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FMZ Linguaggi di Programmazione Da logica proposizionale a logica del primo ordine.

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Presentazione sul tema: "FMZ Linguaggi di Programmazione Da logica proposizionale a logica del primo ordine."— Transcript della presentazione:

1 FMZ Linguaggi di Programmazione Da logica proposizionale a logica del primo ordine

2 FMZ Logica proposizionale Sintassi vs Semantica SintassiSemanticaMondo Concetto di modello Funzione di interpretazione Simboli FBF ASSIOMI Regole di inferenza SFSF ???

3 FMZ Una dimostrazione per è una sequenza DIM=P 1,P 2,…,P n P n =F P i S P i ASSIOMI P i è ottenibile da P i1,…,P im (con i1

4 FMZ DIM=P 1,P 2,…,P n Problema: introduciamo sempre formule vere? P i Svere per ipotesi P i ASSIOMIveri poiché tautologie P i è ottenibile da P i1,…,P im (con i1

5 FMZ Sintassi vs Semantica Regole di inferenza e veridicità V V F F V F V F AB V F V V A B V V F F V F V F AB V F F F P B, P B MP A 1,…,A n A 1 … A n AiAi AE AI

6 FMZ Sintassi vs Semantica La preservazione della veridicità è osservabile per induzione Formalmente: –(Meta)Teorema di completezza –(Meta)Teorema di Deduzione (+ Ogni teorema di L è una tautologia)

7 FMZ Logica proposizionale (limiti) Socrate è un uomo. Gli uomini sono mortali. (A) Allora Socrate è mortale. Traduzione di (A) nella logica proposizionale Se Gino è un uomo, allora Gino è mortale. Se Pino è un uomo, allora Pino è mortale. Se Rino è un uomo, allora Rino è mortale. Se Socrate è un uomo, allora Socrate è mortale. … Se X è un uomo, allora X è mortale.

8 FMZ Logica del primo ordine (logica dei predicati del primo ordine) Sintassi Ingredienti: L Simboli L –Letterali Costanti individuali A i Variabili individuali i Lettere funzionali f i Lettere predicative P i –Connettivi Logici –Connettivi Logici: {,,,,(,)},

9 FMZ Logica del primo ordine Sintassi Ingredienti: Termine T costanti individuali T variabili individuali T Se t 1,…,t n T allora f i (t 1,…,t n ) T (applicazione di un simbolo di funzione n-ario a n termini) Termine ground Termine ground - senza variabili (oggetti dell'Universo del discorso) Es.:padre(padre(giovanni))

10 FMZ Formule Atomiche (atomi) Se t 1,…,t n T allora formula atomica P i (t 1,…,t n ) è una formula atomica Logica del primo ordine Sintassi Esempi: Esempi:uomo(paolo) maggiore(X,3) maggiore(più(X,1),Y) ama(giovanni,maria) ama(padre(giovanni),giovanni) ama(padre(padre(giovanni)),giovanni) maggiore(più(più(1,giovanni),Y),padre(3))

11 FMZ Logica del primo ordine Sintassi Ingredienti: Formule Ben Formate –Le Formule Atomiche sono FBF –Se f 1 e f 2 FBF e x è una variabile individuale allora x.f 1 FBF f 1 FBF f 1 f 2 FBF

12 FMZ Logica del primo ordine Sintassi Ingredienti: Regole di inferenza –Eliminazione del quantificatore universale –Eliminazione del quantificatore esistenziale –Introduzione del quantificatore esistenziale x.F(…x…) SUBST({x/a},F(…x…)} x.F(…x…) SUBST({x/a},F(…x…)} F(…a…) x.F(…x…) Dove a non appartiene a costanti già introdotte

13 FMZ 1) un esempio filosofico ( X)(uomo(X) mortale(X)) uomo(socrate) mortale(socrate) 2) due degli assiomi di base dei numeri naturali interpretare f e g come funzioni successore e predecessore la costante 0 come zero il predicato u come uguaglianza ) ( X)( Y)(u(Y,f(X)) ( Z)(u(Z,f(X)) u(Y,Z))) ( X)( ~u(X,0) (( Y)(u(Y,g(X)) ( Z)(u(Z,g(X)) u(Y,Z))))) 3) nella formula ( X) p(X,Y), tutte le occorrenze di X sono vincolate, mentre Y è libera Sintassi esempi Logica del primo ordine Sintassi esempi

