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Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori

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Presentazione sul tema: "Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori"— Transcript della presentazione:

1 Lezione 5 Strumenti statistici: campioni e stimatori

2 Nella parte 1 ... V = v ( X1, X2, …, Xn )
le strategie di campionamento: - sistematico, - stratificato, - per quote, - a grappolo Nella parte 1 ... gli stimatori campionari V = v ( X1, X2, …, Xn ) correttezza: consistenza: efficienza:

3 parte 2 gli stimatori: - “media campionaria”

4 Richiami: statistiche e stimatori
Si definisce “statistica” g ( X1, X2, X3, …, Xn ) una funzione di variabili casuali che non contiene parametri. Una statistica è a sua volta una variabile casuale. Si definiscono “stimatori” quelle statistiche che vengono usate per stimare un parametro o una sua funzione. I valori ottenuti mediante gli stimatori si dicono “stime” del parametro.

5 Principali statistiche: momento campionario di ordine 1
Fra i momenti campionari riveste particolare interesse quello di ordine 1 ( p = 1 ). E’ chiamato “media campionaria” e coincide con la media della X per il campione: per questo motivo lo indicheremo con per richiamare il suo significato.

6 Proprietà della media campionaria
teorema 5.1: estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X diversi campioni di n elementi a ciascuno dei quali corrisponde un insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } posto: si ha: qualunque sia l’andamento della f (x) e qualunque sia la distribuzione della media campionaria

7 Teorema limite centrale
Siano X1, X2, …, Xn variabili casuali indipendenti con la medesima distribuzione con media m e varianza s 2 finite. Detta Sn = X1 + X2 + … + Xn la variabile casuale costituita dalla loro somma, allora la corrispondente variabile standardizzata è asintoticamente normale dato che:

8 Variabile standardizzata
da una variabile casuale X con media m e varianza s 2 finita si ricava la corrispondente variabile standardizzata Xstandardizzata sottraendo ad X la sua media m dividendo la differenza X - m per il valore della “deviazione standard” s ( radice quadrata positiva della varianza )

9 Teorema limite centrale
Siano X1, X2, …, Xn variabili casuali indipendenti con la medesima distribuzione con media m e varianza s 2 finite. Detta Sn = X1 + X2 + … + Xn la variabile casuale costituita dalla loro somma, allora la corrispondente variabile standardizzata è asintoticamente normale dato che:

10 Proprietà della media campionaria
Se dividiamo sia il numeratore sia il denominatore della per n otteniamo: ricordando poi che: Sn = X1 + X2 + … + Xn otteniamo:

11 Proprietà della media campionaria
Sn = X1 + X2 + … + Xn Con cui si può affermare che è asintoticamente normale.

12 Proprietà della media campionaria
se X1, X2, …, Xn anziché variabili casuali indipendenti definite per popolazioni diverse, ancorché con la medesima distribuzione e con media m e varianza s 2 finite, sono variabili casuali indipendenti definite per la stessa popolazione (con media m e varianza s 2 finita) che corrispondono ad un campione di n elementi allora possiamo scrivere anche:

13 Proprietà della media campionaria
questo ci permette di affermare che anche la variabile (standardizzata) è asintoticamente normale dato che è possibile scrivere:

14 Proprietà della media campionaria
Variabile standardizzata: si era scritto che: da una variabile casuale X con media m e varianza s 2 finita si ricava la corrispondente variabile standardizzata Xstandardizzata sottraendo ad X la media m dividendo la differenza X - m per il valore della “deviazione standard” s, ( radice quadrata positiva della varianza )

15 Proprietà della media campionaria
dato che la variabile standardizzata è asintoticamente normale si può affermare che, per n che tende all’infinito, la variabile casuale ha distribuzione normale,

16 Distribuzione della media campionaria
teorema 5.3: Sia data una popolazione infinita per cui è stata definita la variabile casuale X avente densità f (x) , media m finita e varianza s 2 finita. Detta: la media della X per un campione casuale di dimensione n estratto da essa, allora, al tendere di n ad infinito, la media campionaria - segue una distribuzione normale - con media m e varianza s 2 / n .

17 considerazioni Il teorema 5.3 non fa alcuna considerazione sulla distribuzione della X, ma richiede solamente che media m e varianza s 2 siano finite. La possibilità di costruire un campione di dimensione n che tende all’infinito è ovviamente solo teorica, ma l’enunciato del teorema deve essere inteso nel senso che: quanto più il campione è numeroso, tanto meglio la distribuzione della media campionaria approssima una distribuzione normale con media m e varianza s 2 / n.

