La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TERAMO MASTER UNIVERSITARIO DI I LIVELLO ANNO ACCADEMICO 2003/2004.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TERAMO MASTER UNIVERSITARIO DI I LIVELLO ANNO ACCADEMICO 2003/2004."— Transcript della presentazione:

1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TERAMO MASTER UNIVERSITARIO DI I LIVELLO ANNO ACCADEMICO 2003/2004

2 COMUNICAZIONE E DIVULGAZIONE SCIENTIFICA DA EUCLIDEAD HILBERT ( levoluzione della geometria) a cura di GIOSUE PASSACQUALE

3 MENU INIZIALE LA N N N N N AAAA TTTT UUUU RRRR AAAA D D D D EEEE LLLL LLLL AAAA G G G G EEEE OOOO MMMM EEEE TTTT RRRR IIII AAAA GLI ELEMENTI DI E E E E E UUUU CCCC LLLL IIII DDDD EEEE LA C C C C C RRRR IIII SSSS IIII D D D D EEEE IIII F F F F OOOO NNNN DDDD AAAA MMMM EEEE NNNN TTTT IIII D D D D DELLA GEOMETRIA I GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE (FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA) DI H H H H H IIII LLLL BBBB EEEE RRRR TTTT S S IIII GGGG NNNN IIII FFFF IIII CCCC AAAA TTTT OOOO C C C C UUUU LLLL TTTT UUUU RRRR AAAA LLLL EEEE D D D D DELLA GEOMETRIA B B IIII BBBB LLLL IIII OOOO GGGG RRRR AAAA FFFF IIII AAAA E E E E SSSS SSSS EEEE NNNN ZZZZ IIII AAAA LLLL EEEE R R IIII NNNN GGGG RRRR AAAA ZZZZ IIII AAAA MMMM EEEE NNNN TTTT IIII

4 LA NATURA DELLA GEOMETRIA Che cosè la geometria? Che cosè la geometria?cosè Qual è loggetto di studio della geometria? Qual è loggetto di studio della geometria?loggetto di studio loggetto di studio Quali sono le origini della geometria? Quali sono le origini della geometria?origini Qual è il metodo della geometria? Qual è il metodo della geometria?metodo

5 La geometria è larte di fare i ragionamenti giusti sulle figure sbagliate. Definizione ironica e paradossale, ma profondissima che presenta tutte le componenti essenziali della geometria: il ragionamento (logico) deduttivo; i ragionamenti giusti; lintuizione concreta; il riferimento alla realtà; le figure, che non sono il vero oggetto dello studio della geometria.

6 figure … o … immagini mentali figure … o … immagini mentali figureimmagini mentali figureimmagini mentali Le figure non sono il vero oggetto dello studio della geometria, ma un appoggio alla formazione di quelle immagini mentali (vero oggetto di studio della geometria) che sono le elaborazioni fantastiche con cui la nostra mente descrive le forme degli oggetti reali. Le figure, cioè i segni, cioè i simboli, NON vanno letti in modo ingenuo e superficiale, MA vanno tradotti nei significati che noi conveniamo di attribuire loro, di cui noi vogliamo caricarli. Tutte le figure, prese come meri segni grafici, sono sempre sbagliate, per definizione; ma se ci serviamo convenzionalmente di esse per rappresentare un particolare concetto astratto, allora possono essere un utile guida per i nostri ragionamenti logico deduttivi.

7 Le radici della geometria Non vi sono dubbi che la geometria storicamente sia partita dalla realtà (il nome stesso letteralmente vuol dire misura della terra), pensiamo alle esigenze di agrimensori, astronomi, architetti, … Ma, come ogni altra branca della matematica, dopo aver risposto ad esigenze più o meno pratiche, sotto la pressione della loro necessità, essa inevitabilmente acquista valore in se stessa e trascende i confini dellutilità pratica.

8 Il metodo ipotetico deduttivo Se loggetto della geometria non è, come abbiamo già detto, la realtà fisica in sé ma le immagini mentali che ci creiamo per descriverla, allora è altrettanto vero che il metodo dindagine della geometria devessere diverso da quello del fisico, basato sullosservazione di un fenomeno (e sulla sua riproducibilità in laboratorio). La costruzione del complesso edificio della geometria è basata sul metodo ipotetico-deduttivo: si fissano degli enti primitivi e degli assiomi che descrivono le proprietà di cui godono tali enti, poi, a partire da questi, si deducono nuovi risultati: i teoremi. Questi ultimi assumono valore di verità solo dopo essere stati dimostrati! Tale metodo ebbe origine in matematica ai tempi di Eudosso di Cnido e si consolidò negli Elementidi Euclide. Euclide

9 Chi è più lungo Chi è più lungo fra T ed S? e fra i segmenti AF e BF? Chi è più lungo TS AB CD E F

10 E adesso che ho ripulito il disegno? Mai fidarsi delle apparenze! apparenze TS AB F

11 Qual è il vero quadrato?

12 EUCLIDE … chi?! Considerata la fama degliElementi e del loro autore, le notizie che abbiamo sulla vita di Euclide sono sorprendentemente scarse (non si sa neppure dove sia nato). Certo è che, intorno al 300 a.C., insegnò matematica ad Alessandria dEgitto, nellaccademia nota come il MUSEO. Le leggende lo dipingono come uomo abbastanza anziano e di temperamento gentile. Ma … Considerata la fama degliElementi e del loro autore, le notizie che abbiamo sulla vita di Euclide sono sorprendentemente scarse (non si sa neppure dove sia nato). Certo è che, intorno al 300 a.C., insegnò matematica ad Alessandria dEgitto, nellaccademia nota come il MUSEO. Le leggende lo dipingono come uomo abbastanza anziano e di temperamento gentile. Ma …ElementitemperamentoElementitemperamento

13 … GENTILE, MA … DECISO Si narra che Tolomeo I, illuminato monarca che istituì ad Alessandria laccademia nota come il Museo e che chiamò tra gli altri Euclide ad insegnarvi matematica, abbia chiesto una facile introduzione alla geometria allo stesso Euclide, il quale, si dice, abbia fermamente replicato che non esiste nessuna strada regale che porti alla geometria Si narra che Tolomeo I, illuminato monarca che istituì ad Alessandria laccademia nota come il Museo e che chiamò tra gli altri Euclide ad insegnarvi matematica, abbia chiesto una facile introduzione alla geometria allo stesso Euclide, il quale, si dice, abbia fermamente replicato che non esiste nessuna strada regale che porti alla geometria Evidentemente Euclide non dava molta importanza agli aspetti pratici della sua disciplina: infatti si racconta che quando un allievo gli chiese che utilità avesse lo studio della geometria, Euclide si rivolse al suo schiavo dicendogli di dare una monetina allallievo perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara Evidentemente Euclide non dava molta importanza agli aspetti pratici della sua disciplina: infatti si racconta che quando un allievo gli chiese che utilità avesse lo studio della geometria, Euclide si rivolse al suo schiavo dicendogli di dare una monetina allallievo perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara

