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Infe 03 - 1 / 61 Lezione 6 Inferenza statistica. Infe 03 - 2 / 61 ERRATA CORRIGE teorema 5.1: estraendo a caso un campione di numerosità n finita da una.

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1 Infe / 61 Lezione 6 Inferenza statistica

2 Infe / 61 ERRATA CORRIGE teorema 5.1: estraendo a caso un campione di numerosità n finita da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2, la variabile casuale segue una distribuzione t di Student con n-1 gradi di libertà

3 Infe / 61 parte 3 Esercizi sulla stima della media e della varianza

4 Infe / 61 Strumenti di misura e strumenti di inferenza

5 Infe / 61 come tutti gli strumenti di misura, anche gli stimatori sono imperfetti e la loro stima del parametro presenta unincertezza che deve essere quantificata. estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X avente densità f ( x ) qualsiasi con media e varianza 2 un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n } si possono usare la media campionaria e la varianza campionaria corretta per stimare i valori dei parametri e 2 relativi allintera popolazione. incertezza dello stimatore campionario

6 Infe / 61 La probabilità dellevento: è uguale alla confidenza con cui posso affermare: incertezza dello stimatore media campionaria

7 Infe / 61 La probabilità dellevento: è uguale alla confidenza con cui posso affermare: incertezza dello stimatore varianza campionaria corretta

8 Infe / 61 incertezza degli stimatori campionari La determinazione dellincertezza degli stimatori campionari si conduce tramite lo studio della distribuzione di probabilità della variabile casuale costituita dallo stimatore.

9 Infe / 61 Distribuzione della media campionaria

10 Infe / 61 estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X avente distribuzione qualsiasi, media e varianza 2, un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n }, se n è sufficientemente grande la media campionaria - segue una distribuzione normale - con media e varianza 2 / n Distribuzione della media campionaria

11 Infe / 61 Distribuzione della media campionaria estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2 finite, un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n }, per qualsiasi n la media campionaria - segue una distribuzione normale - con media e varianza 2 / n

12 Infe / 61 Considerazioni già fatte ci permettono di affermare che la media campionaria, sotto determinate ipotesi, segue una distribuzione normale con media e varianza 2 / n è quindi facile costruire una variabile casuale con distribuzione normale standard, cioè con media nulla e varianza unitaria. Dalla media campionaria alla media campionaria standardizzata

13 Infe / 61 possiamo sostenere che: estraendo a caso un campione con un numero n sufficiente- mente elevato elementi da una popolazione per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione qualsiasi, media e varianza 2, cè una probabilità pari a 1 - che lintervallo casuale in cui z 1- / 2 è il valore del quantile ( 1 - /2) di una variabile Z normale standardizzata contenga il valore della media per lintera popolazione. Intervallo di confidenza per la media

14 Infe / 61 possiamo sostenere che: estraendo a caso un campione con n finito da una popolazione per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2, cè una probabilità pari a 1 - che lintervallo casuale in cui z 1- / 2 è il valore del quantile ( 1 - /2) di una variabile normale standardizzata contenga il valore della media per lintera popolazione. Intervallo di confidenza per la media: n finito

15 Infe / 61 possiamo sostenere che: estraendo a caso un campione con n finito da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2, cè una probabilità pari a 1 - che lintervallo casuale in cui t 1- / 2 è il valore del quantile ( 1 - /2) di una variabile T distribuita secondo la t di Student con n -1 g.d.l. contenga il valore della media della popolazione. Intervallo di confidenza per la media: n finito e 2 sconosciuta

16 Infe / 61 è lintervallo di confidenza allo 1 - per la media nel caso di campioni di ridotta numerosità estratti da popolazioni con distribuzione normale! Intervallo di confidenza per la media: n finito

17 Infe / 61 Intervallo di confidenza per la media: n < N se n 30 e la varianza per la popolazione 2 è nota: se n 30, X è normale e la varianza per la popolazione 2 è nota: se X è normale:

18 Infe / 61 Esercizio 1 stima della media

19 Infe / 61 Esercizio 1 Determinazione dei parametri statici di un OpAmp: misurazione della tensione di offset di ingresso La tensione di offset di ingresso è quella tensione continua che, in assenza di segnale utile, deve essere applicata allingresso di un operazionale per rendere nulla la tensione di uscita.

