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Reti Logiche Corso di Architetture degli Elaboratori Reti Logiche.

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Presentazione sul tema: "Reti Logiche Corso di Architetture degli Elaboratori Reti Logiche."— Transcript della presentazione:

1 Reti Logiche Corso di Architetture degli Elaboratori Reti Logiche

2 RETI LOGICHE2 Struttura del corso Introduzione alle reti logiche Implementazione di porte logiche Sintesi di reti combinatorie Reti sequenziali Sintesi di reti sequenziali Struttura del corso

3 RETI LOGICHE3 Algebra booleana Insieme S = {a,b,c,…} Operatori binari + e · è unalgebra booleana se valgono le proprietà: a,b S: a+b S, ab S chiusura 0,1 S: a S a+0=a, a·1=a elementi neutri a+b=b+a, ab=ba commutatività (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) associatività a+bc=(a+b)(a+c), a(b+c)=(ab)+(ac) distributività a S ¬ a) S a+(¬a)=1, a(¬a)=0 inverso n>0: |S|=2 n dimensione Algebra booleana

4 RETI LOGICHE4 Proprietà derivate di unalgebra booleana Gli elementi 0,1 sono unici a+a =a, a · a = a idempotenza a+1=1, a · 0 = 0 a+ab = a, a(a+b)=a assorbimento a+(¬a)b = a+b, a((¬a)+b)=ab Per ogni a S, lelemento ¬a è unico ¬(a+b) = (¬a)(¬b), ¬(ab) = (¬a)+(¬b) De Morgan ¬(¬a) = a involuzione Proprietà derivate di unalgebra booleana

5 RETI LOGICHE5 Esempio di algebra booleana 1 Dato un insieme I, indichiamo con P (I) linsieme di tutti i sottoinsiemi di I (insieme potenza), allora è unalgebra booleana, con: S = P (I) + = · = ¬a = I/a 0 = 1 = I Esempio di algebra booleana

6 RETI LOGICHE6 Infatti: S 1, S 2 I, S 1 S 2 I, S 1 S 2 I S 1 I, S 1 =S 1, S 1 I =S 1 S 1 S 2 = S 2 S 1 (S 1 S 2 ) S 3 = S 1 (S 2 S 3 ) S 1 (S 2 S 3 )=(S 1 S 2 ) (S 1 S 3 ) S 1 (I/S 1 )=I, S 1 (I/S 1 )= | P (I)|=2 |I| Esempio di algebra booleana 2

7 RETI LOGICHE7 Variabili e funzioni di commutazione 1 Una variabile di commutazione (o booleana) x è una variabile che assume valori nel dominio {0,1} (o {T,F}). Una funzione di commutazione (o funzione booleana) f : {0,1} n {0,1} su n variabili di commutazione è una qualunque corrispondenza (mapping) y = f (x 1, x 2,…, x n ) da {0,1} n a {0,1}. Una funzione di commutazione n-aria è definita su un dominio di 2 n valori diversi, detti anche assegnamenti di verità. Variabili e funzioni di commutazione

8 RETI LOGICHE8 Una funzione di commutazione 3-aria y = f (x 1, x 2, x 3 ) è definita sullinsieme di 2 3 =8 assegnamenti di verità: x 1 =0, x 2 =0, x 3 =0x 1 =0, x 2 =0, x 3 =1 x 1 =0, x 2 =1, x 3 =0x 1 =0, x 2 =1, x 3 =1 x 1 =1, x 2 =0, x 3 =0x 1 =1, x 2 =0, x 3 =1 x 1 =1, x 2 =1, x 3 =0x 1 =1, x 2 =1, x 3 =1 o, più sinteticamente, sui valori 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, ed associa ad ognuno di essi un valore 0 o 1 Esempio: Variabili e funzioni di commutazione 2

9 RETI LOGICHE9 Tabelle di verità 1 Una funzione di commutazione può essere rappresentata utilizzando una tabella di verità. 2 n assegnazioni di verità n variabilifunzione Tabelle di verità

10 RETI LOGICHE10 Esempio di funzione di commutazione 3-aria x3x3 x2x2 x1x1 y Nota: esistono 2 2 n diverse funzioni di commutazione n-arie Possiamo definire una particolare funzione di commutazione 3-aria utilizzando una matrice 8x4. Tabelle di verità 2