14 STRUTTURA DEGLI ELEMENTI ELEMENTI DEFINIZIONI DEFINIZIONI DEFINIZIONI ASSIOMI ASSIOMI ASSIOMI POSTULATI POSTULATI POSTULATI I-VI LA GEOMETRIA PIANA ELEMENTARE I-VI LA GEOMETRIA PIANA ELEMENTARE I-VI VII-IX LA TEORIA DEI NUMERI VII-IX LA TEORIA DEI NUMERI VII-IX X LA CLASSIFICAZIONE DEGLI INCOMMENSURABILI X LA CLASSIFICAZIONE DEGLI INCOMMENSURABILI X XI-XIII LA GEOMETRIA SOLIDA XI-XIII LA GEOMETRIA SOLIDA XI-XIII ED IL METODO DI ESAUSTIONE XIV-XV ALTRI RISULTATI SUI SOLIDI XIV-XV ALTRI RISULTATI SUI SOLIDI XIV-XV

15 I libri da I a VI degli Elementi libro I : proprietà sulle figure rettilinee libro I : proprietà sulle figure rettilinee libro II : lalgebra geometrica libro II : lalgebra geometrica libro III : la geometria dei cerchi libro III : la geometria dei cerchi libro IV : figure inscritte e circoscritte a cerchi libro IV : figure inscritte e circoscritte a cerchi libro V : la teoria delle proporzioni libro V : la teoria delle proporzioni libro VI : le figure simili libro VI : le figure simili

16 I libri da VII a IX degli Elementi libro VII : proprietà dei numeri interi libro VII : proprietà dei numeri interi libro VIII : le proporzioni continue (prog. geo.) libro VIII : le proporzioni continue (prog. geo.) libro IX : teo. su numeri quadrati, cubi, piani e solidi e altri teoremi sulle prog. geometriche libro IX : teo. su numeri quadrati, cubi, piani e solidi e altri teoremi sulle prog. geometriche

17 Il libro X La classificazione degli incommensurabili La classificazione degli incommensurabili (ad es. contiene la dimostrazione dellirrazionalità di radice quadrata di due) (ad es. contiene la dimostrazione dellirrazionalità di radice quadrata di due)radice quadrata di dueradice quadrata di due

18 I libri da XI a XIII degli Elementi libro XI : inizia a trattare la geometria solida libro XI : inizia a trattare la geometria solida libro XII : teoremi sulle aree e i volumi (in particolare di fig. curvilinee e di fig. delimitate da superfici) e metodo di esaustione libro XII : teoremi sulle aree e i volumi (in particolare di fig. curvilinee e di fig. delimitate da superfici) e metodo di esaustione libro XIII: proprietà dei poligoni regolari; il problema di come inscrivere i cinque solidi regolari in una sfera e non possono esistere più di cinque solidi (poliedri) regolari (e convessi) libro XIII: proprietà dei poligoni regolari; il problema di come inscrivere i cinque solidi regolari in una sfera e non possono esistere più di cinque solidi (poliedri) regolari (e convessi)cinque solidi cinque solidi

19 I libri XIV a XV degli Elementi (entrambi postumi) libro XIV : dovuto a Ipsicle (150 a.C.) libro XIV : dovuto a Ipsicle (150 a.C.) libro XV : alcune parti furono scritte probabilmente intorno al VI secolo d.C. libro XV : alcune parti furono scritte probabilmente intorno al VI secolo d.C.

20 I CINQUE SOLIDI PLATONICI CINQUE SOLIDI CINQUE SOLIDI Mentre nel piano possiamo costruire poligoni convessi regolari con un numero arbitrario di lati, è sorprendente che nello spazio tridimensionale sia possibile costruire solo cinque poliedri convessi regolari: tetraedro, cubo (o esaedro), ottaedro, dodecaedro e icosaedro. Mentre nel piano possiamo costruire poligoni convessi regolari con un numero arbitrario di lati, è sorprendente che nello spazio tridimensionale sia possibile costruire solo cinque poliedri convessi regolari: tetraedro, cubo (o esaedro), ottaedro, dodecaedro e icosaedro.

21 LE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTI D1. Punto è ciò che non ha parti. D1. Punto è ciò che non ha parti.Punto D2. Linea è lunghezza senza larghezza. D2. Linea è lunghezza senza larghezza.Linea D3. Estremi di una linea sono i punti. D3. Estremi di una linea sono i punti.Estremi D4. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti. D4. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti.Linea retta Linea retta D5. Superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza. D5. Superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza.Superficie D6. Estremi di una superficie sono linee. D6. Estremi di una superficie sono linee. D7. Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle sue rette. D7. Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle sue rette.

22 ALTRE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTI D15. Cerchio è una figura piana limitata da ununica linea tale che tutte le linee rette condotte su di essa da un punto fra quelli che giacciono allinterno della figura sono uguali fra loro. D15. Cerchio è una figura piana limitata da ununica linea tale che tutte le linee rette condotte su di essa da un punto fra quelli che giacciono allinterno della figura sono uguali fra loro. D16. E il punto viene detto centro del cerchio. D16. E il punto viene detto centro del cerchio. D17. Diametro del cerchio è una retta tracciata per il centro e limitata in entrambe le direzioni dalla circonferenza del cerchio, e una tale retta biseca anche il cerchio. D17. Diametro del cerchio è una retta tracciata per il centro e limitata in entrambe le direzioni dalla circonferenza del cerchio, e una tale retta biseca anche il cerchio. D17. circonferenza D17. circonferenza D23. Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate indefinitamente in entrambe le direzioni, non si incontrano fra loro in nessuna di queste. D23. Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate indefinitamente in entrambe le direzioni, non si incontrano fra loro in nessuna di queste.Parallele

23 OSSERVAZIONI ALLE DEFINIZIONI OD1. E cosa significa precisamente? OD1. E cosa significa precisamente? OD1. OD2. Linea qui significa curva. Spazio ad una dimensione. OD2. Linea qui significa curva. Spazio ad una dimensione. OD3. Questa def. mette chiaramente in evidenza che per Euclide una linea o curva ha sempre lunghezza finita. OD3. Questa def. mette chiaramente in evidenza che per Euclide una linea o curva ha sempre lunghezza finita. OD4. La retta per Euclide, in accordo con la def.3, è il nostro segmento. Alcuni studiosi sostengono che tale def. sia stata suggerita dalla livella del muratore. OD4. La retta per Euclide, in accordo con la def.3, è il nostro segmento. Alcuni studiosi sostengono che tale def. sia stata suggerita dalla livella del muratore. OD5. Spazio a due dimensioni. OD5. Spazio a due dimensioni. OD17. Notare che la circonferenza non è stata mai definita esplicitamente. OD17. Notare che la circonferenza non è stata mai definita esplicitamente. OD17. OD23. In realtà la def. data riguarda due segmenti paralleli e non due rette. OD23. In realtà la def. data riguarda due segmenti paralleli e non due rette.

24 LE CINQUE NOZIONI COMUNI ( O ASSIOMI ) ASSIOMI A1. Cose uguali ad una medesima cosa sono uguali anche tra loro; A1. Cose uguali ad una medesima cosa sono uguali anche tra loro; A2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme sono uguali; A2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme sono uguali; A3. Se da cose uguali si sottraggono cose uguali, i resti sono uguali; A3. Se da cose uguali si sottraggono cose uguali, i resti sono uguali; A4. Le cose che coincidono fra loro sono uguali fra loro; A4. Le cose che coincidono fra loro sono uguali fra loro; A5. Il tutto è maggiore della parte. A5. Il tutto è maggiore della parte.