20 Infe / 61 Esercizio 1 Determinazione dei parametri statici di un OpAmp: misurazione della tensione di offset di ingresso

21 Infe / 61 Esercizio 1 se R 3 = R 1 // R 2

22 Infe / 61 Esercizio 1 se R 3 = R 1 // R 2

23 Infe / 61 Esercizio 1 se trascuriamo il contributo di i os rispetto a quello di v os :

24 Infe / 61 Esercizio 1 se trascuriamo il contributo di i os rispetto a quello di v os :

25 Infe / 61 Esercizio 1 la tensione di offset di ingresso è quindi espressa dalla:

26 Infe / 61 Esercizio 1 costituiamo un campione con 11 propotipi di un nuovo OpAmp e misuriamo i valori delle tensioni v out in mV usando i resistori R 1 = 1 e R 2 = 1 k : { + 17,87 ; + 18,16 ; + 17,80 ; + 17,99 ; + 18,16 ; + 17,97 ; + 18,12 ; + 17,98 ; + 17,99 ; + 17,84 ; + 17,99 } da questi ricaviamo i valori delle tensioni di offset in V: { + 17,85 ; + 18,14 ; + 17,78 ; + 17,97 ; + 18,14 ; + 17,95 ; + 18,10 ; + 17,96 ; + 17,97 ; + 17,82 ; + 17,97 }

27 Infe / 61 Esercizio 1 Sulla popolazione degli OpAmp definiamo una variabile aleatoria X che assume, per ciascun elemento della popolazione, un valore x coincidente con il valore in V della tensione di offset dellelemento (trasformazione lineare). A causa della molteplicità dei fattori del processo produttivo che condizionano loffset e per la linearità della trasformazione è plausibile ritenere che la X abbia distribuzione normale. Le immagini dei componenti il campione sono: x 1 = + 17,85 ; x 2 = + 18,14 ; x 3 = + 17,78 ; x 4 = + 17,97 ; x 5 = + 18,14 ; x 6 = + 17,95 ; x 7 = + 18,10 ; x 8 = + 17,96 ; x 9 = + 17,97 ; x 10 = + 17,82 ; x 11 = + 17,97

28 Infe / 61 Esercizio 1 utilizziamo questi valori per individuare la stima del valore medio delloffset per la intera popolazione mediante lo stimatore media campionaria: lo stimatore media campionaria ci fornisce il valore Questo risultato ci permette di affermare che la stima fatta del valore medio della tensione di offset di ingresso per lintera popolazione di OpAmp risulta di +17,97 V

29 Infe / 61 Esercizio 1 dobbiamo ora trovare quanto il dato è affidabile stimando quanto la casualità del campione può condizionarne il valore: dato che non conosciamo la varianza della X per la popolazione degli OpAmp costruiamo la variabile T che avrà una distribuzionet di Student: attraverso cui individueremo lintervallo di confidenza usando la:

30 Infe / 61 Esercizio 1 il campione ha n = 11 quindi useremo la t di Student a 10 g.d.l. e, se cerchiamo un intervallo di confidenza al 90%, dovremo individuare i percentili 5% e 95% (cioè 0,05 e 0,95): in realtà ci basta individuare il 95% in quanto laltro percentile è simmetrico rispetto a zero. la tabella della t di Student ci fornisce il valore del percentile: da cui:

31 Infe / 61 Esercizio 1 Dai valori della X del campione individuiamo quindi il valore della varianza campionaria corretta e della sua radice (deviazione standard): ricordando che vogliamo applicare la: notiamo che ora è necessario stimare la varianza della media campionaria mediante la varianza campionaria corretta

32 Infe / 61 pertanto sostituendo nella: Esercizio 1 otteniamo: da cui:

33 Infe / 61 dalla: Esercizio 1 è facile ottenere: da cui: che rappresenta lintervallo di confidenza al 90% per la media della variabile casuale riferita allintera popolazione

34 Infe / 61 Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 90%, il valore medio della tensione di offset di ingresso della intera popolazione degli OpAmp è compreso nellintervallo di estremi: Esercizio 1

35 Infe / 61 Esercizio 2 stima per intervalli della media

36 Infe / 61 Esercizio 2 costituiamo un campione con 16 propotipi di resistori di nuovo tipo e misuriamo i valori delle resistenze in k : { + 15,37 ; + 15,16 ; + 15,80 ; + 15,49 ; + 15,26 ; + 15,87 ; + 15,12 ; + 15,58 ; + 15,39 ; + 15,64 ; + 15,27 ; + 15,22 ; + 15,57 ; + 15,54 ; + 15,64 ; + 15,32 } Data la molteplicità delle cause indipendenti che determinano la variabilità della resistenza è plausibile ritenerla distribuita normalmente. Costruita la variabile casuale X che assume per ciascun elemento valore pari al valore in k della sua resistenza elettrica (è una trasformazione lineare quindi X conserva la distribuzione normale) si individui lintervallo di confidenza al 95% per il valore tipico della resistenza della intera popolazione supponendo che la varianza della X per lintera popolazione sia 2 = 0,0256

