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Infe 02 - 1 / 28 Lezione 6 Inferenza statistica. Infe 02 - 2 / 28 parte 2 Stime per punti e per intervalli della varianza.

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Presentazione sul tema: "Infe 02 - 1 / 28 Lezione 6 Inferenza statistica. Infe 02 - 2 / 28 parte 2 Stime per punti e per intervalli della varianza."— Transcript della presentazione:

1 Infe / 28 Lezione 6 Inferenza statistica

2 Infe / 28 parte 2 Stime per punti e per intervalli della varianza

3 Infe / 28 la varianza

4 Infe / 28 la varianza, la tolleranza e lo scarto… %

5 Infe / 28 la varianza, la tolleranza e lo scarto …

6 Infe / 28 La varianza campionaria corretta come strumento di inferenza Si definiscono stimatori quelle statistiche che vengono usate per stimare un parametro o una sua funzione. –I valori ottenuti mediante gli stimatori si dicono stime del parametro. La varianza campionaria corretta S n 2 può essere usata come stimatore della varianza relativa allintera popolazione

7 Infe / 28 estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X avente densità f ( x ) qualsiasi con media e varianza 2 un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n } si può usare la varianza campionaria corretta per stimare il valore del parametro 2 relativo allintera popolazione. Varianza campionaria corretta e stima puntuale di 2 il valore ottenuto viene indicato come stima puntuale di 2

8 Infe / 28 Varianza campionaria corretta e stima puntuale di 2 come tutti gli strumenti di misura, anche gli stimatori sono imperfetti e la loro stima del parametro presenta unincertezza che deve essere quantificata. estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X avente densità f ( x ) qualsiasi con media e varianza 2 un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n } si può usare la varianza campionaria corretta per stimare il valore del parametro 2 relativo allintera popolazione.

9 Infe / 28 Ricordiamo che: Estraendo da una popolazione infinita per cui è definita la variabile casuale X avente distribuzione normale con media e varianza 2 un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n }, la varianza campionaria corretta divisa per 2 fornisce una variabile casuale che segue una distribuzione modificata di chi-quadro con n - 1 gradi di libertà Incertezza dello stimatore S n 2

10 Infe / 28 Incertezza dello stimatore S n 2 f ( C ² ) C ²C ²

11 Infe / 28 Chiediamoci ora: Qual è la probabilità che, estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione su cui è stata definita una X con distribuzione normale, il rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza relativa allintera popolazione sia compreso nellintervallo ? Incertezza dello stimatore S n 2

12 Infe / 28 Incertezza dello stimatore S n 2

13 Infe / 28 Incertezza dello stimatore S n 2

14 Infe / 28 Incertezza dello stimatore S n 2

15 Infe / 28 Incertezza dello stimatore S n 2 partendo dallespressione della probabilità dellevento: si sono ottenute le due espressioni equivalenti: che giustificano la seguente affermazione:

16 Infe / 28 Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2, cè una probabilità pari a: che il valore ottenuto della varianza campionaria corretta sia compreso nellintervallo Incertezza dello stimatore S n 2

17 Infe / 28 Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta S n 2 Per il nostro scopo, cioè per individuare lintervallo di confidenza della varianza, conviene sviluppare lespressione dellevento in modo diverso: si può scrivere la forma equivalente:

18 Infe / 28 Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta S n 2 ricordando che:

19 Infe / 28 Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta S n 2 si può scrivere la forma equivalente: dalla:

20 Infe / 28 si è quindi ricavato che è uguale a o, in modo equivalente, è uguale a: è quindi possibile fare la seguente affermazione: Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta S n 2

21 Infe / 28 Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta S n 2 Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2, cè una probabilità pari a: che lintervallo casuale: contenga il valore della varianza 2 per lintera popolazione. I è chiamato intervallo di confidenza allo per la varianza

22 Infe / 28 Intervallo di confidenza allo... ? per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica pertanto non è agevole individuare il valore di v da cui si ottiene un intervallo simmetrico con una prestabilita confidenza 0,10 0,05 da cui = 0,85 e non 0,90 !!! –esempio: gdl = 10 C 2 0,05 = 0,394 da cui: v 0,6

23 Infe / 28 Intervallo di confidenza allo 0,90 per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica: si preferisce pertanto definire un intervallo asimmetrico individuato dai due quantili C 2 / 2 e C 2 1- / 2 –esempio: gdl = 10 = 0,90 0,05

24 Infe / 28 Intervallo di confidenza Qual è lintervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili C 2 /2 e C /2 corrispondenti alla confidenza scelta? corrisponde alla: varianza campionaria corretta:

25 Infe / 28 Intervallo di confidenza Qual è lintervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili C 2 /2 e C /2 corrispondenti alla confidenza scelta? lintervallo cercato è: varianza campionaria corretta:

26 Infe / 28 Stima intervallo di confidenza con 2 varianza campionaria: avendo introdotto la distribuzione chi-quadro è stato possibile affermare che la variabile aleatoria 2 segue tale distribuzione con n - 1 g.d.l..

