prima parte ... La definizione frequentista della probabilità: P La definizione classica della probabilità: P La definizione assiomatica della probabilità: assiomi di Kolmogoroff P A

3 Definizione a posteriori ( o “frequentista” ) della probabilità
La probabilità P di un evento E è il limite a cui tende il valore della frequenza relativa fE di E quando N tende all’infinito. P

4 Definizione a priori ( o “classica” ) della probabilità
La probabilità P di un evento E è il rapporto fra il numero s dei risultati favorevoli ( cioè il numero dei risultati che determinano E ) ed il numero n dei risultati possibili Ciò purché i risultati siano ugualmente possibili e si escludano mutuamente. P La probabilità P di un evento E è certamente adimensionale!

5 Definizione assiomatica di probabilità
Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che: ha per dominio lo spazio degli eventi A , ha per codominio l’intervallo [ 0, 1 ] , soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff P A se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi:

6 parte 2 Dalla probabilità alla statistica

7 Sommario La probabilità: Variabili casuali Popolazione oggetto
funzioni di probabilità Variabili casuali concetto di “variabile casuale” Popolazione oggetto grandezza caratteristica Introduzione ai modelli della popolazione oggetto funzione “di probabilità cumulativa” funzione “densità di probabilità Funzioni di probabilità per variabili casuali discrete

8 Funzioni di probabilità: la necessità di un approccio corretto e rigoroso

9 Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
Gli assiomi di Kolmogoroff ci permettono di verificare se una funzione arbitraria può essere assunta come “funzione di probabilità. esempio 1: Supponiamo di avere un’urna contenente 5 palline di cui 2 bianche e 3 nere: , ‚, Ž, , . L’esperimento casuale consiste nella estrazione in successione di due palline, senza reimmissione della prima pallina estratta. Lo spazio campione S è dato da: S = { (,‚), (,Ž), (,), (,), (‚,), (‚,Ž),…, (Ž,), (Ž,‚),…, (,) }

10 Necessità di approccio corretto e rigoroso
Definiamo poi i seguenti eventi: E1: la prima pallina estratta sia bianca E2: la seconda pallina estratta sia bianca E3: la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera E4: la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche E5: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5 E6: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 5 E7: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 4 E8: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 10 E9: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 10

11 Necessità di approccio corretto e rigoroso
Lo spazio campione S è finito ed è composto da 20 “punti campione”: # S = N = 20 P I punti campione sono equiprobabili pertanto: P Se si introduce la funzione è abbastanza agevole verificare che essa soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff ed è pertanto una funzione di probabilità.

12 Necessità di approccio corretto e rigoroso
La funzione di probabilità definita ci permette di individuare la probabilità che “la prima pallina estratta sia bianca”, cioè la probabilità dell’evento E1. S = { (,‚), (,Ž), (,), (,), (‚,), (‚,Ž),…, (Ž,), (Ž,‚),…, (,) } : # S = 20 E1 = {(,‚), (,Ž), (,), (,), (‚,), (‚,Ž), (‚,), (‚,) } : # E1 = 8 P

13 Necessità di approccio corretto e rigoroso
Definiamo poi i seguenti eventi: E1: la prima pallina estratta sia bianca E2: la seconda pallina estratta sia bianca E3: la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera E4: la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche E5: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5 E6: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 5 E7: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 4 E8: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 10 E9: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 10 S = { (●,●), (●,○), (○,●), (○,○) }

14 Necessità di approccio corretto e rigoroso
Definiamo poi i seguenti eventi: E1: la prima pallina estratta sia bianca E2: la seconda pallina estratta sia bianca E3: la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera E4: la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche

15 Necessità di approccio corretto e rigoroso
individuata la probabilità p j di ciascun punto campione: p j = P [{ sj }] con j = 1, 2, … , N e con p j = 1 definiamo per ogni evento Ei Í S: E1: la prima pallina estratta sia bianca P p j P