37 Infe / 61 Esercizio 2 risoluzione: dato che la X è distribuita normalmente si costruisce la variabile che segue una distribuzione normale standardizzata

38 Infe / 61 Esercizio 2 risoluzione (segue): dalla tabella si ottiene:

39 Infe / 61 Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 95%, il valore tipico della resistenza della intera popolazione dei resistori è compreso nellintervallo di estremi: Esercizio 2

40 Infe / 61 Esercizio 1bis stima della media

41 Infe / 61 Esercizio 1bis Sulla popolazione degli OpAmp definiamo una variabile aleatoria X che assume, per ciascun elemento della popolazione, un valore x coincidente con il valore in centesimi di V della tensione di offset dellelemento diminuito di 1800 (trasformazione lineare): A causa della molteplicità dei fattori del processo produttivo che condizionano loffset è plausibile ritenere che la X abbia distribuzione normale. Le immagini dei componenti il campione sono pertanto x 1 = -15 ; x 2 = + 14 ; x 3 = -22 ; x 4 = - 3 ; x 5 = + 14 ; x 6 = - 5 ; x 7 = + 10 ; x 8 = - 4 ; x 9 = - 3 ; x 10 = - 18 ; x 11 = - 3 ;

42 Infe / 61 Esercizio 1bis utilizziamo questi valori per individuare la stima del valore medio delloffset per la intera popolazione mediante lo stimatore media campionaria: lo stimatore media campionaria ci fornisce il valore Questo risultato ci permette di affermare che la stima fatta del valore medio della tensione di offset di ingresso per lintera popolazione di OpAmp risulta di +17,97 V

43 Infe / 61 Esercizio 1bis dobbiamo ora trovare quanto il dato è affidabile stimando quanto la casualità del campione può condizionarne il valore: dato che non conosciamo la varianza della X per la popolazione degli OpAmp costruiamo la variabile T che avrà una distribuzionet di Student:

44 Infe / 61 Esercizio 1bis il campione ha n = 11 quindi useremo la t di Student a 10 g.d.l. e, se cerchiamo un intervallo di confidenza al 90%, dovremo individuare i percentili 5% e 95% (cioè 0,05 e 0,95): in realtà ci basta individuare il 95% in quanto laltro percentile è simmetrico rispetto a zero. la tabella della t di Student ci fornisce il valore del percentile: da cui:

45 Infe / 61 Esercizio 1bis Dai valori della X del campione individuiamo quindi il valore della varianza campionaria corretta e della sua radice (deviazione standard): ricordando che vogliamo applicare la: notiamo che ora è necessario stimare la varianza della media campionaria mediante la varianza campionaria corretta

46 Infe / 61 pertanto sostituendo nella: Esercizio 1bis otteniamo: da cui:

47 Infe / 61 dalla: Esercizio 1bis è facile ottenere: da cui: che rappresenta lintervallo di confidenza al 90% per la media della variabile casuale X riferita allintera popolazione

48 Infe / 61 Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 90%, il valore tipico della tensione di offset di ingresso della intera popolazione degli OpAmp è compreso nellintervallo di estremi: Esercizio 1bis

49 Infe / 61 Esercizio 2bis stima per intervalli della media

50 Infe / 61 Esercizio 2bis costituiamo un campione con 16 propotipi di resistori di nuovo tipo e misuriamo i valori delle resistenze in k : { + 15,37 ; + 15,16 ; + 15,80 ; + 15,49 ; + 15,26 ; + 15,87 ; + 15,12 ; + 15,58 ; + 15,39 ; + 15,64 ; + 15,27 ; + 15,22 ; + 15,57 ; + 15,54 ; + 15,64 ; + 15,32 } Data la molteplicità delle cause indipendenti che determinano la variabilità della resistenza è plausibile ritenerla distribuita normalmente. Costruita la variabile casuale X che assume per ciascun elemento valore pari a… (è una trasformazione lineare quindi X conserva la distribuzione normale) si individui lintervallo di confidenza al 95% per il valore tipico della resistenza della intera popolazione supponendo che la varianza della X per lintera popolazione sia 2 = 0,0256 * ?

