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Parità Parità intrinseca Isospin Multipletti di isospin Lezione 10.

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Presentazione sul tema: "Parità Parità intrinseca Isospin Multipletti di isospin Lezione 10."— Transcript della presentazione:

1 Parità Parità intrinseca Isospin Multipletti di isospin Lezione 10

2 PARITÀ Loperatore di inversione spaziale è una trasformazione discreta che inverte il segno delle tre coordinate spaziali: x, y, z -x, -y, -z (x, y, z) (x, y, z) = P (x, y, z) = (-x, -y, -z) La trasformazione è detta di PARITÀ; essa è discreta perchè nessuna trasformazione continua può trasformare un sistema di riferimento destrorso in uno sinistrorso. Essa equivale ad una riflessione del sistema in uno specchio (che inverte la destra con la sinistra) e una rotazione di intorno allasse ortogonale allo specchio (che inverte lalto con il basso). z y x -x -y -z P

3 Loperatore di parità è unitario. Infatti: P 2 (x, y, z) = P (-x, -y, -z) = (x, y, z) P 2 = 1 P = +1, -1 Gli autovalori di P definiscono la parità del sistema. P ( a b ) = P(a) P(b) P L Con la notazione J P si indica lo stato di momento angolare totale e di parità del sistema. La parità è un numero quantico moltiplicativo. Pertanto, preso un sistema composto da più particelle, la parità globale del sistema sarà dato dal prodotto delle parità delle sue parti. Come vedremo tra poco, le parità che descrivono ogni sistema dotato di spin o composto da parti dotate di spin è dato dal prodotto delle parità intrinseche delle particelle che lo compongono per la parità legata al momento angolare orbitale relativo tra le particelle:

4 Se la Hamiltoniana del sistema è invariante per trasformazioni di parità: [H, P]=0, allora la parità del sistema è un buon numero quantico, cioè essa è una costante del moto, è conservata nelle interazioni. In tal caso le autofunzioni della Hamiltoniana hanno parità definita. Ad esempio: (x) = cos (x) parità definita positiva perchè P (x) = cos (-x)= cos(x) = (x) P = +1 (x) = sin (x) parità definita negativa perchè P (x) = sin (-x)= - sin (x) = - (x) P = -1 Al contrario: (x) = A cos (x) + B sin (x) parità non definita perchè P (x) = A cos (-x) + B sin(-x) = A cos(x) - B sin (x) (x) Come vedremo la parità è conservata (è una costante del moto) nelle interazioni elettromagnetiche e in quelle forti, ma è violata in quelle deboli.

5 PARITÀ DELLE ARMONICHE SFERICHE Uno stato avente momento angolare orbitale L definito, cioè con L 2 ed L z costanti del moto, potrà essere scomposto sulla base delle armoniche sferiche Y l m (, ). Tradotto in coordinate polari, loperatore di parità genera la seguente trasformazione: x, y, z -x, -y, -z equivalente a: r r - + Pertanto applicando P alle armoniche sferiche avremo: P Y lm (, ) = Y l m ( -, + ) = (-1) l Y l m (, ) Le armoniche sferiche sono autostati di parità associati allautovalore P=(-1) l. P P P P

6 Ricordiamo infatti lespressione delle prime armoniche sferiche e vediamo come si trasformano per effetto delloperazione di parità, ricordando che:

7 PARITÀ DI UN VETTORE POLARE Per effetto delloperatore di parità un vettore polare viene mandato nel vettore polare opposto: PARITÀ DI UNO SCALARE Lo scalare può essere pensato come il prodotto scalare di due vettori polari, pertanto per effetto delloperatore di parità lo scalare viene mandato in se stesso. Infatti:

8 PARITÀ DI UN VETTORE ASSIALE Il vettore assiale risulta dal prodotto vettoriale di due vettori polari (es. il momento angolare). Pertanto per effetto delloperatore di parità il vettore assiale viene mandato in se stesso. Infatti: PARITÀ DI UNO PSEUDOSCALARE Lo pseudoscalare è il risultato del prodotto scalare tra un vettore polare e uno assiale, pertanto per effetto delloperatore di parità lo pseudoscalare viene cambiato di segno. Infatti:

