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Richiami di matematica discreta: grafi e alberi Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino.

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Presentazione sul tema: "Richiami di matematica discreta: grafi e alberi Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino."— Transcript della presentazione:

1 Richiami di matematica discreta: grafi e alberi Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino

2 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi2 Grafi Definizione: G = (V,E) V: insieme finito e non vuoto di vertici E: insieme finito di archi, che definiscono una relazione binaria su V Grafi orientati/non orientati: orientati: arco = coppia ordinata di vertici (u, v) E e u, v V non orientati: arco = coppia non ordinata di vertici (u, v) E e u, v V

3 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi3 Grafi come modelli DominioVerticeArco comunicazionitelefono, computerfibra ottica, cavo circuitiporta, registro, processorefilo meccanicagiuntomolla finanzaazioni, monetetransazioni trasportiaeroporto, stazionecorridoio aereo, linea ferroviaria giochiposizione sulla scacchieramossa lecita social networkspersonaamicizia reti neuralineuronesinapsi composti chimicimolecolalegame

4 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi4 Esempio: grafo orientato d a ef bc Cappio G={V, E} V={a, b, c, d, e, f} E={(a,b),(b,b),(b,d),(b,e), (d,a),(d,e),(e,d),(f,c)} NB: in alcuni contesti i cappi possono essere vietati. Se il contesto ammette i cappi, ma il grafo ne è privo, esso si dice SEMPLICE.

5 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi5 Esempio: grafo non orientato d a ef bc G={V, E} V={a, b, c, d, e, f} E={(a,b),(b,b)(b,d),(b,e),(c,f)} Cappio NB: in alcuni contesti i cappi possono essere vietati. Se il contesto ammette i cappi, ma il grafo ne è privo, esso si dice SEMPLICE.

6 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi6 Incidenza e adiacenza Arco (a, b): incidente da vertice a incidente in vertice b incidente sui vertici a e b Vertici a e b adiacenti: a b (a, b) E ab

7 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi7 Grado di un vertice grafo non orientato: degree(a) = numero di archi incidenti grafo orientato: in_degree(a)=numero di archi entranti out_degree(a)=numero di archi uscenti degree(a)=in_degree(a) + out_degree(a). a degree(a) = 3 a in_degree(a) = 2 out_degree(a) = 1 degree(a) = 3

8 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi8 Cammini e raggiungibilità Cammino p: u p u' in G=(V,E): (v 0,v 1,v 2,…,v k ) u=v 0, u'=v k, i = 1,2,…,k (v i-1,v i ) E. k = lunghezza del cammino. u' è raggiungibile da u p: u p u' cammino p semplice: (v 0,v 1,v 2,…,v k ) p distinti.

9 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi9 Esempio d a c b G = (V, E) p: a p d : (a, b), (b, c), (c, d) k = 3 d è raggiungibile da a p semplice.

10 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi10 Cicli Ciclo = cammino in cui v 0 =v k. Ciclo semplice = cammino semplice in cui v 0 =v k. Cappio = ciclo di lunghezza 1. Un grafo senza cicli = aciclico. d a e b ciclo, k=4 cappio

11 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi11 Connessione nei grafi non orientati Grafo non orientato connesso: v i,v j V p v i p v j Componente connessa: sottografo connesso massimale (= sottoinsiemi per cui vale la proprietà che lo includono). Grafo non orientato connesso: una sola componente connessa.

12 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi12 Connessione nei grafi orientati Grafo orientato fortemente connesso: v i,v j V p, p v i p v j e v j p v i Componente fortemente connessa: sottografo fortemente connesso massimale. Grafo orientato fortemente connesso: una sola componente fortemente connessa.

13 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi13 Esempio a e b f c g d h

14 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi14 Grafi densi/sparsi Dato grafo G = (V, E) |V| = cardinalità dellinsieme V |E| = cardinalità dellinsieme E grafo denso: |E| |V| 2 grafo sparso: |E| << |V| 2

15 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi15 Grafo completo Definizione: v i, v j V (v i,v j ) E grafo completo non orientato: |E| = |V|(|V|-1)/2 archi grafo completo orientato: |E| = |V|(|V|-1) archi a c b d

16 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi 16 Grafo bipartito Definizione: Grafo non orientato in cui linsieme V può essere partizionato in 2 sottoinsiemi V 1 e V 2, tali per cui (v i,v j ) E v i V 1 && v j V 2 || v j V 1 && v i V 2 a b e f c d g

17 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi17 Grafo pesato w : E R {-, + } w(u,v) = peso dellarco (u, v) a e b f c g d h

18 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi18 Alberi non radicati (o liberi) Albero non radicato (o libero) = grafo non orientato, connesso, aciclico Foresta = grafo non orientato, aciclico

19 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi19 Proprietà G = (V, E) grafo non orientato E archi, V nodi: G = albero non radicato ogni coppia di nodi connessa da un unico cammino semplice G connesso, la rimozione di un arco lo sconnette G connesso e E = V - 1 G aciclico e E = V - 1 G aciclico, laggiunta di un arco introduce un ciclo.

20 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi20 Alberi radicati nodo r detto radice relazione di parentela y antenato di x se y appartiene al cammino da r a x. x discendente di y antenato proprio se x y padre/figlio: nodi adiacenti radice: no padre foglie no figli

21 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi21 Esempio r b ya x y antenato di x x discendente di y a padre di b b figlio di a

22 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi22 Proprietà di un albero T grado(T) = numero max di figli profondità(x) = lunghezza del cammino da r a x altezza(T) = profondità massima. altezza h = 3 profondità = 0 profondità = 1 profondità = 2 profondità = 3 grado 3

23 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi23 Rappresentazione di alberi Rappresentazione di un nodo di un albero di grado(T) = k puntatore al padre, chiave, k puntatori ai k figli Inefficiente se solo pochi nodi hanno davvero grado k (spazio per tutti i k puntatori allocato, ma molti a NULL). al padre k puntatori ai k figli, eventualmente a NULL chiave ……

24 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi24 Rappresentazione left-child right-sibling Rappresentazione di un nodo di un albero di grado(T) = k puntatore al padre, chiave, 1 puntatore al figlio sinistro, 1 puntatore al fratello a destra Efficiente: sempre solo 2 puntatori, indipendentemente dal grado dellalbero al padre al primo dei fratelli a destra al primo a sinistra dei figli chiave

25 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi25 NULL

26 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi26 Alberi binari Definizione ricorsiva: T: insieme di nodi vuoto radice, sottoalbero sinistro, sottoalbero destro. r leftright

27 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi27 Albero binario completo Ogni nodo: o foglia o grado = 2 Albero binario completo di altezza h: numero di foglie 2 h numero di nodi = 0 i h 2 i = 2 h+1 –1 h = 3 8 foglie 15 nodi

28 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi28

29 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi29 Albero binario bilanciato Tutti i cammini radice-foglie sono di ugual lunghezza Se T è completo, allora T è bilanciato.

30 A.A. 2013/1404 Richiami di matematica discreta - grafi e alberi30 Albero binario quasi bilanciato La lunghezza di tutti i cammini radice-foglie differisce al massimo di 1.

31 Riferimenti Grafi: Cormen 5.4 Sedgewick Part Alberi: Cormen 5.5 Sedgewick 5.4 A.A. 2013/1403 Ordinamento iterativo31


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