27 Infe / 28 Stima intervallo di confidenza con 2 varianza campionaria: se dispongo dei valori della 2

28 Infe / 28 Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta S n 2 Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2, cè una probabilità pari a: che lintervallo casuale: contenga il valore della varianza 2 per lintera popolazione. I è chiamato intervallo di confidenza allo per la varianza

29 Infe / 28

30 Infe / 28 E possibile sostenere che: estraendo a caso un campione { X 1, X 2, …, X n } con n finito da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2 incognite, cè una probabilità pari a 1 - che lintervallo casuale con T variabile distribuita secondo la t di Student con n -1 g.d.l. e con t 1- / 2 il valore del suo quantile ( 1 - /2) contenga il valore della media della popolazione. I 1- è lintervallo di confidenza allo 1 - per la media Intervalli di confidenza per media campionaria standardizzata con n finito e 2 sconosciuta

31 Infe / 28 parte 4 esercizi su: stime per intervalli della varianza

32 Infe / 28 Riassunto stimatori campionari varianza campionaria corretta: se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile casuale X avente distribuzione normale un campione di n elementi con immagini { X 1, X 2, …, X n } (con n > 1), allora la variabile casuale 2 : segue una distribuzione di tipo chi-quadro con n -1 gdl.

33 Infe / 28 f ( ² ) ² La variabile 2

34 Infe / 28 Riassunto stimatori campionari varianza campionaria corretta: se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile casuale X avente distribuzione normale un campione di n elementi con immagini { X 1, X 2, …, X n } (con n > 1), allora la variabile casuale C 2 : segue una distribuzione di tipo modificata di chi-quadro con n -1 gradi di libertà.

35 Infe / 28 La variabile C 2 f ( C ² ) C ²C ²

36 Infe / 28 se la X ha distribuzione normale la probabilità cercata corrisponde alla : Riassunto stimatori campionari Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza campionaria corretta S n 2 e della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo [ 1 - v, 1 + v ] ? varianza campionaria corretta:

37 Infe / 28 Riassunto stimatori campionari varianza campionaria corretta: Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza campionaria corretta S n 2 e della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo [ 1 - v, 1 + v ] ?

38 Infe / 28 Riassunto stimatori campionari Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza campionaria corretta S n 2 e della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo [ 1 - v, 1 + v ] ? varianza campionaria corretta: corrisponde alla area della regione campita in verde:

39 Infe / 28 Riassunto stimatori campionari Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo varianza campionaria corretta: la risposta è semplice:

40 Infe / 28 Riassunto stimatori campionari Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo varianza campionaria corretta: la risposta è semplice:

41 Infe / 28 Riassunto stimatori campionari Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo varianza campionaria corretta: con le nostre tavole:

42 Infe / 28 Riassunto stimatori campionari Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo varianza campionaria corretta: con le nostre tavole:

43 Infe / 28 Intervallo di confidenza allo... ? per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica pertanto non è agevole individuare il valore di v da cui si ottiene un intervallo simmetrico con una prestabilita confidenza 0,10 0,05 da cui = 0,85 e non 0,90 !!! –esempio: gdl = 10 C 2 0,05 = 0,394 da cui: v 0,6

44 Infe / 28 Intervallo di confidenza allo 0,90 per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica: si preferisce pertanto definire un intervallo asimmetrico individuato dai due quantili C 2 / 2 e C 2 1- / 2 –esempio: gdl = 10 = 0,90 0,05

45 Infe / 28 Intervallo di confidenza Qual è lintervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili C 2 /2 e C /2 corrispondenti alla confidenza scelta? corrisponde alla: varianza campionaria corretta:

46 Infe / 28 Intervallo di confidenza Qual è lintervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili C 2 /2 e C /2 corrispondenti alla confidenza scelta? lintervallo cercato è: varianza campionaria corretta:

47 Infe / 28 Stima intervallo di confidenza con 2 varianza campionaria: avendo introdotto la distribuzione chi-quadro è stato possibile affermare che la variabile aleatoria 2 segue tale distribuzione con n - 1 g.d.l..

48 Infe / 28 Stima intervallo di confidenza con 2 varianza campionaria: se dispongo dei valori della 2

49 Infe / 28 Esercizio 6 Da questi valori si individuano gli estremi dell'intervallo di confidenza cercato mediante la: Sostituendo nella espressione i valori della varianza campionaria corretta, dei quantili della C 2 e dei gradi di libertà si ottiene infine:


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