9 PARITÀ INTRINSECA DEI FERMIONI È un fenomeno puramente quantistico. Nella teoria di Dirac, vedremo che un fermione senza struttura di spin ½ è descritto da una funzione donda dipendente dal quadrimpulso e dalla quadriposizione, che si può esprimere come il prodotto di uno spinore a quattro componenti u(p) e di un esponenziale: Per effetto delloperatore di parità, la funzione d'onda si trasforma nel modo seguente: Nel sistema di riferimento in cui la particella è a riposo, la funzione (0,x) diventa autofunzione dell operatore di parità. Il numero quantico associato è detto parità intrinseca della particella:

10 P(e + e - ) = P(e + ) P(e - ) (-1) L = -1 Nella categoria dei fermioni cadono ovviamente anche i quark e gli antiquark, pertanto anche la parità di un sistema quark-antiquark è negativa se L=0: Si può dimostrare che delle due soluzioni dell equazione di Dirac che sono associate rispettivamente al fermione e allantifermione, una è associata allautovalore di parità +1 e laltra allautovalore -1. Benchè sia arbitraria lassegnazione della parità positiva al fermione e di quella negativa allantifermione, rimane tuttavia assoluto il fatto che essi hanno parità opposta uno allaltro. Pertanto, prendendo il sistema formato da un fermione e da un antifermione, se il loro momento angolare orbitale relativo è nullo, la parità di tale sistema sarà negativa: Per convenzione assumiamo positiva la parità del fermione: P( f ) = +1 P( f ) = -1 P( f f ) = -1 P(q q ) = P(q) P(q) (-1) L = -1

11 PARITÀ INTRINSECA DEI MESONI Un mesone è composto da un quark e un antiquark ( M= qq ). Dotati di momento angolare relativo L. Pertanto la sua parità intrinseca è data da: P( M ) = P( q q ) = P( q ) P( q ) (-1) L = (-1) (-1) L = (-1) L+1 Per i mesoni degli stati fondamentali L=0 e pertanto avremo: P( M ) = -1 I mesoni a energia più bassa avranno L=0 e gli spin del quark e dellantiquark antiparalleli. Pertanto: S = 0 P = -1 J P = 0 - e sono detti mesoni pseudoscalari. Es.: 0, +, -, K 0, K +, K 0, K -, 0, 0 Stati eccitati del sistema quark-antiquark avranno L=0 ma gli spin del quark e dellantiquark paralleli a dare spin S=1. Pertanto: S = 1 P = -1 J P = 1 - e sono detti mesoni vettori. Es.: 0, +, -, K* 0, K* +, K* 0, K* -, 0, 0 q q L

12 PARITÀ INTRINSECA DEI BARIONI Un barione è composto da tre quark. Chiamiamo L 12 il momento angolare della coppia q 1 -q 2 e L 3 il momento angolare del terzo quark q 3 rispetto al centro di massa del sistema q 1 -q 2. Pertanto la parità intrinseca del barione sarà data da: q1q1 L 12 Per un barione nello stato fondamentale avremo: L 12 = L 3 = 0. Pertanto: Questa parità è convenzionale, in quanto è convenzionale lattribuzione della parità positiva ai quark, ma non è convenzionale il fatto che lantibarione rispettivo ha parità opposta a quella del barione (come è per un fermione con il suo antifermione). Pertanto porremo: P p = P n = P = +1 L3L3 P(B) = P(q 1 q 2 q 3 ) = P(q 1 ) P(q 2 ) P(q 3 ) (-1) L12 (-1) L3 = (+1) (-1) L12+L3 = (-1) L12+L3 P(B) = +1 q2q2 q3q3

13 PARITÀ INTRINSECA DEL FOTONE Possiamo dedurre la parità intrinseca del fotone dal fatto che il fotone è rappresentato dal potenziale vettore A tale che: Il campo magnetico B è uno pseudovettore cioè ha parità positiva; infatti esso può essere espresso come il seguente prodotto vettoriale tra vettori polari: Da questo possiamo dedurre la parità di A (cioè se A sia un vettore polare o assiale): La parità intrinseca del fotone è P = -1.