25 I CINQUE POSTULATI ( O RICHIESTE ) POSTULATI P1. si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi ad un punto qualsiasi; P1. si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi ad un punto qualsiasi; P2. si possa prolungare indefinitamente una linea retta; P2. si possa prolungare indefinitamente una linea retta; P3. si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi ed un raggio qualsiasi; P3. si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi ed un raggio qualsiasi; P4. tutti gli angoli retti siano uguali tra loro; P4. tutti gli angoli retti siano uguali tra loro; P5. se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, allora le due rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due retti. P5. se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, allora le due rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due retti. P5.

26 Il postulato delle parallele

27 Differenza fra ASSIOMI e POSTULATI secondo Aristotele ASSIOMA: ASSIOMA: ASSIOMA gli assiomi o nozioni comuni devono essere convincenti di per se stessi, sono verità comuni a tutte le scienze (dal greco axios, degno di credibilità) POSTULATO: POSTULATO: POSTULATO i postulati sono meno evidenti e non presuppongono lassenso dellallievo, poiché riguardano soltanto la disciplina in questione (dal latino postulare, richiedere) I matematici moderni non fanno alcuna I matematici moderni non fanno alcuna differenza essenziale fra un assioma e un postulato differenza essenziale fra un assioma e un postulato

28 PREGI DEGLI ELEMENTI Sono la maggiore e più antica opera matematica greca che ci sia pervenuta Sono la maggiore e più antica opera matematica greca che ci sia pervenuta Sono il più autorevole manuale di matematica di tutti i tempi, la prima fonte di conoscenza matematica Sono il più autorevole manuale di matematica di tutti i tempi, la prima fonte di conoscenza matematica Il concetto di matematica, la nozione di dimostrazione e lordinamento logico dei teoremi vennero appresi dal loro studio Il concetto di matematica, la nozione di dimostrazione e lordinamento logico dei teoremi vennero appresi dal loro studio Euclide sottolinea limportanza di dimostrare lesistenza delle figure prima di inserirle nella struttura logica della geometria Euclide sottolinea limportanza di dimostrare lesistenza delle figure prima di inserirle nella struttura logica della geometria La scelta degli assiomi fatta da Euclide è assai sofisticata: La scelta degli assiomi fatta da Euclide è assai sofisticata: a partire da un piccolo gruppo di assiomi riesce a dimostrare centinaia di teoremi alcuni dei quali molto profondi Lassioma delle parallele è gestito con particolare intelligenza Lassioma delle parallele è gestito con particolare intelligenza

29 DIFETTI DEGLI ELEMENTI Luso della sovrapposizione (manca una base logica per il concetto di moto; spostando una figura chi ci garantisce che essa conservi tutte le sue proprietà?) Luso della sovrapposizione (manca una base logica per il concetto di moto; spostando una figura chi ci garantisce che essa conservi tutte le sue proprietà?) La vaghezza di alcune definizioni (vedi libroV) La vaghezza di alcune definizioni (vedi libroV) Linutilità di alcune definizioni (punto, rette, superficie,…) Linutilità di alcune definizioni (punto, rette, superficie,…) Numerose definizioni, come la D17, presuppongono un assioma Numerose definizioni, come la D17, presuppongono un assiomaD17 Euclide usa fatti, evidenti dalle figure o intuitivamente veri, senza mai dimostrarli Euclide usa fatti, evidenti dalle figure o intuitivamente veri, senza mai dimostrarli Vi sono anche difetti nelle dimostrazioni: alcuni teoremi vengono enunciati in generale ma dimostrati solo in casi particolari Vi sono anche difetti nelle dimostrazioni: alcuni teoremi vengono enunciati in generale ma dimostrati solo in casi particolari I tredici libri non costituiscono un corpo unitario, ma sono compilazioni di opere precedenti I tredici libri non costituiscono un corpo unitario, ma sono compilazioni di opere precedenti

30 … E INOLTRE … Se non è rigorosa la geometria non è nulla … I metodi di Euclide non sono, per consenso quasi universale, eccezionali per il loro rigore. (Henry J. S. SMITH, 1873) Se non è rigorosa la geometria non è nulla … I metodi di Euclide non sono, per consenso quasi universale, eccezionali per il loro rigore. (Henry J. S. SMITH, 1873) Quando Euclide, considerato come libro di testo, veniva attaccato … era uso difenderlo dicendo che la sua eccellenza logica è trascendente, e consente un invalutabile esercizio al potere giovanile di ragionamento. Quando Euclide, considerato come libro di testo, veniva attaccato … era uso difenderlo dicendo che la sua eccellenza logica è trascendente, e consente un invalutabile esercizio al potere giovanile di ragionamento. In realtà … la forza dimostrativa di una valida dimostrazione sta nel non disegnare alcuna figura, ma molte delle dimostrazioni di Euclide cadono se sottoposte a questa prova. (BERTRAND RUSSELL, 1902) valida dimostrazionevalida dimostrazione

31 C AB D E F H xx FALSO TEOREMA. FALSO TEOREMA. FALSO TEOREMA FALSO TEOREMA Ogni triangolo è isoscele. VALIDA DIMOSTRAZIONEVALIDA DIMOSTRAZIONE? VALIDA DIMOSTRAZIONE Dato un triangolo ABC, costruiamo la bisettrice CH dellangolo ACB e lasse DH del lato AB. Queste due rette si intersecano in un punto H (vedi fig.), allora tracciamo le perpendicolari ai lati BC e AC uscenti dal punto H: siano queste HE e HF rispettivamente. I triangoli CFH e CEH sono uguali, perché hanno rispettivamente: CFH=CEH (ang. retti); CH in comune; FCH=ECH (per ipotesi CH bisettrice di FCE). In particolare: CF=CE e FH=EH I triangoli AHF e BHE sono uguali, perché hanno rispettivamente: AFH=BEH (ang. retti); FH=EH (preced. dim.); AH=BH (per una proprietà dellasse di un segmento). In particolare: FA=EB Ma allora i lati CA e CB sono uguali perché somma di segmenti uguali: CA=CF+FA=CE+EB=CB Pertanto il triangolo ABC è isoscele. C.V.D

32 LERA DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE Sebbene fossero state mosse critiche alla struttura logica degli Elementi di Euclide fin dal momento in cui vennero scritti, i difetti erano considerati di scarsa importanza. Fu il lavoro sulleGeometrie Non Euclidee(G.N.E.) a rendere consapevoli i matematici della reale importanza delle deficienze della struttura di Euclide, perché nel portare a termine le dimostrazioni dovevano essere particolarmente critici su ciò che stavano accetttando: nelle G.N.E. veniva a mancare quella verità intuitiva (ma a volte fuorviante) dovuta al ricorso al disegno (ad es. il falso teorema sul triangolo). Sebbene fossero state mosse critiche alla struttura logica degli Elementi di Euclide fin dal momento in cui vennero scritti, i difetti erano considerati di scarsa importanza. Fu il lavoro sulleGeometrie Non Euclidee(G.N.E.) a rendere consapevoli i matematici della reale importanza delle deficienze della struttura di Euclide, perché nel portare a termine le dimostrazioni dovevano essere particolarmente critici su ciò che stavano accetttando: nelle G.N.E. veniva a mancare quella verità intuitiva (ma a volte fuorviante) dovuta al ricorso al disegno (ad es. il falso teorema sul triangolo).Geometrie Non Euclideefalso teorema Geometrie Non Euclideefalso teorema Tutto ciò obbligò i matematici a dedicarsi alla costruzione dei fondamenti della geometria euclidea e di altre geometrie che potessero godere della stessa dignità di quella euclidea. Tale attività si sviluppò intensamente negli ultimi trentanni del XIX secolo. costruzione dei fondamenti costruzione dei fondamenti

