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Probabilità 03 - 1 / 41 Lezione 4 Probabilità. Probabilità 03 - 2 / 41 Nella prima parte... La definizione classica della probabilità: P La definizione.

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1 Probabilità / 41 Lezione 4 Probabilità

2 Probabilità / 41 Nella prima parte... La definizione classica della probabilità: P La definizione frequentista della probabilità: P La definizione assiomatica della probabilità: assiomi di Kolmogoroff P P P P A

3 Probabilità / 41 Nella seconda parte… Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che : –ha per dominio lo spazio degli eventi A, –ha per codominio lintervallo [ 0, 1 ], –soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff P P P P A se E 1, E 2, …, E n,... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi dello spazio degli eventi A e se levento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dellevento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi:

4 Probabilità / 41 Variabile casuale definizione: La variabile casuale X è una funzione avente come dominio lo spazio campione S e come codominio la retta reale, fissato che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ] ) in cui si opera. requisito: linsieme di tutti gli elementi s S tali che la loro immagine X ( s ) sia minore di un determinato x R deve essere un evento. x 2 E = { s 1, s 3 }

5 Probabilità / 41 Variabile casuale Mappatura di S (C,C) 0 (T,C) 1 (C,C) 2

6 Probabilità / 41 Popolazione oggetto Si definisce popolazione oggetto linsieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica. Una popolazione oggetto può essere finita o infinita a seconda che sia composta da un numero finito o infinito di elementi (persone, oggetti, misure, osservazioni, …) Limitiamo il nostro interesse a quelle caratteristiche comuni agli elementi della popolazione oggetto che sono classificabili come grandezze misurabili (numerali, razionali, strumentali, selettive, complesse).

7 Probabilità / 41 Dalla popolazione oggetto alla variabile casuale Caratteristica comune della popolazione oggetto Misure della caratteristica comune della popolazione oggetto con dimensione fisica con unità di misura adimensionale Valori della variabile casuale X

8 Probabilità / 41 Dallo spazio campione alla retta reale tramite la variabile casuale definizione: La variabile casuale X è una funzione avente come dominio lo spazio campione S e come codominio la retta reale, fissato che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ] ) in cui si opera. convenzione: Indicheremo con X(s) la variabile casuale e con x i valori che essa assume

9 Probabilità / 41 Sommario I modelli della popolazione oggetto –grandezza caratteristica –introduzione ai modelli della popolazione oggetto funzione di probabilità cumulativa funzione densità di probabilità –variabili casuali discrete –variabili casuali continue I parametri dei modelli –i valori attesi –i quantili La distribuzione normale –la distribuzione di Gauss –la distribuzione normale standardizzata

10 Probabilità / 41 parte 3 (segue) Le funzioni di probabilità

11 Probabilità / 41 Modelli della popolazione oggetto Le funzioni di probabilità, cioè la –densità di probabilità f X ( x ) e la –distribuzione cumulativa di probabilità F X ( x ), sono modelli matematici con cui si cerca di descrivere la popolazione oggetto per quanto è attinente al valore (della misura) della caratteristica comune.

12 Probabilità / 41 Variabili casuali continue

13 Probabilità / 41 Funzione di distribuzione cumulativa La funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ) può essere concepita sia con riferimento a variabili casuali discrete, sia con riferimento a variabili casuali continue. In entrambi i casi la F X ( x ): ha per dominio lasse reale, per codominio lintervallo chiuso [ 0, 1 ], ed è definita come: F X ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ]

14 Probabilità / 41 Funzione di distribuzione cumulativa La funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ), nel caso di una variabile casuale X di tipo continuo, presenta un andamento diverso da quello già visto nel caso discreto:

15 Probabilità / 41 Funzione di densità di probabilità definizione: Data una variabile casuale continua X si dice funzione di densità di probabilità di X o funzione di densità quella funzione f x ( x ) per cui: F X (x) ricordiamo che se X è discreta: la funzione di distribuzione cumulativa F X ( x ) è legata alla funzione di densità discreta f X dalla relazione: F X (x)

16 Probabilità / 41 Funzione di densità di probabilità La funzione di densità di probabilità f X ( x ) è una funzione da R nellintervallo chiuso [ 0,1 ] che gode delle seguenti proprietà:

17 Probabilità / 41 I parametri dei modelli della popolazione oggetto

18 Probabilità / 41 Modello della popolazione Le funzioni di densità di probabilità f X ( x ) e distribuzione cumulativa F X ( x ) sono modelli matematici con cui si cerca di descrivere la popolazione per quanto è attinente alla caratteristica comune.

19 Probabilità / 41 Parametri della distribuzione Questi parametri, di regola legati a quelli che si definiscono valori attesi, rivestono grande importanza nella caratterizzazione della forma della distribuzione. I principali parametri di una distribuzione sono: –la media –la varianza Le funzioni di densità di probabilità f X ( x ) e distribuzione cumulativa F X ( x ), oltre ad essere funzione della variabile X, dipendono anche da altri parametri.