14 PARITÀ INTRINSECA DEI BOSONI Dalla teoria dei campi consegue che un bosone e il suo antibosone hanno sempre la stessa parità intrinseca. P (bosone) = P(antibosone) Le teorie di gauge ci dicono che tutti i bosoni di gauge (non soltanto il fotone) hanno parità intrinseca negativa. P = P g = P W = P Z = -1

15 PARITÀ INTRINSECA DEL PIONE OSSERVATO Studiamo infatti la parità degli stati iniziale e finale delle due reazioni. NON OSSERVATO Parità intrinseca del Deuterio: J P = 1 + J deuterio = 1 e P(d) = +1 Stato iniziale: Parità intrinseca del Pione : J P = 0 ? J = 0 e P( - ) = ? Nel caso in cui: L( - d) = 0: P( - d) = P( - ) P(d) (-1) L = P( - ) (4) Abbiamo detto che: P( )= (-1) L+1 P( )= -1 per L=0 Ciò è dimostrato sperimentalmente dalla reazione di cattura del - nel deuterio: Momento angolare totale J del sistema ( - d): J( - d) = J deuterio = 1 :

16 Stato finale (1): In che stato relativo di moto si trovano i due neutroni, cioè quanto vale il momento angolare orbitale relativo L? Sappiamo che essendo i neutroni due fermioni identici, essi devono soddisfare la statistica di Fermi e cioè la loro funzione donda totale deve essere antisimmetrica per scambio del primo neutrone con il secondo: (n 1, n 2 ) = - (n 2, n 1 ) dove: (n 1, n 2 ) = spazio ( r 1, r 2 ) spin ( s 1, s 2 ) (Come vedremo dopo, ci sarebbe anche la parte di funzione d'onda di isospin, ma questa è per forza simmetrica per scambio di due neutroni.) Il comportamento della funzione donda spaziale per scambio di n 1 con n 2 è equivalente a quello di una inversione di coordinate, in quanto: spazio ( r 1, r 2 ) = spazio ( r 1 - r 2 ) spazio ( r 2, r 1 ) = spazio ( r 2 - r 1 ) = (-1) Lfin spazio ( r 1, r 2 )

17 I due neutroni hanno spin 1/2. Pertanto la composizione della parte di spin ci darà due possibilità: 1) tre stati di tripletto simmetrici a spin S fin =1 2) uno stato di singoletto antisimmetrico a spin S fin =0 Il comportamento di (s 1, s 2 ) per effetto dello scambio di n 1 con n 2 pertanto è: (s 1, s 2 ) (s 2, s 1 ) = (-1) Sfin+1 (s 1, s 2 ) Globalmente avremo: (n 1, n 2 ) (n 2, n 1 )= (-1) Lfin L ( r 1, r 2 ) (-1) Sfin+1 (s 1, s 2 ) = (-1) Lfin+Sfin+1 (n 1,n 2 ) ma deve essere anche: (n 1, n 2 ) (n 2, n 1 )= - (n 1, n 2 ) L fin +S fin +1 = dispari L fin +S fin = pari

18 Ricordando che lo stato iniziale aveva momento angolare totale J( - d) =1 e che lo stato finale deve avere lo stesso momento angolare totale dello stato iniziale, vediamo quali combinazioni di L fin ed S fin sono accettabili: L fin =0 S fin =0 J fin = J(n 1 n 2 ) = 0 NO per la conservazione del momento angolare L fin =0 S fin =1 J fin = 1 NO perchè L+S deve essere pari L fin =1 S fin =0 J fin J = 1 NO perchè L+S deve essere pari L fin =1 S fin =1 J fin = 2, 1, 0 SI perchè il valore J=1 è accessibile e L+S=2=pari I neutroni sono in uno stato 2S+1 L J = 3 P 1 Pertanto la parità dello stato finale n-n è (formula (5)): che deve essere uguale a quella dello stato iniziale (4) (linterazione è forte): P( - d) = P( - ) Pertanto la parità intrinseca del pione è negativa. Il suo spin è nullo. Il pione è uno stato J P = 0 - cioè è una particella pseudoscalare.