33 Cenni sulle geometrie non euclidee geometrie non euclideegeometrie non euclidee Il pensiero di Kant sulla geometria euclidea Il pensiero di Kant sulla geometria euclideaKant Le ricerche sullassioma delle parallele Le ricerche sullassioma delle parallelericerche Lettera di Gauss a Bessel Lettera di Gauss a BesselGauss Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (il Copernico della geometria) Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (il Copernico della geometria)Lobacevskij Janos Bolyai Janos BolyaiBolyai Georg Bernhard Riemann Georg Bernhard RiemannRiemann

34 Il pensiero di Kant Kant, nella Critica alla ragion pura (1781), sosteneva che le nostre menti sono obbligate a vedere il mondo esterno in un unico modo, quindi certi principi relativi allo spazio sono anteriori allesperienza. Tali principi e le loro conseguenze che Kant chiamava giudizi sintetici a priori sono quelli della geometria euclidea. Kant, nella Critica alla ragion pura (1781), sosteneva che le nostre menti sono obbligate a vedere il mondo esterno in un unico modo, quindi certi principi relativi allo spazio sono anteriori allesperienza. Tali principi e le loro conseguenze che Kant chiamava giudizi sintetici a priori sono quelli della geometria euclidea.

35 Lassioma delle parallele Fra la fine del Settecento e linizio dellOttocento, cominciò a svilupparsi la critica ai fondamenti della geometria euclidea, con particolare riferimento al V postulato o delle parallele. Importanti risultati furono raggiunti da Girolamo Saccheri ( ), Fra la fine del Settecento e linizio dellOttocento, cominciò a svilupparsi la critica ai fondamenti della geometria euclidea, con particolare riferimento al V postulato o delle parallele. Importanti risultati furono raggiunti da Girolamo Saccheri ( ), il quale convinto di aver dedotto tale postulato, pubblicò l Euclides ab Omni Naevo Vindicatus.

36 Lettera di Gauss a Bessel Allinizio del XIX secolo,intorno al 1813, Karl Friedrich Gauss ( ) cominciò a costruire una geometria che non ritenesse valido il V postulato di Euclide e in realtà si convinse che era logicamente coerente, ma non pubblicò mai unesposizione completamente deduttiva delle sue ricerche perché, come scrisse in una lettera a Bessel del 27 gennaio 1829, temeva le strida dei beoti Allinizio del XIX secolo,intorno al 1813, Karl Friedrich Gauss ( ) cominciò a costruire una geometria che non ritenesse valido il V postulato di Euclide e in realtà si convinse che era logicamente coerente, ma non pubblicò mai unesposizione completamente deduttiva delle sue ricerche perché, come scrisse in una lettera a Bessel del 27 gennaio 1829, temeva le strida dei beotiGauss

37 Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (il Copernico della geometria) Lobacevskij ( ), russo, fu il primo matematico a fare il passo rivoluzionario di pubblicare, nel 1829, sulla Gazzetta di Kazan, il saggio Sui principi della Geometria, in cui espone una nuova geometria, costruita specificamente su unipotesi in diretta contraddizione con il postulato delle parallele: (geometria iperbolica) Lobacevskij ( ), russo, fu il primo matematico a fare il passo rivoluzionario di pubblicare, nel 1829, sulla Gazzetta di Kazan, il saggio Sui principi della Geometria, in cui espone una nuova geometria, costruita specificamente su unipotesi in diretta contraddizione con il postulato delle parallele: (geometria iperbolica) Lobacevskijgeometria iperbolica Lobacevskijgeometria iperbolica per un punto P esterno ad una retta r si può tracciare nello stesso piano più di una retta parallela ad r.

38 Janos Bolyai Bolyai ( ) era un ufficiale ungherese e figlio di un insegnante di matematica in una città di provincia, tale Wolfgang Bolyai, tra laltro amico di Gauss, che aveva dedicato tutta la sua vita ai tentativi di dimostrare il postulato delle parallele. Il lavoro di Bolyai sulla geometria non euclidea (La scienza dello spazio assoluto) fu pubblicato solo nel 1832 in appendice ad un libro del padre, benchè rechi una licenza di stampa datata 1829, lo stesso anno in cui Lobacevskij pubblicò il suo. Lipotesi di Bolyai era leggermente differente da quella del collega russo: (ma sempre geometria iperbolica) Bolyai ( ) era un ufficiale ungherese e figlio di un insegnante di matematica in una città di provincia, tale Wolfgang Bolyai, tra laltro amico di Gauss, che aveva dedicato tutta la sua vita ai tentativi di dimostrare il postulato delle parallele. Il lavoro di Bolyai sulla geometria non euclidea (La scienza dello spazio assoluto) fu pubblicato solo nel 1832 in appendice ad un libro del padre, benchè rechi una licenza di stampa datata 1829, lo stesso anno in cui Lobacevskij pubblicò il suo. Lipotesi di Bolyai era leggermente differente da quella del collega russo: (ma sempre geometria iperbolica) Bolyaigeometria iperbolica Bolyaigeometria iperbolica nello stesso piano, per un punto P esterno ad una retta r esistono infinite rette parallele ad r. nello stesso piano, per un punto P esterno ad una retta r esistono infinite rette parallele ad r.

39 Georg Bernahrd Riemann Riemann ( ) nonostante origini molto modeste riuscì ad ottenere uneducazione di ottimo livello, prima a Berlino e poi a Gottinga. Le geometrie di Riemann sono non euclidee in un senso molto più vasto di quelle di Lobacevskij e Bolyai. Secondo Riemann la geometria dovrebbe parlare solo di ennuple ordinate che vengono raggruppate secondo certe regole; luso attuale del nome di Riemann, limitatamente alla geometria non euclidea ellittica, non dà pieno riconoscimento al radicale mutamento introdotto nel pensiero geometrico dalla sua lezione, Habilitationsvortrag, per il conseguimento del titolo di Privatdozent tenuta nel 1854 alla facoltà di Gottinga e successivamente pubblicata nel 1868 con il titolo Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria. Riemann ( ) nonostante origini molto modeste riuscì ad ottenere uneducazione di ottimo livello, prima a Berlino e poi a Gottinga. Le geometrie di Riemann sono non euclidee in un senso molto più vasto di quelle di Lobacevskij e Bolyai. Secondo Riemann la geometria dovrebbe parlare solo di ennuple ordinate che vengono raggruppate secondo certe regole; luso attuale del nome di Riemann, limitatamente alla geometria non euclidea ellittica, non dà pieno riconoscimento al radicale mutamento introdotto nel pensiero geometrico dalla sua lezione, Habilitationsvortrag, per il conseguimento del titolo di Privatdozent tenuta nel 1854 alla facoltà di Gottinga e successivamente pubblicata nel 1868 con il titolo Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria. Riemannellittica Riemannellittica

