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Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 11 Prodotti Strutturati di Tasso.

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Presentazione sul tema: "Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 11 Prodotti Strutturati di Tasso."— Transcript della presentazione:

1 Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 11 Prodotti Strutturati di Tasso

2 Derivati di tasso

3 Formula di Black La formula di Black, che viene utilizzata per le opzioni sui futures, è in effetti un semplice modo di riscrivere la formula di Black e Scholes utilizzando il prezzo forward come sottostante, piuttosto che il prezzo spot. Ricordando ancora che il prezzo forward è definito come F(Y,t) = Y(t)/v(t,T) e le formule di Black e Scholes otteniamo immediatamente Call = v(t,T)[F(Y,t)N(d 1 ) – KN(d 2 )] Put = v(t,T)[– F(Y,t)N(– d 1 ) + KN(– d 2 )] Per motivi tecnici che non spieghiamo in questo corso lutilizzo del prezzo forward piuttosto che di quello a pronti è un criterio di largo utilizzo nei derivati su tassi di interesse e su titoli obbligazionari, e questo rende la formula di Black largamente utilizzata.

4 Opzioni su titoli di debito Utilizzo Opzioni su titoli di debito sono utilizzate soprattutto per modificare il piano di rimborso dei titoli obbligazionari (titoli extendible/retractable) Titoli putable: titoli che contengono una put sul titolo, a disposizione dellinvestitore, tipicamente per un rimborso al nominale (es. i vecchi CTO) Titoli callable: titoli che contengono una call sul titolo, a disposizione dellemittente, per richiamare il debito (presente in molti titoli corporate) Titoli exchangeable: cambio del piano di rimborso

5 Exchangeable bond

6 Opzioni su titoli obbligazionari Valutazione Il principio di fondo della valutazione di opzioni su titoli obbligazionari è che il sottostante cui è riferita lopzione è il prezzo forward del titolo, piuttosto che il suo prezzo a pronti, e anche la volatilità deve essere riferita al prezzo forward. Intuitivamente, questo conduce a utilizzare la formula di Black. Unopzione call su un coupon bond con scadenza T e cedola fissa c, per esercizio al tempo e strike K è dato da Call = v(t, )[F(P(t,T;c),t)N(d 1 ) – KN(d 2 )] dove F(P(t,T;c),t) = [P(t,T;c) – I(t, )]/v(t, ) e I(t, ) è il valore attuale del flusso di interessi che verrà maturato dal titolo tra la data corrente e quella di esercizio dellopzione.

7 Il portafoglio di replica Consideriamo unopzione call su un titolo P(t,T;c) con scadenza T e cedola c per un ammontare nominale L e data e prezzo di esercizio e K rispettivamente. Il valore dellopzione corrisponde a –Una posizione lunga per LN(d 1 ) di valore nominale del titolo –Una posizione corta in un flusso di cedole di ammontare cLN(d 1 ) con scadenze t i –Una posizione corta in uno ZCB per un ammontare nominale LKN(d 2 ) e scadenza.

8 La volatilità del prezzo forward La variabile chiave per la valutazione delle opzioni su titoli obbligazionari è la volatilità Nel modello di Black la volatilità è riferita a variazioni percentuali del fattore di sconto, nellassunzione che questo sia distribuito normalmente. Poiché sul mercato è quotata la volatilità del tasso, la volatilità del fattore di sconto è recuperata calcolando Vol. sconto = vol.tasso x duration x tasso dove il tasso di rendimento e la duration sono riferiti al contratto a termine che costituisce il vero sottostante del contratto. Si noti che in generale la formula coinvolge il fattore di rischio, che in questo caso è rappresentato dal tasso interno di rendimento, e dalla sensitività del fattore di sconto a questo fattore di rischio, la duration.

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10 Contratti derivati su tassi Cap e floor

11 Opzioni su tassi di interesse Utilizzo Le opzioni su tassi di interesse sono utilizzate per porre un limite superiore (cap) o inferiore (floor) al valore di una cedola indicizzata Un cap/floor è un portafoglio di opzioni call/put sul tasso di interesse, tipicamente definito sullo scadenzario di un flusso di cedole indicizzate La singola opzione del portafoglio è chiamata caplet/floorlet. Lutilizzo è Tasso indice – max(Tasso Indice – Strike, 0) Tasso indice + max(Strike – Tasso Indice, 0)

12 Call – Put = v(t, )(F – Strike) Ricordando la relazione di parità tra put e call e applicandola a cap/floor otteniamo Caplet(strike) – Floorlet(strike) =v(t, )[cedola attesa – strike] =v(t, )[f(t,,T) – strike] Questo suggerisce immediatamente che il sottostante del caplet e del floorlet deve essere il tasso dinteresse forward, e la volatilità deve essere quella riferita a tale tasso.

