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Trasformata di Laplace Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria

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Presentazione sul tema: "Trasformata di Laplace Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria"— Transcript della presentazione:

1 Trasformata di Laplace Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria

2 Numeri complessi Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come: x y

3 Numeri complessi Modulo Fase

4 Numeri complessi x y Forma trigonometrica Ricordando le formule di Eulero:

5 Numeri complessi x y Forma esponenziale

6 Numeri complessi

7 La trasformata di Laplace è un operatore che associa ad una funzione del temo f(t) definita per t0 una funzione F(s) a valori complessi definita per valori della variabile complessa s. Lutilizzo delle trasformate di Laplace consente di semplificare notevolmente i calcoli nella risoluzione di equazioni differenziali: operazioni di derivazione ed integrazione nel dominio del tempo corrispondono ad operazioni di tipo algebrico nel dominio delle trasformate.

8 Problema differenziabile Soluzione del problema differenziabile Problema algebrico Soluzione del problema algebrico

9 Qualsiasi funzione f(t), per cui esiste un valore della variabile s tale che lintegrale è finito, si dice trasformabile secondo Laplace. Linsieme di tutti i valori complessi s per cui esiste, finito, lintegrale e quindi la funzione F(s), viene detto dominio di convergenza, ed è rappresentato da un semipiano del piano s, posto a destra di una retta parallela allasse immaginario, di equazione Re[s]=σ 0. Tale retta viene denominata asse di convergenza ed il valore σ 0 ascissa di convergenza.

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11 Re[s] Im[s] Gradino

12 Proprietà di linearità

13 Rampa unitaria

14 Esponenziale

15 Cosinusoide

16 Sinusoide

17 Traslazione

18 Impulso Larea sottesa vale A

19 Funzione impulsiva

20 Impulso di Dirac

21 Ogni segnale x(t) può essere espresso come convoluzione con limpulso di Dirac Dim: Per il teorema del valor medio: Risposta allimpulso

22 Impulso di Dirac Luscita del sistema allingresso x(t) sarà del tipo: Il segnale in uscita può essere calcolato attraverso la convoluzione del segnale di ingresso con la risposta impulsiva.

23 Impulso di Dirac Problemi La risposta impulsiva di un sistema può essere ricavata applicando in ingresso un segnale che approssimi limpulso di Dirac e misurando luscita corrispondente. Limpulso di Dirac è unastrazione matematica che può solo essere approssimata. In molti casi non è possibile né conveniente applicare al sistema una sollecitazione impulsiva per non danneggiare il sistema a causa dellelevata ampiezza dellimpulso.

24 Esercizio Sapendo che calcolare

25 Esercizio Calcolare

26 Esercizio Calcolare

27 Esercizio Calcolare

28 Teorema della derivata Si è sfruttato il fatto che f(t) è di ordine esponenziale per t che tende allinfinito

29 Teorema della derivata

30 Teorema dellintegrale

31 Teorema del valore finale Nellipotesi che tale limite esista Dal teorema della derivata si ha: da cui Eseguendo il limite sotto il segno di integrale il che è lecito per lanaliticità della funzione: e quindi

32 Teorema del valore iniziale

33 Integrale di convoluzione

34 Utilità

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36 Problema differenziabile Soluzione del problema differenziabile Problema algebrico Soluzione del problema algebrico

37 Tecniche di antitrasformazione Frazione razionale propria Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte radici con molteplicità maggiore di 1 radici complesse coniugate

38 Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte POLIRESIDUI

39 Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte Calcoliamo R 1

40 Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte

41 Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte

42 Esercizio

43 Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1

44 Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo R k1

45 Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo R k2

46 Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo R k3

47 Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo R kj Ricordando che

48 Esercizio

49 Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici complesse coniugate

50 Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici complesse coniugate

51 Esercizio

52 Funzione di trasferimento

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