40 GaussGauss, Lobacevskij, Bolyai e Riemann LobacevskijBolyaiRiemann GaussLobacevskijBolyaiRiemann

41 PRINCIPALI PROTAGONISTI DELLA RIFONDAZIONE Moritz PASCH ( ) Lezioni sulla nuova geometria, Moritz PASCH ( ) Lezioni sulla nuova geometria, 1882.PASCH Giuseppe PEANO ( ) Principii di geometria, 1889 Giuseppe PEANO ( ) Principii di geometria, 1889PEANO Giuseppe VERONESE ( ) Fondamenti di geometria, 1891 Giuseppe VERONESE ( ) Fondamenti di geometria, 1891VERONESE David HILBERT ( ) Grundlagen der geometrie, 1899 David HILBERT ( ) Grundlagen der geometrie, 1899HILBERT

42 MORITZ PASCH Moritz PASCH ( ) fu il primo a dare contributi fondamentali alla fondazione della geometria; famoso un suo assioma. Nelle sue Vorlesungen dice: Se la geometria deve diventare una scienza genuinamente deduttiva, è essenziale che il modo in cui sono fatte le inferenze sia del tutto indipendente dal significato dei concetti geometrici, e anche dai disegni. Moritz PASCH ( ) fu il primo a dare contributi fondamentali alla fondazione della geometria; famoso un suo assioma. Nelle sue Vorlesungen dice: Se la geometria deve diventare una scienza genuinamente deduttiva, è essenziale che il modo in cui sono fatte le inferenze sia del tutto indipendente dal significato dei concetti geometrici, e anche dai disegni.PASCH

43 GIUSEPPE PEANO Giuseppe PEANO ( ) nei suoi Principii di geometria (1889), propose un insieme di assiomi per la geometria euclidea. Anchegli mise in evidenza che gli elementi fondamentali non sono definiti ed enunciò il principio secondo il quale ci devono essere meno concetti indefiniti possibili. Egli usò: punti, segmenti e moti. Giuseppe PEANO ( ) nei suoi Principii di geometria (1889), propose un insieme di assiomi per la geometria euclidea. Anchegli mise in evidenza che gli elementi fondamentali non sono definiti ed enunciò il principio secondo il quale ci devono essere meno concetti indefiniti possibili. Egli usò: punti, segmenti e moti.PEANO

44 GIUSEPPE VERONESE Giuseppe VERONESE ( ) Fondamenti di geometria (1891), egli usò come elementi indefiniti rette, segmenti e congruenze di segmenti. Inoltre fu autore di diverse geometrie non archimedee. Giuseppe VERONESE ( ) Fondamenti di geometria (1891), egli usò come elementi indefiniti rette, segmenti e congruenze di segmenti. Inoltre fu autore di diverse geometrie non archimedee.VERONESE

45 HILBERT … chi?! David Hilbert ( ), matematico tedesco nato a Konigsberg, molti lo considerano il più grande matematico del suo tempo soprattutto per limportanza da lui data allidea di struttura. David Hilbert ( ), matematico tedesco nato a Konigsberg, molti lo considerano il più grande matematico del suo tempo soprattutto per limportanza da lui data allidea di struttura. Konigsberg I pregi dei Grundlagen I pregi dei Grundlagenpregi La curva di Hilbert La curva di Hilbertcurva di Hilbertcurva di Hilbert I 23 problemi di Hilbert I 23 problemi di Hilbertproblemi di Hilbertproblemi di Hilbert Grundlagen der Geometrie Grundlagen der Geometrie Grundlagen

46 I SETTE PONTI DI KONIGSBERG Esiste una passeggiata che permetta di attraversare tutti i 7 ponti di Konigsberg passando su ognuno di essi UNA ED UNA SOLA volta? (soluzione) Esiste una passeggiata che permetta di attraversare tutti i 7 ponti di Konigsberg passando su ognuno di essi UNA ED UNA SOLA volta? (soluzione)soluzione Si può partire da una delle 4 zone ( nord, sud, isola A, isola B) ma non stando già su uno dei ponti. Nella fig. a fianco è descritto un percorso che parte dallisola B e termina nella zona sud. Si può partire da una delle 4 zone ( nord, sud, isola A, isola B) ma non stando già su uno dei ponti. Nella fig. a fianco è descritto un percorso che parte dallisola B e termina nella zona sud.

47 SoluzioneSoluzione problema dei 7 ponti Soluzione Definiamo zona di passaggio una zona toccata da un numero pari di ponti e zona non di passaggio una zona toccata da un numero dispari di ponti. Definiamo zona di passaggio una zona toccata da un numero pari di ponti e zona non di passaggio una zona toccata da un numero dispari di ponti. Se vogliamo realizzare una passeggiata che attraversi ogni ponte una ed una sola volta possono esserci al più due zone non di passaggio: una di partenza e una di arrivo. Contiamo quanti ponti toccano ogni zona: 5 lisola A e 3 tutte le altre zone. Quindi abbiamo 4 zone non di passaggio: TROPPE!!!

48 Altri problemi simili ai 7 ponti Sapete trovare un modo per disegnare la casetta qui a fianco senza mai staccare la matita dal foglio? Sapete trovare un modo per disegnare la casetta qui a fianco senza mai staccare la matita dal foglio? E la busta chiusa qui a fianco? E la busta chiusa qui a fianco? E se la apriamo? E se la apriamo? SOLUZIONI SOLUZIONI SOLUZIONI

49 Ci sono esattamente due zone non di passaggio: A (da cui escono 3 linee) e B (da cui ne escono 5) Ci sono esattamente due zone non di passaggio: A (da cui escono 3 linee) e B (da cui ne escono 5) Anche qui 2 zone non di passaggio (i 2 vertici in alto del rettangolo) Anche qui 2 zone non di passaggio (i 2 vertici in alto del rettangolo) Nella busta aperta tutti i punti sono zone di passaggio, quindi anche in questo caso esiste una soluzione Nella busta aperta tutti i punti sono zone di passaggio, quindi anche in questo caso esiste una soluzione

50 Hilbert fu preferito ad altri perché: Rappresenta il sistema di assiomi per la geometria (proiettiva) più semplice per i suoi concetti e per i suoi enunciati, ed è più vicino di altri a quello di Euclide Rappresenta il sistema di assiomi per la geometria (proiettiva) più semplice per i suoi concetti e per i suoi enunciati, ed è più vicino di altri a quello di Euclide A partire dai suoi assiomi Hilbert dimostrò alcuni teoremi fondamentali della geometria euclidea (altri mostrarono che tutta la geom. Euclidea discende dagli assiomi) A partire dai suoi assiomi Hilbert dimostrò alcuni teoremi fondamentali della geometria euclidea (altri mostrarono che tutta la geom. Euclidea discende dagli assiomi) Hilbert dimostrò che tutti gli assiomi di un certo gruppo non possono essere dedotti dagli assiomi degli altri quattro gruppi (problema dellindipendenza) Hilbert dimostrò che tutti gli assiomi di un certo gruppo non possono essere dedotti dagli assiomi degli altri quattro gruppi (problema dellindipendenza) Una delle caratteristiche più belle degli assiomi di Hilbert è che gli assiomi per la geometria non euclidea iperbolica si ottengono immediatamente sostituendo lassioma euclideo delle parallele con lassioma di Lobatchevsky-Bolyai, tutti gli altri assiomi del sistema di Hilbert restano invariati. Una delle caratteristiche più belle degli assiomi di Hilbert è che gli assiomi per la geometria non euclidea iperbolica si ottengono immediatamente sostituendo lassioma euclideo delle parallele con lassioma di Lobatchevsky-Bolyai, tutti gli altri assiomi del sistema di Hilbert restano invariati. Per ottenere gli assiomi per la geometria non euclidea ellittica, oltre ad abbandonare lassioma euclideo delle parallele in favore dellassioma di Riemann, si devono cambiare anche altri assiomi. Per ottenere gli assiomi per la geometria non euclidea ellittica, oltre ad abbandonare lassioma euclideo delle parallele in favore dellassioma di Riemann, si devono cambiare anche altri assiomi.