13 Opzioni su tassi di interesse Valutazione Ciascuna delle opzioni sui tassi di interesse caplet /floorlet sono prezzate individualmente e sommate per ottenere il valore del cap/floor Una ricetta semplice consiste nellutilizzare la formula di Black & Scholes avendo cura di –Considerare il tasso forward e la volatilità corrispondente anziché il tasso spot –Il valore così ottenuto viene scontato utilizzando il fattore di sconto corrispondente alla data di esercizio

14 Cap/Floor: copertura Utilizzando la formula di Black, otteniamo Caplet = (v(t,t j ) – v(t,t j+1 ))N(d 1 ) – v(t,t j+1 ) KN(d 2 ) Floorlet = (v(t,t j+1 ) – v(t,t j ))N(– d 1 ) + v(t,t j+1 ) KN(– d 2 ) La formula suggerisce immediatamente una strategia di replica o copertura basata su posizioni lunghe (corte) sulla scadenza t j e corte (lunghe) sulla scadenza t j+i per caplet (floorlet)

15 Cap/Floor Convezioni di mercato I contratti tipicamente scambiati sul mercato sono con cadenza trimestrale sotto la scadenza di un anno e semestrali per scadenze più lunghe Un cap/floor è detto at-the-money se il prezzo strike è uguale al tasso forward swap definito sullo stesso scadenzario del contratto.

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22 Swaption Le swaption sono opzioni che consentono di entrare in un swap fisso contro variable a un tasso strike, ad una data prefissata. Una payer-swaption dà il diritto a entrare in un payer swap e corrisponde a unopzione call, mentre una receiver-swaption dà diritto a entrare in un receiver swap e corrisponde a unopzione put.

23 Cap/floor e swaption Come cap e floor, anche la swaption è definita at- the-money se lo strike è uguale al tasso forward swap su un contratto per lo stesso scadenzario. Si noti che mentre un cap è un portafoglio di opzioni, una swaption è unopzione su un portafoglio (unopzione basket). Per questo motivo una swaption vale sempre meno del corrispondente cap (stesso scadenzario e strike)

24 Swap e forward start swap Un swap permette al detentore di scambiare un flusso di pagamenti fissi con un flusso di pagamenti indicizzati. Il tasso swap è il tasso fisso stabilito allorigine, in modo che, scambiato con pagamenti indicizzati, rende il valore del contratto pari a zero. Un swap forward è un swap che inizia ad una data futura, diciamo t n Il tasso forward swap è il tasso fisso, stabilito in t, che, scambiato con un flusso di cedole indicizzate, rende il valore del swap forward pari a zero.

25 Swaption Una swaption fornisce al detentore il diritto, ma non lobbligo, di entrare in un contratto swap ad una data futura t n con un tasso swap pari a R s. Date di reset {t n, t n+1,……t N } per il swap, con pagamenti dovuti alle date {t n +1, t n +2,……t N + 1 } Definiamo i = t i +1 – t i il tempo tra le date di pagamento e di reset delle cedole ed una combinazione lineare di fattori di sconto

26 Il pay-off di una swaption… Una swaption con strike R s dà al detentore il diritto di entrare in un swap nel quale paga fisso e riceve variabile può essere vista come una sequenza di pay-off… i max[R(t n ;n,N) - R s,0] dove R(t n ;n,N) è il tasso swap che verrà osservato al tempo di esercizio t n mentre il valore attuale del pay-off sarà, A(t n ;n,N) max[R(t n ;n,N) - R s,0]

27 …e la valutazione Il valore della swaption è calcolato quindi usando Swaption = A(t;n,N) E A {max[R(t n ;n,N) - R s,0]} Notate che il sottostante dellopzione è un tasso, piuttosto che un prezzo. Se assumiamo che esso abbia distribuzione log-normale, possiamo recuperare il prezzo utilizzando ancora una volta la formula di Black Swaption = A(t;n,N) Black[S(t;n,N),K,t n, (n,N)]

28 Swaption: ricetta di valutazione La valutazione della swaption è complessa, ma la ricetta finale è simile a quella utilizzata per la valutazione di cap e floor. Possiamo utilizzare la formula di Black, avendo cura di –Considerare il tasso forward swap e la volatilità corrispondente anziché il tasso swap –Scontare il risultato così ottenuto utilizzando la somma dei fattori di sconto sullo scadenzario del swap sottostante.

29 Swaption: copertura Utilizzando la formula di Black, otteniamo Swaption = (v(t,t j ) – v(t,t N ))N(d 1 ) – i v(t,t i ) KN(d 2 ) La formula suggerisce immediatamente una strategia di replica, suggerita o copertura basata su –Una posizione lunga sulla scadenza di pagamento del primo flusso per un ammontare N(d 1 ) –Una posizione corta in corrispondenza del pagamento dellultimo flusso per un ammontare N(d 1 ) –Una posizione corta in un portafoglio di titoli sullo scadenzario per un ammontare N(d 2 )

30 Esercizio su un contratto swap Scadenzario: –Data iniziale 24/12/2001 –Prima scadenza 24/12/2002 –Seconda scadenza 24/12/2003 –Scadenza finale 24/12/2006 Periodicità cedole: trimestrale, act/360 Data primo fixing Euribor: 20/12/01 Data primo fixing Libor US $: 20/12/02

31 I flussi di pagamento La banca paga: Euribor 3 mesi, posticipato Il cliente paga: –Dalla data iniziale alla 1a scadenza: 2.85% –Dalla 1a alla 2a scadenza 4.20% se Libor US < 5.25% Libor US se Libor US 5.25% –Dalla 2a scadenza alla scadenza finale 5.20% se Libor US < 6.25% Libor US pagato in Euro se Libor US 6.25%


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