11 RETI LOGICHE11 Funzioni di commutazione elementari 1 Funzioni 1-arie xy1y1 y2y2 y3y3 y4y y 1 : identità y 2 : negazione (NOT) Funzioni di commutazione elementari

12 RETI LOGICHE12 Funzioni di commutazione elementari 2 Funzioni 2-arie x2x2 x1x1 y1y1 y2y2 y3y3 y4y4 y5y5 y6y6 y7y7 y8y y 1 = 0 y 2 = x 1 AND x 2 y 4 = x 2 y 6 = x 1 y 7 = x 1 XOR x 2 y 8 = x 1 OR x 2 Funzioni di commutazione elementari

13 RETI LOGICHE13 Funzioni di commutazione elementari 3 Funzioni 2-arie y 9 = x 1 NOR x 2 y 11 = NOT x 1 y 13 = NOT x 2 y 15 = x 1 NAND x 2 y 16 = 1 x2x2 x1x1 y9y9 y 10 y 11 y 12 y 13 y 14 y 15 y Funzioni di commutazione elementari

14 RETI LOGICHE14 Algebra di commutazione 1 Unalgebra di commutazione è unalgebra booleana (definita quindi sui soli elementi 0 e 1). In unalgebra di commutazione loperatore + corrisponde alla funzione 2-aria OR e loperatore · corrisponde alla funzione 2-aria AND. In unalgebra di commutazione lelemento inverso ¬x corrisponde allapplicazione della funzione NOT. Algebra di commutazione

15 RETI LOGICHE15 Si tratta di unalgebra booleana in quanto: b 1,b 2 {0,1}, b 1 OR b 2 {0,1}, b 1 AND b 2 {0,1} b 1 {0,1}, b 1 OR 0=b 1, b 1 AND 0=b 1 b 1 OR b 2 = b 2 OR b 1 b 1 AND b 2 = b 2 AND b 1 (b 1 OR b 2 ) OR b 3 = b 1 OR (b 2 OR b 3 ) (b 1 AND b 2 ) AND b 3 = b 1 AND (b 2 AND b 3 ) b 1 OR (b 2 AND b 3 )=(b 1 OR b 2 ) AND (b 1 OR b 3 ) b 1 AND (b 2 OR b 3 )=(b 1 AND b 2 ) OR (b 1 AND b 3 ) b 1 OR (NOT b 1 )=1, b 1 AND (NOT b 1 )=0 |{0,1}|=2 Algebra di commutazione 2

16 RETI LOGICHE16 Rappresentazione algebrica di funzioni di commutazione Data una funzione, rappresentata in forma esaustiva (mediante tabella di verità), se ne vuole trovare una rappresentazione algebrica, mediante una espressione che faccia uso degli operatori +, ·, ¬ (o anche OR, AND, NOT). Rappresentazione algebrica di funzioni di commutazione

17 RETI LOGICHE17 Mintermini 1 Date n variabili di commutazione x 1, x 2, …, x n, un mintermine m i è una funzione n-aria che assume valore 1 in corrispondenza alla sola assegnazione di verità i-esima su x 1, x 2, …, x n. Sia b 1 b 2 …b n li-esima assegnazione di verità (dove b j =0 o b j =1 per j=1,…,n), allora il mintermine corrispondente è 1 2 … n, con: j = x j se b j =1 j = ¬x j se b j =0. Mintermini

18 RETI LOGICHE18 Esempio Alla assegnazione di verità x 1 =0, x 2 =1, x 3 =0, x 4 =0, x 5 =1, x 6 =0 (cioè = 18 in notazione binaria) corrisponde il mintermine m 18 =¬x 1 x 2 ¬x 3 ¬x 4 x 5 ¬x 6 Esempio Alla assegnazione di verità x 1 =0, x 2 =1, x 3 =0, x 4 =0, x 5 =1 (cioè = 18 in notazione binaria) corrisponde il mintermine m 18 =¬x 1 x 2 ¬x 3 ¬x 4 x 5 Mintermini 2

19 RETI LOGICHE19 Forma canonica SP 1 Qualunque funzione di commutazione n-aria f può essere rappresentata in forma canonica SP (somma di prodotti) effettuando lOR di tutti i mintermini corrispondenti ad assegnazioni di verità per le quali f assume valore 1. Forma canonica SP

