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Lezione 6 Inferenza statistica

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Presentazione sul tema: "Lezione 6 Inferenza statistica"— Transcript della presentazione:

1 Lezione 6 Inferenza statistica

2 parte 2 Stime per punti e per intervalli della varianza

3 la varianza

4 la varianza, la tolleranza e lo scarto…
1 + 5%

5 la varianza , la tolleranza e lo scarto …

6 La varianza campionaria corretta come strumento di inferenza
Si definiscono “stimatori” quelle statistiche che vengono usate per stimare un parametro o una sua funzione. I valori ottenuti mediante gli stimatori si dicono “stime” del parametro. La varianza campionaria corretta Sn2 può essere usata come stimatore della varianza relativa all’intera popolazione

7 Varianza campionaria corretta e stima puntuale di s 2
estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X avente densità f (x) qualsiasi con media m e varianza s2 un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si può usare la varianza campionaria corretta per stimare il valore del parametro s 2 relativo all’intera popolazione. il valore ottenuto viene indicato come “stima puntuale di s 2 ”

8 Varianza campionaria corretta e stima puntuale di s 2
estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X avente densità f (x) qualsiasi con media m e varianza s2 un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si può usare la varianza campionaria corretta per stimare il valore del parametro s 2 relativo all’intera popolazione. come tutti gli strumenti di misura, anche gli stimatori sono imperfetti e la loro stima del parametro presenta un’incertezza che deve essere quantificata.

9 Incertezza dello stimatore Sn2
Ricordiamo che: “ Estraendo da una popolazione infinita per cui è definita la variabile casuale X avente distribuzione normale con media m e varianza s2 un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn }, la varianza campionaria corretta divisa per s2 fornisce una variabile casuale che segue una distribuzione “modificata di chi-quadro” con n - 1 gradi di libertà ”

10 Incertezza dello stimatore Sn2
f ( C ² ) C ²

11 Incertezza dello stimatore Sn2
Chiediamoci ora: “ Qual è la probabilità che, estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione su cui è stata definita una X con distribuzione normale, il rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza relativa all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo ? ”

12 Incertezza dello stimatore Sn2

13 Incertezza dello stimatore Sn2

14 Incertezza dello stimatore Sn2

15 Incertezza dello stimatore Sn2
partendo dall’espressione della probabilità dell’evento: si sono ottenute le due espressioni equivalenti: che giustificano la seguente affermazione:

16 Incertezza dello stimatore Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media m e varianza s 2, c’è una probabilità pari a: che il valore ottenuto della varianza campionaria corretta sia compreso nell’intervallo

17 Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn2
Per il nostro scopo, cioè per individuare l’intervallo di confidenza della varianza, conviene sviluppare l’espressione dell’evento in modo diverso: si può scrivere la forma equivalente:

18 Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn2
ricordando che:

19 Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn2
dalla: si può scrivere la forma equivalente:

20 Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn2
si è quindi ricavato che è uguale a o, in modo equivalente, è uguale a: è quindi possibile fare la seguente affermazione:

21 Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media m e varianza s2, c’è una probabilità a pari a: che l’intervallo casuale: contenga il valore della varianza s2 per l’intera popolazione. Ia è chiamato intervallo di confidenza allo a per la varianza

22 Intervallo di confidenza allo ... ?
per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica pertanto non è agevole individuare il valore di ev da cui si ottiene un intervallo simmetrico con una prestabilita confidenza esempio: gdl = C2 0,05 = 0,394 da cui: ev » 0,6 0,05 0,10 da cui a = 0,85 e non 0,90 !!!

23 Intervallo di confidenza allo 0,90
per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica: si preferisce pertanto definire un intervallo asimmetrico individuato dai due quantili C 2a / 2 e C 21- a / 2 esempio: gdl = a = 0,90 0,05 0,05

24 Intervallo di confidenza
varianza campionaria corretta: Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili C 2a/2 e C 21 - a/2 corrispondenti alla confidenza scelta? corrisponde alla:

25 Intervallo di confidenza
varianza campionaria corretta: Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili C 2a/2 e C 21 - a/2 corrispondenti alla confidenza scelta? l’intervallo cercato è:

26 Stima intervallo di confidenza con c2
varianza campionaria: avendo introdotto la distribuzione “chi-quadro” è stato possibile affermare che la variabile aleatoria c segue tale distribuzione con n - 1 g.d.l..