51 LA CURVA DI HILBERT" Il nome di Hilbert è legato a una semplice curva che riempie lo spazio. Essa viene generata continuando allinfinito il seguente processo: suddividiamo un quadrato unitario in 4 quadrati uguali e congiungiamo i loro punti centrali con una linea spezzata aperta formata da 3 segmenti; ora dividiamo ogni quadratino in altri 4 quadrati uguali e congiungiamo i centri dei 16 quadrati così ottenuti con una nuova linea spezzata; e così via allinfinito. La curva di Hilbert è il limite delle successive curve poligonali costruite ad ogni passo. Il nome di Hilbert è legato a una semplice curva che riempie lo spazio. Essa viene generata continuando allinfinito il seguente processo: suddividiamo un quadrato unitario in 4 quadrati uguali e congiungiamo i loro punti centrali con una linea spezzata aperta formata da 3 segmenti; ora dividiamo ogni quadratino in altri 4 quadrati uguali e congiungiamo i centri dei 16 quadrati così ottenuti con una nuova linea spezzata; e così via allinfinito. La curva di Hilbert è il limite delle successive curve poligonali costruite ad ogni passo.riempie lo spazio seguente processoriempie lo spazio seguente processo

52 La costruzione della curva di Hilbert 1

53 La costruzione della curva di Hilbert 2

54 con un segmento ti copro un quadrato La curva di Hilbert fornì un altro esempio di applicazio- ne continua di un segmento in un quadrato: infatti, poiché sia i sottoquadrati che le parti del segmento unitario si contraggono ad un punto al procedere della suddivisione, possiamo vedere intuitivamente che ad ogni punto del segmento unitario corrisponde un punto del quadrato. La curva di Hilbert fornì un altro esempio di applicazio- ne continua di un segmento in un quadrato: infatti, poiché sia i sottoquadrati che le parti del segmento unitario si contraggono ad un punto al procedere della suddivisione, possiamo vedere intuitivamente che ad ogni punto del segmento unitario corrisponde un punto del quadrato.curva

55 Altre curve fastidiose curve La curva di Giuseppe Peano ( ) La curva di Giuseppe Peano ( )curva Il fiocco di neve di HelgeVon Koch ( ) Il fiocco di neve di HelgeVon Koch ( )fiocco di neve fiocco di neve

56 La curva di Peano curva

57 La curva di Von Koch curva

58 I 23 PROBLEMI DI HILBERT Hilbert viaggiò molto, specialmente per partecipare ai congressi internazionali di matematica, che sono diventati caratteristici nel XX secolo. Il primo congresso ufficiale di matematica fu tenuto a Zurigo nel 1893, il secondo a Parigi nel 1900, e da allora in poi si sono ripetuti più o meno regolarmente ogni 4 anni. A quello di Parigi, Hilbert, che era già un professore famoso a Gottinga, presentò una relazione in cui proponeva 23 problemi che a suo giudizio sarebbero stati o avrebbero dovuto essere quelli che maggiormente avrebbero impegnato lattenzione dei matematici del XX secolo. Hilbert viaggiò molto, specialmente per partecipare ai congressi internazionali di matematica, che sono diventati caratteristici nel XX secolo. Il primo congresso ufficiale di matematica fu tenuto a Zurigo nel 1893, il secondo a Parigi nel 1900, e da allora in poi si sono ripetuti più o meno regolarmente ogni 4 anni. A quello di Parigi, Hilbert, che era già un professore famoso a Gottinga, presentò una relazione in cui proponeva 23 problemi che a suo giudizio sarebbero stati o avrebbero dovuto essere quelli che maggiormente avrebbero impegnato lattenzione dei matematici del XX secolo.23 problemi 23 problemi

59 La matematica è una scienza viva! Se vogliamo farci unidea del probabile sviluppo della conoscenza matematica nellimmediato futuro, dobbiamo passare in rassegna davanti alla nostra mente le questioni irrisolte e guardare ai problemi che la scienza moderna ha di fronte e la cui soluzione ci aspettiamo dal futuro. Se vogliamo farci unidea del probabile sviluppo della conoscenza matematica nellimmediato futuro, dobbiamo passare in rassegna davanti alla nostra mente le questioni irrisolte e guardare ai problemi che la scienza moderna ha di fronte e la cui soluzione ci aspettiamo dal futuro. I problemi proposti da Hilbert interessavano la topologia, le equazioni differenziali, il calcolo delle variazioni, la struttura del continuo dei numeri reali, gli assiomi dellaritmetica e altre branche della matematica. Circa metà di essi sono rimasti irrisolti, anche perché la matematica si è sviluppata in parecchie direzioni che non erano state minimamente anticipate nel I problemi proposti da Hilbert interessavano la topologia, le equazioni differenziali, il calcolo delle variazioni, la struttura del continuo dei numeri reali, gli assiomi dellaritmetica e altre branche della matematica. Circa metà di essi sono rimasti irrisolti, anche perché la matematica si è sviluppata in parecchie direzioni che non erano state minimamente anticipate nel Fin tanto che una disciplina scientifica presenta una grande quantità di problemi, essa continua ad essere viva. Fin tanto che una disciplina scientifica presenta una grande quantità di problemi, essa continua ad essere viva.

60 STRUTTURA DEI GRUNDLAGEN GRUNDLAGEN SISTEMA DI ASSIOMI DI HILBERT SISTEMA DI ASSIOMI DI HILBERT 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE CONNESSIONE 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO ORDINAMENTO 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA CONGRUENZA ASSIOMA DELLE PARALLELE ASSIOMA DELLE PARALLELE PARALLELE 2 ASSIOMI DI CONTINUITA 2 ASSIOMI DI CONTINUITA CONTINUITA

61 I GRUNDLAGEN IN SINTESI Hilbert apre i Grundlagen con la seguente frase di Kant:Ogni conoscenza umana parte da intuizioni, procede attraverso concetti e culmina in idee; Hilbert apre i Grundlagen con la seguente frase di Kant:Ogni conoscenza umana parte da intuizioni, procede attraverso concetti e culmina in idee; subito dopo elenca i concetti indefiniti: subito dopo elenca i concetti indefiniti:concetti indefiniticoncetti indefiniti punto, retta, piano, giacere su, stare fra, congruenza di coppie di punti e congruenza di angoli; poi presenta il suo sistema di assiomi che riunisce in un solo insieme la geometria euclidea piana e solida. poi presenta il suo sistema di assiomi che riunisce in un solo insieme la geometria euclidea piana e solida. Gli assiomi sono suddivisi in 5 gruppi: assiomi di connessione, assiomi di ordinamento, assiomi di congruenza, assioma delle parallele e assiomi di continuità.