18 Distribuzione della media campionaria

19 Proprietà della media campionaria
conseguenze 1) e 2) del teorema 5.3 enunciato: 1) la distribuzione della media campionaria ha media coincidente con la media della X relativa alla popolazione da cui proviene il campione pertanto la media campionaria è uno stimatore corretto della media m della X per l’intera popolazione.

20 Proprietà della media campionaria
conseguenze 1) e 2) del teorema 5.3 enunciato: 2) nel caso di popolazioni infinite o di campionamento con ripetizione la distribuzione della media campionaria ha una varianza che, risultando inversamente proporzionale al numero degli elementi che costituiscono il campione, tende a 0 per n che tende all’infinito pertanto la media campionaria è uno stimatore consistente della media m della X per l’intera popolazione.

21 Proprietà della media campionaria
corollario: la distribuzione della media campionaria presenta una dispersione attorno al proprio valore medio che, espressa in termini di “deviazione standard s”, risulta inversamente proporzionale alla radice quadrata del numero degli elementi che costituiscono il campione. Possiamo anche notare che ad un aumento di quattro volte della dimensione del campione corrisponde solamente un dimezzamento della deviazione standard della nuova distribuzione della media campionaria.

22 Proprietà della media campionaria
teorema 5.4: dato un campione di n elementi prelevato senza ripetizione da una popolazione composta da N elementi per cui è definita la variabile casuale X, posto: si ha:

23 Distribuzione della media campionaria
Avevamo affermato che: estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X diversi campioni di n elementi a ciascuno dei quali corrisponde un insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } posto: al tendere di n ad infinito si ha: qualunque sia l’andamento della f (x) e qualunque sia la distribuzione della media campionaria Ma qual è la distribuzione della media campionaria ?

24 Distribuzione della media campionaria
distribuzione normale “… allora, al tendere di n ad infinito, la media campionaria segue una distribuzione normale con media m e varianza s 2 / n …” :

25 gli stimatori: - “varianza campionaria”

26 Principali statistiche: momento campionario rispetto a .
Il momento campionario di ordine 2 rispetto a definisce la varianza campionaria S 2, il cui valore coincide con la varianza della X nel campione: definizione 5.3: estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si chiama “momento campionario di ordine p rispetto a ” la statistica:

27 Varianza campionaria S 2
La varianza campionaria S 2 può essere usata come stimatore della varianza s2 della X relativa all’intera popolazione? ? correttezza degli stimatori campionari consistenza degli stimatori campionari

28 Varianza campionaria S 2
E’ possibile dimostrare che pertanto la varianza campionaria S 2 non è uno stimatore corretto della varianza della X relativa all’intera popolazione!!! La dimostrazione di tale affermazione ci consentirà di individuare uno stimatore campionario corretto della varianza s 2.

29 Varianza campionaria S 2
dimostrazione: se scriviamo: allora:

30 Varianza campionaria S 2
da cui si ricava, passando alle sommatorie:

31 Varianza campionaria S 2
notiamo che: da cui:

32 Varianza campionaria S 2
notiamo poi che: da cui:

33 Varianza campionaria S 2
Dividendo ambo i membri per n si può scrivere: e, passando ai valori medi in ambo i membri:

34 Varianza campionaria S 2
la variabile casuale X ha media m e varianza s2 pertanto, per n che tende all’infinito, si può scrivere: da cui:

35 Varianza campionaria S 2
per n che tende all’infinito, la variabile casuale media campionaria ha distribuzione normale, pertanto:

36 Varianza campionaria S 2
raccogliendo al secondo membro, si ottiene: da cui si conclude che:

37 Varianza campionaria S 2
E’ stato possibile dimostrare che pertanto la varianza campionaria S 2 non è uno stimatore corretto della varianza s2 !!! Come stimatore della varianza s2 si può usare la “varianza campionaria corretta” Sn2 che, come ora è facile mostrare, è uno stimatore corretto.

38 Varianza campionaria corretta Sn 2
Nel caso della varianza campionaria S 2 si era concluso che: è sufficiente moltiplicare ambo i membri per n / ( n -1 ) per ottenere: da cui:

39 La prossima volta… Lo stimatore “varianza campionaria corretta” e la sua distribuzione


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