19 Isospin Nel 1932 Heisenberg, sulla base del fatto che il neutrone e il protone hanno approssimativamente la stessa massa ( M pn = 1.3 MeV rispetto a un valore di e MeV), suggeri che il neutrone e il protone potevano essere trattati come differenti stati di carica della stessa particella, il nucleone. In assenza di interazione e.m. essi avrebbero la stessa massa. Il nuovo numero quantico associato è lisospin, di valore I =½ e terza componente I 3 =±½ (+1/2 per il protone e -1/2 per il neutrone). Lo spazio dellisospin è del tutto analogo a quello dello spin (SU(2) nella sua rappresentazione più semplice) ed è quello spazio nel quale protone e neutrone hanno orientazione della terza componente di isospin opposta. Una trasformazione che trasforma un protone in un neutrone è una rotazione nello spazio dellisospin:

20 Se la fisica resta invariata per effetto della rotazione, allora i generatori del gruppo sono quantità conservate e la trasformazione costituisce un gruppo di simmetria. Gli operatori che introduciamo sono analoghi a quelli introdotti per lo spin: In questo formalismo, la carica dei nucleoni è data da: I 2 I 1, I 2, I 3 e le rappresentazioni fondamentali nelllo spazio dellisospin sono date dalle matrici di Pauli (indicate qui con i anzichè i ): Tutte le interazioni conservano la carica. Le interazioni forti non dipendono dalla carica, cioè dalla terza componente dell'isospin, e conservano l' isospin. Le interazioni e.m. dipendono dalla carica e possono violare l'isospin.

21 Tali operatori godono delle stesse proprietà di commutazione degli operatori di spin: [ i, j ] = i ijk k Lo stato di protone e di neutrone sono autostati dell operatore I 3 = ½ 3 associati agli autovalori +1/2 e -1/2: e sono autostati delloperatore I 2 = ¼ 2 =¾ 1 2x2 entrambi associati allautovalore ¾ :

22 Gli operatori I ± = I 1 + i I 2 trasformano un protone in neutrone e viceversa: Gli isospin di più particelle possono essere sommati esattamente con le stesse regole di somma dei momenti angolari orbitali e di spin: I TOT = I 1 + I 2 | I TOT | = | I 1 - I 2 |, | I 1 - I 2 | +1,..., I 1 + I 2 -1, I 1 + I 2 I TOT, 3 = I 1,3 + I 2,3

23 ESEMPI DI MULTIPLETTI DI ISOSPIN MESONI + | 1 1 : I = 1 0 | | 1 -1 K + | ½ ½ K : I = ½ K 0 | ½ -½ : I = 0 | 0 0 BARIONI ++ | 3/2 3/2 + | 3/2 1/2 : I =3/2 0 | 3/2 -1/2 ++ | 3/2 -3/2 : I = 0 | 0 0 p | ½ ½ N : I = ½ n | ½ -½ + | 1 1 : I = 1 0 | | 1 -1 : I = 0 | | 1 1 : I = 1 0 | | 1 -1

24 ESEMPI DI MULTIPLETTI DI ISOSPIN Se l isospin I=1 come nel caso del pione, o della o della, la rappresentazione del gruppo SU(2) non sarà più quella fondamentale con le matrici di Pauli (che sono matrici 2x2) ma sarà quella aggiunta con le seguenti matrici: Le autofunzioni di I 3 sono i tre stati visti prima: Avendo definito in analogia con lo spin: I ± = I 1 + i I 2, dimostrate che:


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