20 RETI LOGICHE20 x3x3 x2x2 x1x1 y m 2 =¬x 1 x 2 ¬x 3 m 4 = ¬ x 1 ¬x 2 x 3 m7 =x1x2x3m7 =x1x2x3 m5 =x1¬x2x3m5 =x1¬x2x3 y = ¬x 1 x 2 ¬x 3 +¬x 1 ¬x 2 x 3 +x 1 ¬x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 Forma canonica SP 2

21 RETI LOGICHE21 x3x3 x2x2 x1x1 y Forma canonica SP 3 m2m m4m m5m m7m

22 RETI LOGICHE22 Implicanti 1 Date due funzioni di commutazione f 1 ed f 2, diciamo che f 1 è un implicante di f 2, (f 1 f 2 ) se la sua verità implica la verità di f 2. Più precisamente, f 1 f 2 se per ogni assegnazione di verità x per cui f 1 (x)=1 si ha che f 2 (x)=1. Per la funzione y = ¬x 1 x 2 ¬x 3 +¬x 1 ¬x 2 x 3 +x 1 ¬x 2 x 3 +x 1 x 2 x 3 dellesempio precedente si ha che ¬x 2 x 3 y. Infatti, y =1 per i valori {010, 011, 101, 111} e ¬x 2 x 3 =1 per x 2 =0, x 3 =1 (e quindi per {010, 110}). Implicanti

23 RETI LOGICHE23 Un mintermine è un caso particolare di implicante. Un implicante f 1 di una funzione f è primo se non esiste nessun altro implicante f 2 di f tale che f 1 f 2. Per la funzione y = ¬x 1 x 2 ¬x 3 +¬x 1 ¬x 2 x 3 +x 1 ¬x 2 x 3 +x 1 x 2 x 3 dellesempio precedente si ha che il mintermine x 1 ¬x 2 x 3 è un implicante non primo, in quanto x 1 ¬x 2 x 3 ¬x 2 x 3 y Implicanti 2

24 RETI LOGICHE24 La rappresentazione di funzioni mediante somma (OR) di implicanti primi permette di avere rappresentazioni più concise della stessa funzione rispetto alla forma canonica SP. Per la funzione dellesempio precedente si ha che essa può essere descritta anche come: y = ¬x 1 x 2 ¬x 3 +¬x 2 x 3 +x 1 x 2 x 3 Problema Data una funzione di commutazione f trovare la rappresentazione di f che utilizza il minimo numero di implicanti. Implicanti 3

25 RETI LOGICHE25 x3x3 x2x2 x1x1 y ¬x1x2¬x3¬x1x2¬x3 ¬x2x3¬x2x3 x1x2x3x1x2x3 Implicanti

26 RETI LOGICHE26 Maxtermini 1 Date n variabili di commutazione x 1, x 2, …, x n, un maxtermine M i è una funzione n-aria che assume valore 0 in corrispondenza alla sola assegnazione di verità i-esima su x 1,x 2, …,x n. Sia b 1 b 2 …b n li-esima assegnazione di verità (dove b j =0 o b j =1 per j=1,…,n), allora il maxtermine corrispondente è …+ n, con: j = ¬x j se b j =1 j = x j se b j =0. Maxtermini

27 RETI LOGICHE27 Esempio Alla assegnazione di verità x 1 =0, x 2 =1, x 3 =0, x 4 =0, x 5 =1, x 6 =0 (cioè = 18 in notazione binaria) corrisponde il maxtermine M 18 =x 1 +¬x 2 +x 3 +x 4 +¬x 5 +x 6 Esempio Alla assegnazione di verità x 1 =0, x 2 =1, x 3 =0, x 4 =0, x 5 =1 (cioè = 18 in notazione binaria) corrisponde il maxtermine M 18 = x 1 +¬x 2 +x 3 +x 4 +¬x 5 Maxtermini 2

28 RETI LOGICHE28 Forma canonica PS 1 Qualunque funzione di commutazione n-aria f può essere rappresentata in forma canonica PS (prodotto di somme) effettuando lAND di tutti i maxtermini corrispondenti ad assegnazioni di verità per le quali f assume valore 0. Forma canonica PS