62 … tavoli, sedie e boccali di birra … Secondo Hilbert, non è necessario assegnare alcun significato esplicito ai concetti indefiniti. Questi elementi, punto, retta, piano ed altri, potrebbero essere sostituiti, come disse Hilbert stesso, da TAVOLI, SEDIE, BOCCALI DI BIRRA e da altri oggetti. Gli assiomi non sono verità evidenti in sé, ma devono essere considerati arbitrari, anche se, di fatto, sono suggeriti dallesperienza Secondo Hilbert, non è necessario assegnare alcun significato esplicito ai concetti indefiniti. Questi elementi, punto, retta, piano ed altri, potrebbero essere sostituiti, come disse Hilbert stesso, da TAVOLI, SEDIE, BOCCALI DI BIRRA e da altri oggetti. Gli assiomi non sono verità evidenti in sé, ma devono essere considerati arbitrari, anche se, di fatto, sono suggeriti dallesperienza concetti indefiniti concetti indefiniti

63 GLI 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE (o di incidenza) 1. Per ogni coppia di punti A e B, esiste una retta a che giace su A e B 2. Per ogni coppia di punti A e B, esiste al più una retta a che giace su A e B 3. Su ogni retta ci sono almeno due punti. Esistono almeno tre punti che non giacciono su una retta 4. Per ogni terna di punti A, B, C che non giacciono su una retta, esiste un piano α che giace su questi tre punti. Su ogni piano cè almeno un punto 5. Per ogni terna di punti non allineati A, B, C esiste non più di un piano che li contiene 6. Se due punti di una retta a giacciono su un piano α, allora ogni punto sulla retta giace su α 7. Se due piani α e β hanno un punto A in comune, allora hanno almeno un altro punto B in comune 8. Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano

64 I 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO 1. Se un punto B giace fra i punti A e C, allora A, B, C sono tre punti diversi su una retta e inoltre B giace anche fra C e A B giace fra i punti A e CB giace fra i punti A e C 2. Per ogni coppia di punti A e C esiste almeno un punto B sulla retta AC tale che C giace fra A e B C giace fra A e BC giace fra A e B 3. Fra tre punti qualsiasi su una retta non più di uno giace fra gli altri due DEF. Siano A e B due punti su una retta a, la coppia di punti A, B oppure B, A è detta SEGMENTO AB. I punti fra A e B sono detti punti del segmento AB o interni al segmento AB. A e B sono detti estremi del segmento. Si dice che sono esterni al segmento tutti gli altri punti della retta a. 4. (Assioma di Pasch) Siano A, B, C tre punti che non giacciono su una retta e sia a una retta qualsiasi nel piano di A, B, C che non passa per A, B e C. Se a passa per un punto del segmento AB, allora deve passare anche per un punto del segmento AC o per un punto del segmento BC Assioma di PaschAssioma di Pasch

65 I 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA 1. Se A, B sono due punti di una retta a e A è un punto di a o di unaltra retta a, allora su un lato fissato (definito in precedenza) di A sulla retta a si può trovare un punto B tale che il segmento AB sia congruente al segmento AB. In simboli AB AB 2. Se AB e AB sono congruenti ad AB, allora AB AB 3. Siano AB e BC due segmenti su una retta a privi di punti interni comuni, e siano AB e BC segmenti su una retta a privi di punti interni comuni. Se AB AB e BC BC, allora AC AC AC AC AC 4. Supponiamo che langolo <(h,k) giaccia su un piano α e che la retta a giaccia su un piano α. Sia fissato un lato di a su α. Sia h un raggio di a che emana da un punto O. Allora in α esiste uno ed un solo raggio k tale che langolo <(h,k) è congruente allangolo <(h,k) e tale che tutti i punti interni di <(h,k) giacciano su un lato fissato di a: in simboli <(h,k) <(h,k). Inoltre ogni angolo è congruente a se stesso. 5. Se per due triangoli ABC e ABC si ha che AB AB, AC AC e gli angoli

66 LASSIOMA DELLE PARALLELE LASSIOMA DELLE PARALLELE Sia a una retta e A un punto non di a. Allora nel piano di a e A esiste al più una retta per A che non incontra a. OSS. Lesistenza di almeno una retta per A che non interseca a può essere dimostrata e quindi non è necessaria in questo assioma

67 I 2 ASSIOMI DI CONTINUITA 1. (Assioma di Archimede) Assioma di ArchimedeAssioma di Archimede Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla retta AB una famiglia di punti A 1, A 2, … A n tali che i segmenti AA 1, A 1 A 2, … A n- 1 A n sono congruenti a CD e tali che B giace fra A e A n. 2. (Assioma di completezza lineare) I punti di una retta formano una collezione di punti che, soddisfacendo gli assiomi di connessione, di ordinamento, di congruenza e di Archimede, non possono essere estesi ad una collezione più grande che continui a soddisfare gli stessi assiomi.

68 AB C ABC a A B C Primo assioma di ordinamento Primo assioma di ordinamento Primo assioma Primo assioma Secondo assioma di ordinamento Secondo assioma di ordinamento Assioma di Pasch Assioma di Pasch

69 a ABC a CBA A a Terzo assioma di congruenza Terzo assioma di congruenza congruenza Assioma delle parallele Assioma delle paralleleparallele Assioma di Archimede Assioma di ArchimedeArchimede AA1A1 AnAn BA2A2 A n-1 CD

70 Il significato culturale della geometria culturale La geometria è stata al centro di momenti cruciali per lo sviluppo della scienza, anzi della civiltà occidentale:La geometria è stata al centro di momenti cruciali per lo sviluppo della scienza, anzi della civiltà occidentale: di più essa ne è stata spesso il motore. Francesco Speranza Purtroppo la divisione delle due culture (scientifica e umanistica) è stata particolarmente nociva per la matematica e per la filosofia che costituivano fino allinizio dellOttocento una cerniera fra le due visioni del mondo. La matematica è stata percepita dallopinione pubblica principalmente (se non esclusivamente) come, perdendo così gran parte del suo fascino. Purtroppo la divisione delle due culture (scientifica e umanistica) è stata particolarmente nociva per la matematica e per la filosofia che costituivano fino allinizio dellOttocento una cerniera fra le due visioni del mondo. La matematica è stata percepita dallopinione pubblica principalmente (se non esclusivamente) come strumento di calcolo, perdendo così gran parte del suo fascino. Non è raro trovare in qualche popolare talk-show televisivo importanti ed affermati personaggi del mondo della politica, della medicina o dello spettacolo che si vantano di aver raggiunto la loro posizione sociale senza aver mai capito nulla di matematica. Non è raro trovare in qualche popolare talk-show televisivo importanti ed affermati personaggi del mondo della politica, della medicina o dello spettacolo che si vantano di aver raggiunto la loro posizione sociale senza aver mai capito nulla di matematica. Ma allora la tesi di Speranza ricordata poco sopra è falsa? E se invece è vera, dove possiamo trovare argomenti che la sostengano?

71 GEOMETRIA E CULTURA (solo alcuni esempi) Geometria e filosofia Geometria e filosofiafilosofia Geometria ed epistemologia Geometria ed epistemologiaepistemologia Geometria ed arte Geometria ed artearte

72 Rapporto geometria-filosofia La crisi delle grandezze incommensurabli, viene liquidata come un problema tecnico: linadeguatezza della matematica greca, e ci si addentra in un mare di calcoli prevalentemente senza interesse culturale La crisi delle grandezze incommensurabli, viene liquidata come un problema tecnico: linadeguatezza della matematica greca, e ci si addentra in un mare di calcoli prevalentemente senza interesse culturale (i radicali). radicali Basterebbe sottolineare che questa crisi sconvolse lidea del mondo per i platonici (insieme finito di punti- atomi) e soprattutto, mettendo in crisi quello che i sensi sembravano asserire in modo incontrovertibile, portò i pensatori greci allidea che solo la ragione può condurre alla vera conoscenza: nascita dellidealismo. Basterebbe sottolineare che questa crisi sconvolse lidea del mondo per i platonici (insieme finito di punti- atomi) e soprattutto, mettendo in crisi quello che i sensi sembravano asserire in modo incontrovertibile, portò i pensatori greci allidea che solo la ragione può condurre alla vera conoscenza: nascita dellidealismo.

