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DI SECONDO GRADO EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INTRODUZIONE La seguente presentazione è un esempio di unità didattica contestualizzabile in un percorso didattico.

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1 DI SECONDO GRADO EQUAZIONI DI SECONDO GRADO INTRODUZIONE La seguente presentazione è un esempio di unità didattica contestualizzabile in un percorso didattico riferito al programma di matematica di un istituto professionale. E rivolta non solo agli studenti di una classe seconda superiore,ma anche agli adulti che intendono conseguire il diploma di scuola secondaria di II grado attraverso una formazione a distanza. Lunità didattica è ampliabile e integrabile con linterazione diretta col docente attraverso gli strumenti offerti dalla piattaforma on line o in presenza dellinsegnante

2 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO METODOLOGIA Poiché acquisire la tecnica per risolvere equazioni di 2° grado è fondamentale per tutto il percorso didattico che seguirà, lunità didattica è stata sviluppata mettendo in rilievo le nozioni basilari e i saperi essenziali che consentono allo studente di raggiungere tale obiettivo. A tale scopo, dopo la trattazione di ogni unità di apprendimento sono stati introdotti: esercizi svolti per esemplificare regole ed applicazioni; esercizi guidati per permettere allo studente sia di verificare immediatamente quanto appreso sia di ottenere gratificazione e motivazione; esercizi da svolgere. Al termine dellunità didattica: brevi test o domande a risposta aperta consentono un ripasso generale dellargomento. Link utili per un lavoro di personale approfondimento.

3 EQUAZIONI DI 2° GRADO PREREQUISITI Per affrontare questa unità didattica lo studente deve saper: Eseguire operazioni con numeri naturali, interi relativi e razionali relativi Risolvere equazioni di primo grado Calcolare radici quadrate OBIETTIVI In questa unità didattica lo studente imparerà: A riconoscere la forma normale di unequazione di II grado A distinguere tra equazioni complete, pure e spurie A conoscere ed applicare la formula risolutiva A conoscere il significato del discriminante A risolvere equazioni complete, pure e spurie

4 CONTENUTI Equazioni complete Equazioni completeEquazioni completeEquazioni complete Formula risolutiva Formula risolutivaFormula risolutivaFormula risolutiva Significato del discriminante Significato del discriminanteSignificato del discriminanteSignificato del discriminante Equazioni incomplete Equazioni incompleteEquazioni incompleteEquazioni incomplete Equazioni incomplete pure Equazioni incomplete pureEquazioni incomplete pureEquazioni incomplete pure Equazioni incomplete spurie Equazioni incomplete spurieEquazioni incomplete spurieEquazioni incomplete spurie Libro di riferimento: Mario Lepora ELEMENTI DI MATEMATICA per gli Istituti Professionali vol 2 Petrini editore

5 EQUAZIONI COMPLETE La forma normale di unequazione di 2° grado completa è: a x 2 + b x + c = 0 con a, b, c numeri reali e a 0

6 FORMULA RISOLUTIVA Per risolvere unequazione di secondo grado completa si applica la formula: x = - b ± b 2 – 4ac 2a Lespressione che appare sotto il segno di radice b 2 – 4ac si chiama discriminante dellequazione e si indica con la lettera greca ( delta ).

7 SIGNIFICATO DEL DISCRIMINANTE : Il segno di determina le soluzioni di unequazione di secondo grado: Se > 0 > 0 lequazione ammette due soluzioni reali e distinte Se = 0 = 0 lequazione ammette due soluzioni reali e coincidenti Se < 0 < 0 Lequazione non ammette soluzioni

8 ESEMPIO 1 x 2 – 4x + 3 = 0 a = 1, b = - 4, c = 3 x = 4 ± 16 – 4·1·3 = 4 ±4 = 4 ± > 0 X 1 = 1 X 2 = 3 DUE SOLUZIONI REALI E DISTINTE

9 ESEMPIO 2 x 2 + 6x + 9 = 0 a = 1, b = 6, c = 9 x = -6 ± 36 – 4·1·9 = 4 ±0 = 4 ± = 0 X 1 = 2 X 2 = 2 DUE SOLUZIONI REALI E COINCIDENTI