29 RETI LOGICHE29 x3x3 x2x2 x1x1 y M0 =x1+x2+x3M0 =x1+x2+x3 M 1 =¬x 1 +x 2 +x 3 M 6 =x 1 +¬x 2 +¬x 3 M 3 =¬x 1 +¬x 2 +x 3 y =(x 1 +x 2 +x 3 )(¬x 1 +x 2 +x 3 )(¬x 1 +¬x 2 +x 3 )(x 1 +¬x 2 +¬x 3 ) Forma canonica PS 2

30 RETI LOGICHE30 x3x3 x2x2 x1x1 y Forma canonica PS 3 M0M M1M M3M M6M

31 RETI LOGICHE31 Implicati 1 Date due funzioni di commutazione f 1 ed f 2, diciamo che f 1 è un implicato di f 2, (f 2 f 1 ) se la sua verità è implicata dalla verità di f 2. Più precisamente, f 2 f 1 se per ogni assegnazione di verità x per cui f 2 (x)=1 si ha che f 1 (x)=1. Per la funzione y =(x 1 +x 2 +x 3 )(¬x 1 +x 2 +x 3 )(¬x 1 +¬x 2 +x 3 )(x 1 +¬x 2 +¬x 3 ) dellesempio precedente si ha che y x 2 +x 3 Infatti, y =1 per i valori {010, 011, 101, 111} e x 2 +x 3 =1 per x 2 0 e x 3 0 (e quindi, se n=3, per {010, 011,100,101,110,111}). Implicati

32 RETI LOGICHE32 Un maxtermine è un caso particolare di implicato. Un implicato f 1 di una funzione f è primo se non esiste nessun altro implicato f 2 di f tale che f 2 f 1. Per la funzione y =(x 1 +x 2 +x 3 )(¬x 1 +x 2 +x 3 )(¬x 1 +¬x 2 +x 3 )(x 1 +¬x 2 +¬x 3 ) dellesempio precedente si ha che il maxtermine x 1 +x 2 +x 3 è un implicato non primo, in quanto y x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 Implicati 2

33 RETI LOGICHE33 La rappresentazione di funzioni mediante prodotto (AND) di implicati primi permette di avere rappresentazioni più concise della stessa funzione rispetto alla forma canonica PS. Per la funzione dellesempio precedente si ha che essa può essere descritta anche come: y =(x 2 +x 3 )(¬x 1 +¬x 2 +x 3 )(x 1 +¬x 2 +¬x 3 ) Problema Data una funzione di commutazione f trovare la rappresentazione di f che utilizza il minimo numero di implicati. Implicati 3

34 RETI LOGICHE34 x3x3 x2x2 x1x1 y ¬x 1 +¬x 2 +x 3 x2+x3x2+x3 x 1 +¬x 2 +¬x 3 Implicati

35 RETI LOGICHE35 Porte logiche Una porta logica è un dispositivo (astratto) che implementa una funzione di commutazione elementare operando su segnali, che rappresentano valori booleani. Se la funzione implementata è una funzione n-aria y = f (x 1, x 2,…, x n ), la porta logica corrispondente ha n ingressi ed 1 uscita, sui quali possono aversi i segnali corrispondenti ai valori 0,1. x1x1 x2x2 xnxn y = f (x 1, x 2,…, x n ) f......

36 RETI LOGICHE36 Porta AND Una porta AND ha due (o più) ingressi ed una uscita. Sulluscita si ha 1 se tutti gli ingressi sono ad 1. PORTA AND x1x1 x2x2 y

37 RETI LOGICHE37 Porta OR Una porta OR ha due (o più) ingressi ed una uscita. Sulluscita si ha 1 se almeno un ingresso è ad 1. PORTA OR x1x1 x2x2 y

38 RETI LOGICHE38 Porta NOT Una porta NOT ha un ingresso ed una uscita. Sulluscita si ha il valore opposto a quello che compare in ingresso. PORTA NOT x y

39 RETI LOGICHE39 Porta NAND Una porta NAND equivale ad una porta AND negata (seguita da una porta NOT): quindi, sulluscita si ha 0 se tutti gli ingressi sono ad 1. PORTA NAND x1x1 x2x2 y x2x2 y x1x1 =

40 RETI LOGICHE40 Porta NOR Una porta NOR equivale ad una porta OR negata (seguita da una porta NOT): quindi, sulluscita si ha 0 se almeno un ingresso è ad 1. PORTA NOR x1x1 x1x1 x2x2 y x2x2 y =

41 RETI LOGICHE41 Completezza porta NAND Completezza della porta NAND La porta NAND è completa, nel senso che, usando soltanto porte di questo tipo, è possibile ottenere le tre porte fondamentali AND, OR e NOT.