73 Rapporto tra geom. non euclidee e nuovo razionalismo Lidea di introdurre elementi di geom. non euclidea nei programmi della scuola superiore è ottima, ma cè il rischio che, invece di sviluppare le idee più profonde scaturite dalla rivoluzione non euclidea, ci si limiti a dimostrare qualche ulteriore teorema magari accompagnato da alcune sparse notizie storiche. Lidea di introdurre elementi di geom. non euclidea nei programmi della scuola superiore è ottima, ma cè il rischio che, invece di sviluppare le idee più profonde scaturite dalla rivoluzione non euclidea, ci si limiti a dimostrare qualche ulteriore teorema magari accompagnato da alcune sparse notizie storiche. I principali aspetti epistemologici da mettere in risalto dovrebbero essere: il superamento della vecchia concezione della geometria; la possibilità di pensare per modelli; la doppia natura della geometria: scienza empirica e scienza astratta (descrittrice della realtà e ideatrice di strutture astratte) I principali aspetti epistemologici da mettere in risalto dovrebbero essere: il superamento della vecchia concezione della geometria; la possibilità di pensare per modelli; la doppia natura della geometria: scienza empirica e scienza astratta (descrittrice della realtà e ideatrice di strutture astratte) pensare per modelli pensare per modelli il nuovo razionalismo non può svilupparsi se non in stretta interazione con il pensiero scientifico e poiché il pensiero scientifico si trasforma, anche il nuovo razionalismo non può pretendere in alcun momento di aver trovato la soluzione definitiva ai problemi epistemologici.(Gonseth, 1937) il nuovo razionalismo non può svilupparsi se non in stretta interazione con il pensiero scientifico e poiché il pensiero scientifico si trasforma, anche il nuovo razionalismo non può pretendere in alcun momento di aver trovato la soluzione definitiva ai problemi epistemologici.(Gonseth, 1937)

74 Modelli di Geometrie Non Euclidee Geometrie Non EuclideeGeometrie Non Euclidee Modello di Poincarè, geom iperbolica Modello di Poincarè, geom iperbolica Modello di Poincarègeom iperbolica Modello di Poincarègeom iperbolica Modello di geometria ellittica Modello di geometria ellittica Modello di geometria ellittica Modello di geometria ellittica Modello di Modello di geometria geometria iperbolica

75 Modello di Poincaré È un modello per la geometria iperbolica piana: È un modello per la geometria iperbolica piana:geometria iperbolica geometria iperbolica il piano è un cerchio; le rette sono archi di cerchio (interni al cerchio fissato, che lo tagliano ortogonalmente) e le rette per il suo centro. Data una retta r ed un punto P che non le appartiene, esistono infinite rette passanti per P e parallele ad r. Data una retta r ed un punto P che non le appartiene, esistono infinite rette passanti per P e parallele ad r.

76 Le rotte aeree sono archi di cerchi massimi È un modello per la geometria ellittica: È un modello per la geometria ellittica: geometria ellittica geometria ellittica il piano è la superficie di una sfera; le rette sono cerchi massimi sulla sfera ( ad esempio lequatore e i meridiani terrestri) Data una retta r ed un punto P che non le appartiene, non esiste alcuna retta passante per P e parallela ad r. Data una retta r ed un punto P che non le appartiene, non esiste alcuna retta passante per P e parallela ad r.

77 Rapporto geometria-arte LeonBattista Alberti (1435) e Piero della Francesca (1478) Albrecht Durer (1525) anticipano di circa 200 anni la geometria proiettiva e con linvenzione della prospettiva e del punto di fuga sconfiggono lhorror infiniti dei greci LeonBattista Alberti (1435) e Piero della Francesca (1478) Albrecht Durer (1525) anticipano di circa 200 anni la geometria proiettiva e con linvenzione della prospettiva e del punto di fuga sconfiggono lhorror infiniti dei greci A lato: Flagellazionedi Cristo, di Piero della Francesca(Galleria Nazionale delle Marche, Urbino) eCreazione meccanica dellimmagine prospettica, di Albrecht Durer A lato: Flagellazionedi Cristo, di Piero della Francesca(Galleria Nazionale delle Marche, Urbino) eCreazione meccanica dellimmagine prospettica, di Albrecht Durer

78 geometria e arte: MAURITS CORNELIS ESCHER

79

80

81

82

83 Gruppi di trasformazioni in MAURITS CORNELIS ESCHER

84 Gruppi di trasformazioni nellARTE ARABA

85 BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE Carl B. BOYER, Storia della matematica, Arnoldo Mondadori Editore Carl B. BOYER, Storia della matematica, Arnoldo Mondadori Editore Morris KLINE, Storia del pensiero matematico, Biblioteca Einaudi Morris KLINE, Storia del pensiero matematico, Biblioteca Einaudi Francesco SPERANZA, Scritti di epistemologia della matematica, Pitagora Editrice Bologna Francesco SPERANZA, Scritti di epistemologia della matematica, Pitagora Editrice Bologna R. COURANT e H. ROBBINS, Che cosè la matematica?, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri R. COURANT e H. ROBBINS, Che cosè la matematica?, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri A.D. ALEKSANDROV, A.N. KOLMOGOROV, M.A. LAVRENTEV, Le matematiche, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri A.D. ALEKSANDROV, A.N. KOLMOGOROV, M.A. LAVRENTEV, Le matematiche, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri Nikolaj LOBACEVSKIJ, Nuovi principi della geometria (con una teoria completa delle parallele), Serie Scientifica, Bollati Boringhieri Nikolaj LOBACEVSKIJ, Nuovi principi della geometria (con una teoria completa delle parallele), Serie Scientifica, Bollati Boringhieri Bernhard RIEMANN, Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri Bernhard RIEMANN, Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri Emma CASTELNUOVO, Pentole, ombre, formiche (in viaggio con la matematica), La Nuova Italia Emma CASTELNUOVO, Pentole, ombre, formiche (in viaggio con la matematica), La Nuova Italia M.C. ESCHER, Grafica e disegni, Taschen M.C. ESCHER, Grafica e disegni, Taschen

86 RINGRAZIO: Anna, Giorgia e Riccardo per la loro pazienza nei miei confronti e per lamore che sempre mi donano; Anna, Giorgia e Riccardo per la loro pazienza nei miei confronti e per lamore che sempre mi donano; Laura per avermi trasmesso la passione per la ricerca e il desiderio di capire; Laura per avermi trasmesso la passione per la ricerca e il desiderio di capire; Il Prof. Eugeni e la Prof.ssa Ghiraldini per avermi dato loccasione di realizzare questo lavoro. Il Prof. Eugeni e la Prof.ssa Ghiraldini per avermi dato loccasione di realizzare questo lavoro.


Scaricare ppt "UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TERAMO MASTER UNIVERSITARIO DI I LIVELLO ANNO ACCADEMICO 2003/2004."

Presentazioni simili


Annunci Google