16 Necessità di approccio corretto e rigoroso
definiamo per ogni evento Ei Í S: P p j P p j P Con il processo deduttivo è anche possibile dimostrare che 60 è divisibile per 7 Dal confronto dei risultati potremmo dedurre che anche il primo metodo è corretto dato che i risultati sono uguali

17 Funzione di probabilità
Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che: ha per dominio lo spazio degli eventi A , ha per codominio l’intervallo [ 0, 1 ] , soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff P A se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi:

18 Variabili casuali

19 (T,T) > (T,C) ? Variabile casuale premessa
Gli spazi campione possono essere insiemi di oggetti, di grandezze fisiche, di descrizioni, ecc. non necessariamente trattabili dai comuni operatori matematici. Volendo definire dei modelli adatti allo studio di fenomeni casuali è pertanto opportuno rappresentare gli elementi dello spazio campione mediante numeri reali. (T,T) > (T,C) ? Per fare ciò dobbiamo stabilire una corrispondenza fra le possibili manifestazioni del fenomeno casuale trattato e gli elementi di R . La applicazione che realizza questa trasformazione è la variabile casuale.

20 Variabile casuale definizione:
La variabile casuale X è una funzione avente come dominio lo spazio campione S e come codominio la retta reale, fissato che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ) in cui si opera. requisito: l’insieme di tutti gli elementi s Î S tali che la loro immagine X(s) sia minore di un determinato x Î R deve essere un evento. x2 Þ E = { s1, s3 }

21 Variabile casuale esempio: Consideriamo l’esperimento costituito dal lancio (contemporaneo) di due monete: S = { (T,T), (T,C), (C,C) } Definiamo la variabile casuale X come: il “numero di teste risultanti”: X ha dominio = S e codominio = { 0, 1, 2 }

22 Variabile casuale requisito:
l’insieme di tutti gli elementi s Î S tali che la loro immagine X(s) sia minore di un determinato x Î R deve essere un evento. x2 = 2 Þ E = { s0, s1 } = = “no 2 teste”

23 Variabile casuale Nello spazio campione S non è rappresentata la “popolazione dei lanci effettuati”, ma sono presenti solo i “possibili risultati”.

24 Variabile casuale “Mappatura” di S (C,C)  0 (T,C)  1 (C,C)  2

25 Popolazione oggetto Si definisce “popolazione oggetto” l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica. Una popolazione oggetto può essere finita o infinita a seconda che sia composta da un numero finito o infinito di elementi (persone, oggetti, misure, osservazioni, …) Limitiamo il nostro interesse a quelle caratteristiche comuni agli elementi della popolazione oggetto che sono classificabili come “grandezze misurabili” (numerali, razionali, strumentali, selettive, complesse).

26 Popolazione oggetto Misurazione Variabile casuale

27 Dalla popolazione oggetto alla variabile casuale
Caratteristica comune della popolazione oggetto con dimensione fisica Misure della caratteristica comune della popolazione oggetto con unità di misura adimensionale Valori della variabile casuale X

28 Dalla popolazione oggetto alla variabile casuale
Francesca Piccinini e Simona Gioli Caratteristica comune della popolazione oggetto Misure della caratteristica comune della popolazione oggetto h = 1,85 metri Valori della variabile casuale X

29 Dallo spazio campione alla retta reale tramite la variabile casuale
definizione: La variabile casuale X è una funzione avente come dominio lo spazio campione S e come codominio la retta reale, fissato che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ) in cui si opera. convenzione: Indicheremo con X(s) la variabile casuale e con x i valori che essa assume

30 La modellazione della popolazione oggetto: le funzioni di probabilità e le variabili casuali

31 Modello della popolazione oggetto
Le funzioni di probabilità, cioè la densità di probabilità fX ( x ) e la distribuzione cumulativa di probabilità FX ( x ), sono “modelli matematici” con cui si cerca di descrivere la popolazione oggetto per quanto è attinente al valore (della misura) della caratteristica comune.