42 RETI LOGICHE42 Implementazione della porta NOT mediante NAND xzxz x NAND x = ¬ (xx) = ¬ x (Idempotenza) NOT mediante NAND

43 RETI LOGICHE43 Implementazione della porta AND mediante NAND AND mediante NAND z x1x1 x2x2 x2x2 z x1x1 (x 1 NAND x 2 ) NAND (x 1 NAND x 2 ) = ¬((¬ (x 1 ·x 2 ))·(¬(x 1 ·x 2 ))) = ¬((¬x 1 )+(¬x 2 ))·((¬x 1 )+(¬x 2 ))) (De Morgan) = ¬((¬x 1 )+(¬x 2 )) (Idempotenza) = ¬(¬(x 1 ·x 2 )) (De Morgan) = x 1 ·x 2 (involuzione)

44 RETI LOGICHE44 Implementazione della porta OR mediante NAND OR mediante NAND (x 1 NAND x 1 ) NAND (x 2 NAND x 2 ) = ¬((¬(x 1 ·x 1 ))·(¬(x 2 ·x 2 ))) = ¬((¬x 1 )·(¬x 2 )) (Idempotenza) = ¬(¬(x 1 +x 2 )) (De Morgan) = x 1 +x 2 (involuzione) z x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 z

45 RETI LOGICHE45 Completezza porta NOR Completezza della porta NOR La porta NOR è completa, nel senso che, usando soltanto porte di questo tipo, è possibile ottenere le tre porte fondamentali AND, OR e NOT.

46 RETI LOGICHE46 Implementazione della porta NOT mediante NOR x NOR x = ¬ (x+x) = ¬ x (Idempotenza) NOT mediante NOR xzxz

47 RETI LOGICHE47 Implementazione della porta AND mediante NOR AND mediante NOR (x 1 NOR x 1 ) NOR (x 2 NOR x 2 ) = ¬((¬(x 1 +x 1 ))+(¬(x 2 +x 2 ))) = ¬((¬x 1 )+(¬x 2 )) (Idempotenza) = ¬(¬(x 1 ·x 2 )) (De Morgan) = x 1 ·x 2 (involuzione) z x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 z

48 RETI LOGICHE48 Implementazione della porta OR mediante NOR OR mediante NOR (x 1 NOR x 2 ) NOR (x 1 NOR x 2 ) = ¬((¬ (x 1 +x 2 ))+(¬(x 1 +x 2 ))) = ¬((¬x 1 )·(¬x 2 ))+((¬x 1 )·(¬x 2 ))) (De Morgan) = ¬((¬x 1 )·(¬x 2 )) (Idempotenza) = ¬(¬(x 1 +x 2 )) (De Morgan) = x 1 + x 2 (involuzione) z x1x1 x2x2 x2x2 z x1x1

49 RETI LOGICHE49 Reti logiche Reti Logiche Una rete logica è costituita da un insieme di porte logiche interconnesse. Il comportamento di una rete logica è descritto in termini di relazione tra i valori ai morsetti (di ingresso e di uscita delle varie porte). Le relazioni tra i valori ai morsetti sono rappresentate da funzioni combinatorie, che esprimono la dipendenza di un valore su un morsetto di uscita dai valori su un opportuno insieme di morsetti di ingresso.

50 RETI LOGICHE50 Reti combinatorie 1 Reti Combinatorie Una rete combinatoria è una rete logica aciclica: il valore sul morsetto di uscita di una porta non influenza i valori sui morsetti di ingresso. Rete ciclica x1x1 x2x2 y

51 RETI LOGICHE51 Reti combinatorie 2 In una rete combinatoria è possibile associare ad ogni morsetto il relativo livello, definito nel modo seguente: i morsetti relativi ai valori delle variabili di ingresso alla rete combinatoria (sia veri che negati) hanno livello 0; per una porta logica con n morsetti di ingresso, con livelli associati l 1,l 2, …, l n, il relativo morsetto di uscita ha livello max(l 1,l 2, …, l n )+1.