10 ESEMPIO 3 x 2 + x + 5 = 0 a = 1, b = 1, c = 5 x = -1± 1– 4·1·5 = -1± < 0 EQUAZIONE IMPOSSIBILE

11 Esercizio guidato 1 8x 2 -10x + 3 = 0 Si applica la formula risolutiva: x = 10 ± 100 – 96 = Le soluzioni sono: x 1 = x 2 =

12 Esercizio guidato 2 3x 2 + 4x + 5 = 0 Si applica la formula risolutiva: x = - 4 ± 16 – 60 = 6 Le soluzioni sono:

13 Esercizio guidato 3 4x x + 49 = 0 Si applica la formula risolutiva: x = 28 ± = 8 Le soluzioni sono:

14 Soluzioni esercizi guidati equazioni complete 1. x 1 = 1/2 x 2 = ¾ 2. Lequazione non ammette soluzioni reali 3. x 1 =x 2 = 7/2

15 da svolgere Esercizi da svolgere 1. x 2 - 2x - 8 = 0 x 1 = -2 x 2 = x 2 - 7x - 4 = 0 x 1 = -1/3 x 2 = 4/5 3. x 2 + 4x - 12 = 0 x 1 = 2 x 2 = x 2 - 6x + 9 = 0 x 1 = x 2 = 3 5. x 2 - 8x + 7 = 0 x 1 = 7 x 2 = x 2 - 3x - 2 = 0 x 1 = 1 x 2 = -2/5 7. 3x 2 +5x + 42 = 0 impossibile 8. 9x x - 6 = 0 x 1 = -2 x 2 = 1/ x x + 64 = 0 x 1 = 4/5 x 2 = 16/ x x - 12 = 0 x 1 = -2 x 2 = 2/3

16 EQUAZIONI INCOMPLETE Se b = 0 lequazione diventa a x 2 + c = 0 e si chiama equazione PURAPURA Se c = 0 lequazione diventa a x 2 + bx = 0 e si chiama equazione SPURIASPURIA

17 EQUAZIONI PURE Le equazioni pure si risolvono isolando il termine con lincognita: ax 2 + c = 0 ax 2 = - c x = ±-c/a ESEMPI

18 ESEMPI di equazioni pure x 2 – 16 = 0 x 2 = 16 x = ± 4 25x 2 – 4 = 0 x 2 = 4/25 x = ± 2/5 x = 0 x 2 = - 9 x = ± - 9 Equazione impossibile Le soluzioni di unequazione pura, se esistono, sono numeri opposti.

19 Esercizi guidati equazioni pure 1. 2x = 0 2x 2 = 18 x 2 = x = 0 2x 2 = 18 x 2 = 9 x = 2. x = 0 x 2 = x = 3. 4x = 0 4x 2 = x 2 = x = 4. x = 0 x 2 = lequazione è

20 Soluzioni esercizi guidati equazioni pure 1. x = ± 3 2. x = ± 4 3. x = ± 5/2 4. impossibile

21 Esercizi da svolgere equazioni pure 1. x 2 = 49 x = ± 7 2. x = 0 x = ± 6 3. x = 0 x = ± x = 0 x = ± x = 0 x = ± x = 0 x = ± x = 0 x = ± x = 0 impossibile 9. 3x 2 = -27 impossibile 10. 2x = 0 x = ± 4

22 EQUAZIONI SPURIE Le equazioni spurie si risolvono raccogliendo x ed applicando la legge di annullamento del prodotto, secondo la quale il prodotto di due fattori è zero se almeno uno di essi è zero. ax 2 + bx = 0 x = 0 x = 0 x( ax + b ) = 0 ax + b = 0 x = - b/a ESEMPI

23 ESEMPI di equazioni spurie x 2 – 4x = 0 x 1 = 0 x( x – 4) = 0 x – 4 = 0 x 2 = 4 3x 2 + 5x = 0 x 1 = 0 x( 3x + 5 ) = 0 3x + 5 = 0 x 2 = -5/3 Lequazione spuria ha due soluzioni reali una delle quali sempre uguale a zero

