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Stat 02 - 1 / 40 Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori.

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Presentazione sul tema: "Stat 02 - 1 / 40 Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori."— Transcript della presentazione:

1 Stat / 40 Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori

2 Stat / 40 Nella parte 1... gli stimatori campionari V = v ( X 1, X 2, …, X n ) correttezza: consistenza: efficienza: le strategie di campionamento: - sistematico, - stratificato, - per quote, - a grappolo

3 Stat / 40 parte 2 gli stimatori: - media campionaria

4 Stat / 40 Richiami: statistiche e stimatori Si definisce statistica g ( X 1, X 2, X 3, …, X n ) una funzione di variabili casuali che non contiene parametri. –Una statistica è a sua volta una variabile casuale. Si definiscono stimatori quelle statistiche che vengono usate per stimare un parametro o una sua funzione. –I valori ottenuti mediante gli stimatori si diconostime del parametro.

5 Stat / 40 Principali statistiche: momento campionario di ordine 1 Fra i momenti campionari riveste particolare interesse quello di ordine 1 ( p = 1 ). E chiamato media campionaria e coincide con la media della X per il campione: per questo motivo lo indicheremo con per richiamare il suo significato.

6 Stat / 40 Proprietà della media campionaria teorema 5.1: estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X diversi campioni di n elementi a ciascuno dei quali corrisponde un insieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n } posto: si ha: qualunque sia landamento della f ( x ) e qualunque sia la distribuzione della media campionaria

7 Stat / 40 Teorema limite centrale teorema 5.2: Siano X 1, X 2, …, X n variabili casuali indipendenti con la medesima distribuzione con media e varianza 2 finite. Detta S n = X 1 + X 2 + … + X n la variabile casuale costituita dalla loro somma, allora la corrispondente variabile standardizzata è asintoticamente normale dato che:

8 Stat / 40 Variabile standardizzata da una variabile casuale X con media e varianza 2 finita si ricava la corrispondente variabile standardizzata X standardizzata –sottraendo ad X la sua media –dividendo la differenza X - per il valore della deviazione standard ( radice quadrata positiva della varianza )

9 Stat / 40 Teorema limite centrale teorema 5.2: Siano X 1, X 2, …, X n variabili casuali indipendenti con la medesima distribuzione con media e varianza 2 finite. Detta S n = X 1 + X 2 + … + X n la variabile casuale costituita dalla loro somma, allora la corrispondente variabile standardizzata è asintoticamente normale dato che:

10 Stat / 40 Proprietà della media campionaria Se dividiamo sia il numeratore sia il denominatore della per n otteniamo: ricordando poi che: S n = X 1 + X 2 + … + X n otteniamo:

11 Stat / 40 Proprietà della media campionaria S n = X 1 + X 2 + … + X n Con cui si può affermare che è asintoticamente normale.

12 Stat / 40 Proprietà della media campionaria se X 1, X 2, …, X n anziché variabili casuali indipendenti definite per popolazioni diverse, ancorché con la medesima distribuzione e con media e varianza 2 finite, sono variabili casuali indipendenti definite per la stessa popolazione (con media e varianza 2 finita) che corrispondono ad un campione di n elementi allora possiamo scrivere anche:

13 Stat / 40 Proprietà della media campionaria questo ci permette di affermare che anche la variabile (standardizzata) è asintoticamente normale dato che è possibile scrivere:

14 Stat / 40 Proprietà della media campionaria Variabile standardizzata: si era scritto che: da una variabile casuale X con media e varianza 2 finita si ricava la corrispondente variabile standardizzata X standardizzata –sottraendo ad X la media –dividendo la differenza X - per il valore della deviazione standard, ( radice quadrata positiva della varianza )

15 Stat / 40 Proprietà della media campionaria dato che la variabile standardizzata è asintoticamente normale si può affermare che, per n che tende allinfinito, la variabile casuale ha distribuzione normale,

16 Stat / 40 Distribuzione della media campionaria teorema 5.3: Sia data una popolazione infinita per cui è stata definita la variabile casuale X avente densità f ( x ), media finita e varianza 2 finita. Detta: la media della X per un campione casuale di dimensione n estratto da essa, allora, al tendere di n ad infinito, la media campionaria - segue una distribuzione normale - con media e varianza 2 / n.

17 Stat / 40 considerazioni Il teorema 5.3 non fa alcuna considerazione sulla distribuzione della X, ma richiede solamente che media e varianza 2 siano finite. La possibilità di costruire un campione di dimensione n che tende allinfinito è ovviamente solo teorica, ma lenunciato del teorema deve essere inteso nel senso che: –quanto più il campione è numeroso, –tanto meglio la distribuzione della media campionaria approssima una distribuzione normale con media e varianza 2 / n.

