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Lezione 5 Equazioni di Maxwell nel vuoto e in presenza di sorgenti. Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell.

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Presentazione sul tema: "Lezione 5 Equazioni di Maxwell nel vuoto e in presenza di sorgenti. Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell."— Transcript della presentazione:

1 Lezione 5 Equazioni di Maxwell nel vuoto e in presenza di sorgenti. Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell.

2 Equazioni di Maxwell nel vuoto Le equazioni di Maxwell scritte in termini dei campi E e B descrivono il campo elettrico e magnetico nel vuoto o in presenza di sorgenti in modo non relativisticamente covariante. Nel vuoto, adoperando il sistema di Gauss, le equazioni assumono la forma seguente:

3 Introduciamo il potenziale scalare A 0 e il potenziale vettore e A tali che: Essi non sono univocamente determinati dalle relazioni (1) e (2). In termini di questi due potenziali, la II e la III equazione di Maxwell sono identicamente verificate, in quanto:

4 In termini di questi due potenziali, la I e la IV equazione di Maxwell diventano: Il potenziale vettore e il potenziale scalare sono definiti a meno di trasformazioni dette di gauge, che lasciano invariati i campi elettrico e magnetico E e B: dove è una funzione scalare.

5 E in tal modo le equazioni (3) e (4) diventano equazioni delle onde per A 0 e A: Sfruttiamo il grado di libertà su A 0 e A per imporre che sia (gauge di Lorentz):

6 Possiamo ora esprimere le equazioni di Maxwell in una forma relativisticamente covariante. Il potenziale scalare e il potenziale vettore sono considerabili come le componenti temporale e spaziale di un unico quadrivettore, così definito: Introduciamo il concetto di tensore T a due indici: esso è definito come una matrice i cui elementi si trasformano così, sotto una trasformazione di Lorentz: Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell N.B. La ripetizione di un indice sottintende una somma su tutti i possibili indici. Pertanto gli indici che sono ripetuti, cioè sommati, non appaiono nel risultato finale delloperazione; tali indici si dicono contratti; quelli non ripetuti compaiono nel risultato finale e sono detti indici liberi.

7 Definiamo il tensore del campo e.m. F In componenti ciò significa: (6)

8 Analogamente per il tensore con gli indici in basso:

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10 Infatti la (7) in componenti significa: La I e la IV equazione di Maxwell possono essere riassunte in forma relativisticamente covariante nel modo seguente:

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12 Definiamo ora F, il tensore duale del campo La II e la III eq. di Maxwell possono essere ricavate dalleq.:

13 Formulazione covariante delle equazioni di Maxwell in presenza di sorgenti In presenza di sorgenti le equazioni di Maxwell si trasformano cosi: Definiamo la quadricorrente j In tal modo le equazioni di Maxwell assumono la forma relativisticamente covariante (N.B. si dice covariante unequazione la cui dipendenza dalle variabili non cambia per effetto delle trasformazioni di Lorentz) :

14 FORMULAZIONE TENSORIALE DELL EQUAZIONE DI CONTINUITÀ In termini della quadricorrente, lequazione di continuità dellelettromagnetismo: può essere così riespressa: Anche la condizione che definisce il gauge di Lorentz: può essere così riformulata:


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