52 RETI LOGICHE52 Reti combinatorie 3 Assumiamo che, come avviene in pratica, per ogni porta logica il valore sul morsetto di uscita sia disponibile dopo un certo ritardo t d dalla disponibilità di valori su tutti i morsetti di ingresso. Il livello di un morsetto è allora proporzionale al tempo necessario affinché si determini il relativo valore, dati i valori di tutte le variabili di ingresso alla rete. Un morsetto a livello l richiede tempo lt d affinché il relativo valore si determini, dati i valori di ingresso.

53 RETI LOGICHE53 Analisi di reti combinatorie 1 Analisi di reti combinatorie Lanalisi di una rete combinatoria (che assumiamo abbia un solo morsetto di uscita) determina, data una rete, la funzione combinatoria implementata dalla rete stessa, vale a dire la funzione che descrive la relazione tra valori sui morsetti di ingresso e valore sul morsetto di uscita. Lanalisi può essere effettuata determinando la funzione calcolata ad ogni morsetto, al crescere del relativo livello.

54 RETI LOGICHE54 Analisi di reti combinatorie 2 ¬x1¬x1 ¬x4¬x4 x2+x4x2+x4 ¬x 1 (x 3 +x 4 )¬x 4 x 1 x 2 x 1 x 2 +x 2 +x 4 +¬x 1 (x 3 +x 4 )¬x 4 x1x1 x2x2 x3x3 y x4x4 x3+x4x3+x4

55 RETI LOGICHE55 Reti a due livelli Le reti a due livelli sono particolarmente interessanti in quanto sono le più semplici reti in grado di implementare qualunque funzione combinatoria, ad esempio rappresentata in forma canonica (PS o SP). Le reti a due livelli sono anche le più semplici reti in grado di implementare qualunque funzione combinatoria.

56 RETI LOGICHE56 Forma canonica SP mediante NAND 1 Implementazione di forma canonica SP mediante NAND Data una formula in forma PS, possiamo trovare una formula equivalente (a due livelli) che usa soltanto NAND (e NOT su variabili). x 1 ¬x 2 x 3 + x 2 x 3 = ¬(x 1 NAND ¬x 2 NAND x 3 )+ ¬(x 2 NAND x 3 ) = ¬((x 1 NAND ¬x 2 NAND x 3 )(x 2 NAND x 3 )) = (x 1 NAND ¬x 2 NAND x 3 ) NAND (x 2 NAND x 3 ) Esempio: y= x 1 ¬x 2 x 3 + x 2 x 3

57 RETI LOGICHE57 Forma canonica SP mediante NAND 2 x1x1 x2x2 x3x3 y x1x1 x2x2 x3x3 y

58 RETI LOGICHE58 Forma canonica SP mediante NAND 3 Ogni funzione combinatoria può essere espressa in forma SP Ogni funzione in forma SP può essere espressa mediante NAND e NOT su variabili Ogni funzione combinatoria può essere calcolata mediante una rete a due livelli di porte NAND, su variabili eventualmente negate.

59 RETI LOGICHE59 Forma canonica PS mediante NOR 1 Implementazione di forma canonica PS mediante NOR Data una formula in forma PS, possiamo trovare una formula equivalente (a due livelli) che usa soltanto NOR (e NOT su variabili). (x 1 +x 2 )(¬x 2 +¬x 3 ) = ¬(x 1 NOR x 2 ) ·¬(¬x 2 NOR¬x 3 ) = ¬((x 1 NOR x 2 )+(¬x 2 NOR¬x 3 )) = (x 1 NOR x 2 ) NOR (¬x 2 NOR¬x 3 ) Esempio: y= (x 1 +x 2 )(¬x 2 +¬x 3 )

60 RETI LOGICHE60 Forma canonica PS mediante NOR 2 x1x1 x2x2 x3x3 y x1x1 x2x2 x3x3 y

61 RETI LOGICHE61 Forma canonica PS mediante NOR 3 Ogni funzione combinatoria può essere espressa in forma PS Ogni funzione in forma PS può essere espressa mediante NOR e NOT su variabili Ogni funzione combinatoria può essere calcolata mediante una rete a due livelli di porte NOR, su variabili eventualmente negate.


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