27 Stima intervallo di confidenza con c2
varianza campionaria: se dispongo dei valori della c2

28 Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media m e varianza s2, c’è una probabilità a pari a: che l’intervallo casuale: contenga il valore della varianza s2 per l’intera popolazione. Ia è chiamato intervallo di confidenza allo a per la varianza

29

30 Intervalli di confidenza per media campionaria standardizzata con n finito e s 2 sconosciuta
E’ possibile sostenere che: estraendo a caso un campione { X1, X2, …, Xn } con n finito da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media m e varianza s2 incognite, c’è una probabilità pari a 1 - a che l’intervallo casuale con T variabile distribuita secondo la t di Student con n -1 g.d.l. e con t1-a/2 il valore del suo quantile (1 - a/2) contenga il valore della media m della popolazione. I1-a è l’intervallo di confidenza allo 1 - a per la media m

31 parte 4 esercizi su: stime per intervalli della varianza

32 Riassunto stimatori campionari
varianza campionaria corretta: se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile casuale X avente distribuzione normale un campione di n elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) , allora la variabile casuale c 2 : segue una distribuzione di tipo “chi-quadro” con n -1 gdl.

33 La variabile c2 f ( c² )

34 Riassunto stimatori campionari
varianza campionaria corretta: se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile casuale X avente distribuzione normale un campione di n elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) , allora la variabile casuale C 2 : segue una distribuzione di tipo “modificata di chi-quadro” con n -1 gradi di libertà.

35 La variabile C2 f ( C ² ) C ²

36 Riassunto stimatori campionari
varianza campionaria corretta: Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza campionaria corretta Sn2 e della varianza s2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - ev , 1 + ev ] ? se la X ha distribuzione normale la probabilità cercata corrisponde alla :

37 Riassunto stimatori campionari
varianza campionaria corretta: Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza campionaria corretta Sn2 e della varianza s2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - ev , 1 + ev ] ?

38 Riassunto stimatori campionari
varianza campionaria corretta: Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza campionaria corretta Sn2 e della varianza s2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - ev , 1 + ev ] ? corrisponde alla area della regione campita in verde:

39 Riassunto stimatori campionari
varianza campionaria corretta: Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza s2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo la risposta è semplice:

40 Riassunto stimatori campionari
varianza campionaria corretta: Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza s2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo la risposta è semplice:

41 Riassunto stimatori campionari
varianza campionaria corretta: Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza s2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo con le nostre tavole:

42 Riassunto stimatori campionari
varianza campionaria corretta: Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza s2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo con le nostre tavole:

43 Intervallo di confidenza allo ... ?
per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica pertanto non è agevole individuare il valore di ev da cui si ottiene un intervallo simmetrico con una prestabilita confidenza esempio: gdl = C2 0,05 = 0,394 da cui: ev » 0,6 0,05 0,10 da cui a = 0,85 e non 0,90 !!!

44 Intervallo di confidenza allo 0,90
per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica: si preferisce pertanto definire un intervallo asimmetrico individuato dai due quantili C 2a / 2 e C 21- a / 2 esempio: gdl = a = 0,90 0,05 0,05

45 Intervallo di confidenza
varianza campionaria corretta: Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili C 2a/2 e C 21 - a/2 corrispondenti alla confidenza scelta? corrisponde alla:

46 Intervallo di confidenza
varianza campionaria corretta: Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili C 2a/2 e C 21 - a/2 corrispondenti alla confidenza scelta? l’intervallo cercato è:

47 Stima intervallo di confidenza con c2
varianza campionaria: avendo introdotto la distribuzione “chi-quadro” è stato possibile affermare che la variabile aleatoria c segue tale distribuzione con n - 1 g.d.l..

48 Stima intervallo di confidenza con c2
varianza campionaria: se dispongo dei valori della c2

49 Esercizio 6 Da questi valori si individuano gli estremi dell'intervallo di confidenza cercato mediante la: Sostituendo nella espressione i valori della varianza campionaria corretta, dei quantili della C 2 e dei gradi di libertà si ottiene infine:


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