14 FMZ Dare una interpretazione alle espressioni sintatticamente corrette. Definire se certe espressioni sono vere o false in base al significato che si dà ai componenti dell'espressione. Interpretazione Interpretazione (I): Insieme DInsieme D (dominio) I(a i ) = d i per ciascuna costante individuale Insieme di funzioni I(f i ) = f i f i : D n Dper ciascuna lettera funzionale f i Insieme di relazioni I(P i )= P i P i D n per ciascuna lettera predicativa P i Semantica Logica del primo ordine Semantica

15 FMZ Semantica Logica del primo ordine Semantica Interpretazione Interpretazione delle formule atomiche –I(P i (a 1,…,a n ))=V se (I(a 1 ),…,I(a n )) I(P i ) =Faltrimenti –I( x.P i (a 1,…,x,…,a n ))=V se per tutti gli x d accade che (I(a 1 ),…,x,…,I(a n )) I(P i ) =F altrimenti

16 FMZ Semantica Logica del primo ordine Semantica Interpretazione Interpretazione delle formule quantificate I( x.P i (a 1,…,x,…,a n ))=V se per tutti gli x D accade che (I(a 1 ),…,x,…,I(a n )) I(P i ) =F altrimenti I( x.P i (a 1,…,x,…,a n )) =V se esiste x D tale che (I(a 1 ),…,x,…,I(a n )) I(P i ) =F altrimenti

17 FMZ sostituzione una sostituzione è un insieme finito della forma {v 1 t 1,…, v n t n } v i è una variabile t i è un termine diverso da v i le variabili v i, i=1,…,n sono tra loro distinte una sostituzione è una funzione da variabili a termini lapplicazione di ad E è lespressione ottenuta da E sostituendo simultaneamente ogni occorrenza della variabile v i, i=1,…,n con il termine t i il risultato dellapplicazione (denotato da E ) è una istanza di E. Sostituzione

18 FMZ siano = {X 1 t 1,…, X n t n } e = {Y 1 u 1,…, Y m u m } due sostituzioni composizione la composizione di e (denotata da ) è la sostituzione così definita i) costruiamo linsieme {X 1 t 1,…, X n t n, Y 1 u 1,…, Y m u m } ii) eliminiamo dallinsieme gli elementi X i t i tali che t i = X i iii) eliminiamo dallinsieme gli elementi Y j u j tali che Y j occorre in {X 1,…, X n } Sostituzione: Composizione

19 FMZ = {X f(Y), Y Z} = {X a, Y b, Z Y} costruzione di i) {X f(b), Y Y, X a, Y b, Z Y} ii) {X f(b), X a, Y b, Z Y} iii) {X f(b), Z Y} costruzione di i){X a, Y b, Z Z, X f(Y), Y Z} ii){X a, Y b, X f(Y), Y Z} iii){X a, Y b} Sostituzione: Composizione

20 FMZ Lunificazione è un meccanismo che permette di calcolare una sostituzione al fine di rendere uguali due espressioni. Per espressione intendiamo un termine, un letterale o una congiunzione o disgiunzione di letterali. Sia dato un insieme di espressioni (termini, atomi, etc.) {E 1,…, E k } unificatore una sostituzione è un unificatore per {E 1,…, E k }se e solo se E 1 = E 2 = …= E k unificabile Un insieme {E 1,…, E k } è unificabile se e solo se esiste una sostituzione tale che è un unificatore per {E 1,…, E k } ESEMPIO ESEMPIO: linsieme {p(a,Y), p(X,f(b))} è unificabile dato che la sostituzione = {X a, Y f(b)} è un unificatore per linsieme Unificazione

21 FMZ Unificazione

22 FMZ Logica proposizionale vs. Logica del primo ordine Aggiunte: Strutturazione dei letterali Introduzione delle variabili Introduzione dei quantificatori

23 FMZ Logica del primo ordine Socrate è un uomo. Gli uomini sono mortali. Allora Socrate è mortale. Costanti individuali {Socrate, Pino, Gino, Rino} Lettere predicative {Uomo,Mortale}

24 FMZ Logica del primo ordine Socrate è un uomo. Gli uomini sono mortali. Allora Socrate è mortale. Traduzione affermazioni Uomo(Socrate) x.(Uomo(x) Mortale(x)) Traduzione goal Mortale(Socrate)

25 FMZ Logica del primo ordine x.(Uomo(x) Mortale(x)) (SUBST({x/Socrate},Uomo(x) Mortale(x)) Universal Elimination Uomo(Socrate) Mortale(Socrate), Uomo(Socrate) MP Mortale(Socrate)


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