24 Esercizi guidati equazioni spurie 1. 7x 2 + 4x = 0 x = 0 x ( 7x + 4 ) = 0 x ( 7x + 4 ) = 0 7x + 4 = 0 x = 7x + 4 = 0 x = 2. 5x 2 – x = 0 x ( ) = 0 x ( ) = 0

25 Soluzioni esercizi guidati equazioni spurie 1. x = 0 x = - 4/7 2. x = 0 x = 1/5

26 Esercizi da svolgere equazioni spurie 1. 3x 2 - 4x = 0 x = 0 x = 4/3 2. 8x x = 0 x = 0 x = x 2 + 5x = 0 x = 0 x = - 1/5 4. 7x 2 - 2x = 0 x = 0 x = 2/7 5. 9x x = 0 x = 0 x = x 2 + x = 0 x = 0 x = - 1/ x x = 0 x = 0 x = x x = 0 x = 0 x = x 2 - 6x = 0 x = 0 x = 3/ x 2 + 5x = 0 x = 0 x = - 1

27 ax 2 + bx + c = 0 Nome equazioneSoluzioniTipo di soluzioni b 0, c 0completax = -b± 2a Se > 0 reali distinte Se = 0 reali coincidenti Se < 0 nessuna soluzione b = 0, c 0purax = ±-c/aSe esistono, sono opposte b 0, c = 0spuriax 1 = 0 x 2 = -b/a Reali distinte

28 VERIFICA test Riconosci, tra le seguenti espressioni, lequazione di II grado Riconosci, tra le seguenti espressioni, lequazione di II grado a) x + 1= 2x 2 b) x – 2x + 1 = 0 c) 3x 2 – 4x +2 d) 4x 3 -5 x 2 +3 = 0 Riconosci, tra le seguenti, lequazione di II grado completa Riconosci, tra le seguenti, lequazione di II grado completa a) 3 x 2 -x = 0 b) x 2 - x - 3= 0 c) x = 0 d) 5 x 2 = 0 Riconosci, tra le seguenti, lequazione di II grado spuria Riconosci, tra le seguenti, lequazione di II grado spuria a) 3 x 2 -x = 0 b) x 2 - x - 3= 0 c) x = 0 d) 5 x 2 = 0

29 test Riconosci, tra le seguenti, lequazione di II grado pura Riconosci, tra le seguenti, lequazione di II grado pura a) 3 x 2 -x = 0 b) x 2 - x - 3= 0 c) x = 0 d) 5 x 2 = 0 Riconosci lequazione di II grado completa ridotta a forma normale Riconosci lequazione di II grado completa ridotta a forma normale a) 3 x 2 = x – 5 b) 4 x 2 + 7x – 2x +3 = 0 c) 4 x 2 + 3x - 1 = 0 Individua i coefficienti a,b e c delle seguenti equazioni Individua i coefficienti a,b e c delle seguenti equazioni a) 4 x 2 - 8x + 3 = 0 a = b = c = b) 3x x = 0 a = b = c = c) 2x – 3x = 0 a = b = c =

30 test La formula risolutiva dellequazione completa di II grado è: La formula risolutiva dellequazione completa di II grado è: a) x = b ± b 2 + 4ac 2 a 2 a b) x = b ± -b 2 – 4ac 2 a 2 a c) x = -b ± b 2 – 4ac 2 c 2 c d) x = - b ± b 2 – 4ac 2 a 2 a

31 VERIFICA domande aperte Data lequazione 2x 2 - 3x + 5 = 0, applica la formula risolutiva Data lequazione 2x 2 - 3x + 5 = 0, applica la formula risolutiva Risolvi le equazioni Risolvi le equazioni 3 x 2 - 6x + 3 = 0 3 x 2 - 6x = 0 3 x = 0 Scrivi la formula del Scrivi la formula del Completa le seguenti frasi Completa le seguenti frasi Se risulta ….. 0, lequazione ha ……………………………………….

32 LINK UTILI Per approfondire largomento si segnalano i seguenti siti:


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