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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata.

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Presentazione sul tema: "UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata."— Transcript della presentazione:

1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A TRASFORMATA DI LAPLACE Operatore lineare che permette di passare dal problema differenziale a quello algebrico tramite la trasformazione delle equazioni dal dominio reale del tempo t al dominio complesso delle frequenze s.

2 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A TRASFORMATA DI LAPLACE Se f(t) è una funzione a valore unico per t>0 ed F(σ) è assolutamente convergente per un qualsiasi valore σ 0 >0, allora: esiste la trasformata di f(t) per ogni s con parte reale maggiore di σ 0.

3 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A TRASFORMATA INVERSA Definita per tornare nel dominio del tempo (per t>0) dopo aver risolto algebricamente le equazioni differenziali. dove e e c>σ 0.

4 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A PROPRIETA DELLA TRASFORMATA La trasformata di Laplace è lineare La trasformata inversa di Laplace è lineare La trasformata della derivata di f(t) è: La trasformata dellintegrale è:

5 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A PROPRIETA DELLA TRASFORMATA Teorema del Valore iniziale Teorema del Valore finale Scaling nel tempo Scaling nel tempo per la trasformata inversa:

6 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A PROPRIETA DELLA TRASFORMATA Delay nel tempo Traslazione complessa Trasformata del prodotto di due funzioni (integrale complesso di convoluzione) Trasformata inversa del prodotto di due trasformate (integrale di convoluzione)

7 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A CALCOLO ANALITICO DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DI UN SERVO-ATTUATORE IDRAULICO Ipotesi: Il distributore è simmetrico Lasta del distributore è ideale con movimento perfettamente lineare. Le tolleranze radiali ed i trafilamenti sono nulli La pressione del circuito di ritorno è nulla Le aree di passaggio sono proporzionali allapertura x del distributore

8 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A CALCOLO ANALITICO DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DI UN SERVO-ATTUATORE IDRAULICO Ipotesi: Il pistone inizialmente si trova a metà del cilindro La forza di carico F L è linearmente proporzionale allo spostamento del pistone e la pressione di carico P L è definita come segue:

9 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ESPRESSIONE DELLE PORTATE

10 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ESPRESSIONE LINEARIZZATA DELLA PORTATA IN PROSSIMITA DI UN PUNTO DI FUNZIONAMENTO A REGIME STAZIONARIO

11 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A EQUAZIONE DI CONTINUITA Per spostamenti piccoli il volume spazzato è trascurabile per cui avremo e sottraendo membro a membro: volume olio nel cilindro

12 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A EQUAZIONE DI MOTO DEL PISTONE dove è il carico supposto linearmente proporzionale allo spostamento ed f v è un coefficiente con il quale si tiene conto dellattrito. Andando ad implementare un modello matematico lineare in prossimità di una condizione di funzionamento in regime stazionario è possibile scrivere:

13 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A EQUAZIONI DEL SISTEMA 1. equazione di moto2. portata 3. equazione di continuità4. retroazione

14 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A Dallequazione nr. 1 si ha: E quindi la nr. 2 diventa: Utilizzando la nr. 4:

15 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A Sostituendo le espressioni ottenute di Q e P L nella nr. 3 si ha:

16 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A

17 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A Nel nostro caso specifico f(0)=0 per cui:

18 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A Andando ad eseguire la trasformata di Laplace: FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

19 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ATTUATORI CONTROLLATI DIRETTAMENTE DA VALVOLE

20 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ATTUATORI CONTROLLATI DIRETTAMENTE DA VALVOLE Ipotesi: Il distributore è simmetrico Lasta del distributore è ideale con movimento perfettamente lineare. Le tolleranze radiali ed i trafilamenti sono nulli La pressione del circuito di ritorno è nulla Le aree di passaggio sono proporzionali allapertura x del distributore

21 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ANALISI DELLE PORTATE La portata di carico è:

22 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ANALISI ADIMENSIONALE

23 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ANALISI DELLA POTENZA Calcolo della potenza massima:

24 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata B A.A ANALISI ADIMENSIONALE


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