32 Funzione di distribuzione cumulativa
definizione: Data una variabile casuale X si definisce funzione di distribuzione cumulativa FX ( x ) quella funzione che: ha per dominio l’asse reale ha per codominio l’intervallo chiuso [ 0 , 1 ] ed è definita come: FX ( x ) = P [ X £ x ] = P [ { s : X ( s ) £ x } ]

33 Funzione di distribuzione cumulativa
FX ( x ) = P [ X £ x ] = P [ { s : X ( s ) £ x } ] A rigore: La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x della variabile casuale X la probabilità dell’evento costituito da tutti i punti campione s che hanno immagine X ( s ) minore o uguale ad x .

34 Funzione di distribuzione cumulativa
FX ( x ) = P [ X £ x ] = P [ { s : X ( s ) £ x } ] In termini semplificati: La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x della variabile casuale X la somma delle probabilità dei punti campione s che hanno immagine X ( s ) minore o uguale ad x .

35 Le funzioni per le variabili casuali discrete

36 Funzione di distribuzione cumulativa per una variabile casuale discreta
esempio: Consideriamo l’esperimento costituito dal lancio (contemporaneo) di due monete: S = { (T,T), (T,C), (C,C) } Sia X la variabile casuale che indica il “numero di teste risultanti”: X ha dominio = S e codominio = { 0, 1, 2 }

37 FX ( x ) = P [ X £ x ] P (s0) = 0,25 P (s1) = 0,5 P (s2) = 0,25
Funzione di distribuzione cumulativa per una variabile casuale discreta spazio campione: S = { (T,T), (T,C), (C,C) } variabile casuale: probabilità dei tre punti campione: P (s0) = 0,25 P (s1) = 0,5 P (s2) = 0,25 FX ( x ) = P [ X £ x ]

38 riassumendo: Funzione di distribuzione cumulativa
FX ( x ) = P [ X £ x ] P (s0) = 0,25 P (s1) = 0,5 P (s2) = 0,25

39 Funzione di densità discreta
definizione: Data una variabile casuale discreta X avente codominio { x1 , x2 , … , xn , … } Ì R si dice “ funzione di densità discreta di X ” o “ funzione di probabilità ” quella funzione fX ( x ) che: ha per dominio l’asse reale, ed è definita da: P

40 Funzione di densità discreta
P In termini semplificati: La funzione di densità discreta associa ad ogni valore x della variabile casuale X la probabilità del punto campione s che ha immagine X ( s ) uguale ad x

41 Funzione di densità discreta
spazio campione: S = { (T,T), (T,C), (C,C) } variabile casuale: probabilità dei tre punti campione: P (s0) = 0,25 P (s1) = 0,5 P (s2) = 0,25 P

42 riassumendo: Funzione di densità discreta
P P (s0) = 0,25 P (s1) = 0,5 P (s2) = 0,25

43 Funzione di densità discreta
Gli elementi dell’insieme { x1 , x2 , … , xn , … } Ì R vengono indicati con il nome di “punti massa”. La funzione di densità discreta fX ( x ) è una funzione da R nell’intervallo chiuso [ 0,1 ] che gode delle seguenti proprietà: più precisamente: fX ( x ) > 0 per ogni x = xj e fX ( x ) = 0 per ogni x ¹ xj ove la sommatoria è estesa a tutti punti massa x1 , x2 , … , xn , …

44 FX (x) Legami fra fX e FX ( x )
La funzione di distribuzione cumulativa FX ( x ) è legata alla funzione di densità discreta fX della stessa variabile casuale X dalla relazione: FX (x)

45 FX (x) Legami fra fX e FX ( x ) funzione di densità discreta fX ( x )
funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ) FX (x)

46 Legami fra fX e FX ( x ) La funzione di densità discreta fX è legata alla funzione di distribuzione cumulativa FX ( x ) della stessa variabile casuale X dalla relazione: FX

47 Legami fra fX e FX ( x ) funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ) funzione di densità discreta fX ( x ) FX

48 Variabili casuali continue


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