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1 Equazione di Dirac per la La funzione è definita come: Prendiamo l'equazione di Dirac: Facciamone l'aggiunta: Moltiplichiamo tutta l'equazione a destra.

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1 1 Equazione di Dirac per la La funzione è definita come: Prendiamo l'equazione di Dirac: Facciamone l'aggiunta: Moltiplichiamo tutta l'equazione a destra per 0 : Dal momento che 0 0 = possiamo inserire qui questo prodotto:

2 2 Si può dimostrare che vale la seguente relazione: (1) Pertanto la (1) diventa: Se vogliamo scrivere la (2) in modo analogo all'equazione di Dirac per y, dobbiamo ricordarci che è un vettore riga e quindi deve essere posto a sinistra di. Indicheremo allora con il seguente simbolo: l'applicazione della derivata a sinistra, cioè a. (2) EQUAZIONE DI DIRAC PER

3 3 Effetti dell'operazione di parità sull' equazione di Dirac Chiamiamo (x) la funzione d'onda che è soluzione dell'equazione di Dirac: e '(x') la funzione d'onda ottenuta applicando a (x) un'operazione di parità e che chiediamo sia anch'essa soluzione dell'equazione di Dirac, nella quale abbiamo applicato l'operatore P: L'operatore P sarà una matrice 4 4 perchè deve agire su uno spinore colonna 1 4 per trasformarlo in un altro spinore colonna 1 4. Pertanto possiamo farlo filtrare all'interno delle derivate e metterlo a contatto con le matrici che sono matrici 4 4:

4 4 Applichiamo a sinistra dell'equazione (2) l'operatore P -1 : Se vogliamo che l'equazione di Dirac sia invariante per operazioni di parità, l'equazione di Dirac (1): e l'equazione (2) o (3), che è una conseguenza della (2), devono coincidere. Perchè ciò avvenga deve essere:

5 5 Una possibile matrice P che soddisfa a queste condizioni è la matrice 0. Infatti per le proprietà di anticommutazione delle matrici abbiamo: In generale possiamo porre: Perchè l'operatore sia unitario cioè conservi ad esempio la densità di probabilità, occorre che sia: Il fattore P è detto "parità intrinseca" della particella ed è arbitrario, ma si può mostrare che, una volta attribuito P =1 al fermione, il suo antifermione avrà necessariamente P = -1.

6 6 FORME BILINEARI COVARIANTI Studiamo il comportamento delle diverse forme bilineari covarianti cioè espressioni della forma per effetto di una trasformazione di Lorentz e per effetto dell'operazione di parità (non lo dimostreremo): dove a è una delle seguenti matrici o prodotti di matrici:

7 7 Se si applicano trasformazioni di Lorentz, la forma bilineare 5 ci appare come uno scalare. Solo se applichiamo una trasformazione di parità essa ci apparirà per quello che realmente è e cioè uno pseudo-scalare.


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