51 Infe / 61 Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 95%, il valore tipico della resistenza della intera popolazione dei resistori è compreso nellintervallo di estremi: Esercizio 2

52 Infe / 61 Esercizio 3 stima per intervalli della media

53 Infe / 61 Esercizio 3 Si è definita su di una popolazione di sfere da cuscinetto una variabile casuale avente, per ciascuna sfera prodotta, valore uguale al valore del diametro misurato in centimetri. Un campione casuale costituito da 200 sfere mostra un valore della media campionaria di 0,824 e della deviazione standard campionaria corretta di 0,042. Determinare lintervallo di confidenza al 99% per la media della variabile casuale relativa allintera popolazione.

54 Infe / 61 Esercizio 3 risoluzione: Dato che la varianza della X per lintera popolazione è sconosciuta si dovrebbe costruire una variabile casuale T definita: per determinare la risposta al problema mediante la

55 Infe / 61 Esercizio 3 risoluzione (segue): : dato che n = 200 la distribuzione della t di Student (con 199 gdl) è approssimabile con la distribuzione normale standardizzata:

56 Infe / 61 Esercizio 3 risoluzione (segue): E quindi possibile affermare che, con una probabilità del 99%, il valore tipico del diametro per lintera popolazione è compreso fra i valori:

57 Infe / 61 Esercizio 4 stima per intervalli della media

58 Infe / 61 Ricalcolare lintervallo di confidenza dellesercizio precedente nellipotesi che il campione sia costituito da 20 sfere. Un campione casuale costituito da 20 sfere mostra un valore della media campionaria di 0,824 e della deviazione standard campionaria corretta di 0,042. Determinare lintervallo di confidenza al 99% per la media della variabile casuale relativa allintera popolazione. Esercizio 4

59 Infe / 61 Esercizio 4 risoluzione: A causa della molteplicità dei fattori del processo produttivo che condizionano il diametro di ciascuna sfera è plausibile ritenere che la popolazione abbia distribuzione normale. E quindi possibile affermare che, con una probabilità del 99%, il valore medio del diametro per lintera popolazione è compreso fra i valori:

60 Infe / 61 Esercizio 5 stima per intervalli della media

61 Infe / 61 Che risultato si sarebbe ottenuto nellesercizio precedente usando, erroneamente, la teoria dei campioni numerosi? Un campione casuale costituito da 20 sfere mostra un valore della media campionaria di 0,824 e della deviazione standard campionaria corretta di 0,042. Determinare lintervallo di confidenza al 99% per la media della variabile casuale relativa allintera popolazione. Esercizio 5

62 Infe / 61 Esercizio 5 risoluzione: mentre abbiamo visto che il risultato corretto è:

63 Infe / 61 Tecnica delle misurazioni applicate – Esame del 27 marzo 2008 Problema 1. Microlè SpA è unimpresa che costruisce relè per la commutazione di segnali. Essa dichiara sul suo catalogo che la resistenza parassita dei contatti (chiusi) dei propri relè è garantita, tramite un controllo di qualità sul 100% della produzione, non superiore a 10,2 m. Un nuovo progetto di un modello di relè in produzione da tempo sembra poter apportare benefici, ma ling. Tizio, Responsabile della Produzione, teme che la resistenza parassita dei contatti dei nuovi relè possa avere una elevata variabilità: ciò potrebbe riflettersi in un aumento della percentuale di dispositivi fuori tolleranza che dovranno pertanto essere scartati durante il controllo di qualità del prodotto. Ling. Tizio decide di condurre una valutazione, su di una preserie campione, del valore dello scarto per fuori tolleranza che il nuovo progetto potrebbe determinare. Realizzata una preserie di 16 elementi Tizio misura con uno strumento di elevata qualità (tanto da poter ritenere trascurabile la incertezza di misura) la resistenza parassita Rp dei contati chiusi di ciascun relè ottenendo i seguenti risultati: Rp1 = 9,5 m Rp2 = 9,6 m Rp3 = 9,6 m Rp4 = 9,7 m Rp5 = 9,7 m Rp6 = 9,7 m Rp7 = 9,8 m Rp8 = 9,8 m Rp9 = 9,8 m Rp10 = 9,8 m Rp11 = 9,9 m Rp12 = 9,9 m Rp13 = 9,9 m Rp14 = 10,0 m Rp15 = 10,0 m Rp16 = 10,1 m Si chiede al candidato di determinare, sulla base dei risultati sopra riportati: 1.lintervallo di valori della Rp che corrisponde allintervallo di confidenza al 90% per la media della variabile casuale che si è adottata. 2.Il valore massimo e minimo dello scarto che può essere atteso per lintera popolazione dei relè eventualmente prodotti in base al nuovo progetto (si operi con una confidenza del 90% nella determinazione della varianza della variabile casuale che si è adottata).


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