18 Stat / 40 Distribuzione della media campionaria

19 Stat / 40 Proprietà della media campionaria conseguenze 1) e 2) del teorema 5.3 enunciato: 1)la distribuzione della media campionaria ha media coincidente con la media della X relativa alla popolazione da cui proviene il campione pertanto la media campionaria è uno stimatore corretto della media della X per lintera popolazione.

20 Stat / 40 Proprietà della media campionaria conseguenze 1) e 2) del teorema 5.3 enunciato: 2)nel caso di popolazioni infinite o di campionamento con ripetizione la distribuzione della media campionaria ha una varianza che, risultando inversamente proporzionale al numero degli elementi che costituiscono il campione, tende a 0 per n che tende allinfinito pertanto la media campionaria è uno stimatore consistente della media della X per lintera popolazione.

21 Stat / 40 Proprietà della media campionaria corollario: la distribuzione della media campionaria presenta una dispersione attorno al proprio valore medio che, espressa in termini di deviazione standard, risulta inversamente proporzionale alla radice quadrata del numero degli elementi che costituiscono il campione. Possiamo anche notare che ad un aumento di quattro volte della dimensione del campione corrisponde solamente un dimezzamento della deviazione standard della nuova distribuzione della media campionaria.

22 Stat / 40 Proprietà della media campionaria teorema 5.4: dato un campione di n elementi prelevato senza ripetizione da una popolazione composta da N elementi per cui è definita la variabile casuale X, posto: si ha:

23 Stat / 40 Distribuzione della media campionaria Avevamo affermato che: estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X diversi campioni di n elementi a ciascuno dei quali corrisponde un insieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n } posto: al tendere di n ad infinito si ha: qualunque sia landamento della f ( x ) e qualunque sia la distribuzione della media campionaria. Ma qual è la distribuzione della media campionaria ?

24 Stat / 40 Distribuzione della media campionaria … allora, al tendere di n ad infinito, la media campionaria segue una distribuzione normale con media e varianza 2 / n … : distribuzione normale

25 Stat / 40 gli stimatori: - varianza campionaria

26 Stat / 40 Principali statistiche: momento campionario rispetto a. Il momento campionario di ordine 2 rispetto a definisce la varianza campionaria S 2, il cui valore coincide con la varianza della X nel campione: definizione 5.3: estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n } si chiama momento campionario di ordine p rispetto a la statistica:

27 Stat / 40 Varianza campionaria S 2 La varianza campionaria S 2 può essere usata come stimatore della varianza 2 della X relativa allintera popolazione? ? correttezza degli stimatori campionari consistenza degli stimatori campionari

28 Stat / 40 La dimostrazione di tale affermazione ci consentirà di individuare uno stimatore campionario corretto della varianza 2. Varianza campionaria S 2 E possibile dimostrare che pertanto la varianza campionaria S 2 non è uno stimatore corretto della varianza della X relativa allintera popolazione!!!

29 Stat / 40 Varianza campionaria S 2 dimostrazione: se scriviamo: allora:

30 Stat / 40 da cui si ricava, passando alle sommatorie: Varianza campionaria S 2

31 Stat / 40 Varianza campionaria S 2 da cui: notiamo che:

32 Stat / 40 Varianza campionaria S 2 notiamo poi che: da cui:

33 Stat / 40 Dividendo ambo i membri per n si può scrivere: Varianza campionaria S 2 e, passando ai valori medi in ambo i membri:

34 Stat / 40 Varianza campionaria S 2 la variabile casuale X ha media e varianza 2 pertanto, per n che tende allinfinito, si può scrivere: da cui:

35 Stat / 40 Varianza campionaria S 2 per n che tende allinfinito, la variabile casuale media campionaria ha distribuzione normale, pertanto:

36 Stat / 40 Varianza campionaria S 2 raccogliendo al secondo membro, si ottiene: da cui si conclude che:

37 Stat / 40 Varianza campionaria S 2 E stato possibile dimostrare che pertanto la varianza campionaria S 2 non è uno stimatore corretto della varianza 2 !!! Come stimatore della varianza 2 si può usare la varianza campionaria corretta S n 2 che, come ora è facile mostrare, è uno stimatore corretto.

38 Stat / 40 Nel caso della varianza campionaria S 2 si era concluso che: Varianza campionaria corretta S n 2 è sufficiente moltiplicare ambo i membri per n / ( n - 1 ) per ottenere: da cui:

39 Stat / 40 La prossima volta… Lo stimatore varianza campionaria corretta e la sua distribuzione


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