20 Probabilità / 41 Media definizione: Si definisce media (o valore atteso) della variabile casuale X la funzione: X variabile casuale continua con funzione di densità f X ( x ) X variabile casuale discreta con punti massa x 1, x 2, …, x n, … e con funzione di densità discreta f X X variabile casuale discreta con punti massa x 1, x 2, …, x n, … equiprobabili

21 Probabilità / 41 Varianza definizione: Data una variabile casuale X con media X si definisce varianza la funzione: X variabile casuale continua con funzione di densità f X ( x ) X variabile casuale discreta con punti massa x 1, x 2, …, x n, … e funzione di densità discreta f X X variabile casuale discreta con punti massa x 1, x 2, …, x n, … equiprobabili

22 Probabilità / 41 Scarto quadratico medio definizione: si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata (positiva) della varianza:

23 Probabilità / 41 Quantili definizione: il quantile q-esimo x q di una variabile casuale continua X è il più piccolo valore x R tale che F X ( x q ) = q

24 Probabilità / 41 Quantili il quantile q-esimo x q di una variabile casuale continua X è il più piccolo valore x R tale che F X ( x q ) = q la definizione specifica che il quantile è il più piccolo … e non il valore … per poter avere validità sia con le variabili casuali continue sia con quelle discrete.

25 Probabilità / 41 Quartili, percentili tra i quantili più comunemente usati vi sono i tre quartili Q 1, Q 2 e Q 3 che hanno la caratteristica di suddividere larea sottesa dalla funzione di densità in quattro parti uguali, di modo che ciascuna di queste parti rappresenta il 25% del totale. i percentili (o, più semplicemente, centili) sono quei quantili che suddividono larea in cento parti uguali.

26 Probabilità / 41 Distribuzione normale o di Gauss ( o di Laplace o di De Moivre )

27 Probabilità / 41 Distribuzione normale o di Gauss definizione classica: una popolazione con media e varianza 2 ha distribuzione normale se la sua densità f X ( x ) può essere espressa nella forma:

28 Probabilità / 41 Distribuzione normale o di Gauss definizione semantica: una popolazione con media e varianza 2 ha distribuzione gaussiana se la sua densità f X ( x ) può essere espressa nella forma:

29 Probabilità / 41 Distribuzione normale una popolazione distribuita in modo normale su cui viene definita una variabile casuale continua X con media e varianza 2 può essere modellata mediante una funzione di densità di probabilità f X ( x ) espressa nella forma:

30 Probabilità / 41 Distribuzione normale al variare del valore della media la f X ( x ) trasla indeformata la media e varianza 2 ( o la sua radice quadrata che viene indicata come scarto quadratico medio ) costituiscono i parametri di forma della distribuzione normale in quanto landamento della densità f X ( x ) viene condizionato dai valori di tali parametri:

31 Probabilità / 41 Distribuzione normale al variare del valore della varianza 2 la f X ( x ) si deforma la media e varianza 2 ( o la sua radice quadrata che viene indicata come scarto quadratico medio ) costituiscono i parametri di forma della distribuzione normale in quanto landamento della densità f X ( x ) viene condizionato dai valori di tali parametri:

32 Probabilità / 41 Dalla distribuzione normale alla normale standard teorema 2.x: se X è una variabile casuale con distribuzione normale, media e varianza 2, allora la variabile casuale Z ha distribuzione normale, con media nulla e varianza unitaria. La densità della Z è pertanto espressa dalla:

33 Probabilità / 41 Dalla distribuzione normale alla normale standard teorema 2.x: se X è una variabile casuale con distribuzione normale, media e varianza 2, allora la variabile casuale Z ha distribuzione normale, con media nulla e varianza unitaria.

34 Probabilità / 41 Dalla distribuzione normale alla normale standard se X è una variabile casuale con media, varianza 2 ed ha distribuzione normale allora la nuova variabile casuale Z che assume valore risulta avere: –media Z = 0,

35 Probabilità / 41 Dalla distribuzione normale alla normale standard se X è una variabile casuale con media, varianza 2 ed ha distribuzione normale allora la nuova variabile casuale Z che assume valore risulta avere: –media Z = 0,

36 Probabilità / 41 Dalla distribuzione normale alla normale standard se X è una variabile casuale con media, varianza 2 ed ha distribuzione normale allora la nuova variabile casuale Z che assume valore risulta avere: –media Z = 0, varianza var [ Z ] = 1,

37 Probabilità / 41 Dalla distribuzione normale alla normale standard se X è una variabile casuale con media, varianza 2 ed ha distribuzione normale allora la nuova variabile casuale Z che assume valore risulta avere: –media Z = 0, varianza var [ Z ] = 1,

38 Probabilità / 41 Gli stimatori

39 Probabilità / 41 Popolazione oggetto Si definisce popolazione oggetto linsieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica. Una popolazione può essere finita o infinita a seconda che sia composta da un numero finito o infinito di elementi (persone, oggetti, misure, osservazioni, …) La caratteristica comune agli elementi della popolazione oggetto viene, nella maggior parte dei casi, espressa da un numero che ne rappresenta il valore. Studieremo quindi popolazioni costituite da insiemi di numeri che rappresentano i valori ottenuti mediante la misurazione della caratteristica comune agli elementi della popolazione oggetto, valori che risultano distribuiti con una densita f [ · ].

40 Probabilità / 41 Misurazione della caratteristica comune Il valore della caratteristica che accomuna gli elementi della popolazione campione può essere determinato con le più diverse procedure di misurazione: quando le misure non sono tali da procurare danni agli elementi misurati si può ipotizzare una prova a tappeto, ma quando le prove possono danneggiare i dispositivi la prova deve essere condotta su di un campione.

41 Probabilità / 41 Gli stimatori Quando non è possibile individuare il valore di un parametro atteso dallesame della distribuzione o dallesame dellintera popolazione retta da quella distribuzione si ricorre ad una sua stima esaminando un campione di numerosità limitata con lausilio di una funzione matematica detta stimatore.


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