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1 Fondamenti TLC LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ed ESEMPI SEZIONE 7.

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Presentazione sul tema: "1 Fondamenti TLC LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ed ESEMPI SEZIONE 7."— Transcript della presentazione:

1 1 Fondamenti TLC LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ed ESEMPI SEZIONE 7

2 2 Fondamenti TLC LINEARITA: la TdF della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali e uguale alla combinazione lineare delle TdF dei due segnali. Proprieta della TdF (1) a 1 x 1 (t) +a 2 x 2 (t) TdF a 1 X 1 (f) +a 2 X 2 (f) SIMMETRIA: la TdF di una segnale REALE gode di simmetria complessa coniugata. La parte reale e il modulo sono simmetrici rispetto allorigine (pari), la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche rispetto allorigine (dispari). X(f) = X * (-f) Re{X(f)} = Re{X(-f)} Im{X(f)} = - Im{X(-f)} |X(f)| = |X(-f)| fase X(f) = - fase X(-f) x(t) reale TdF

3 3 Fondamenti TLC Proprieta della TdF (2) TdF x(t) reale pari X(f) reale pari x(t) reale dispari X(f) immaginario dispari TdF di una segnale REALE f A f Reale Fase A f Modulo A f Immag. Casi particolari

4 4 Fondamenti TLC Proprieta della TdF (3) Valori nellorigine: la TdF in f=0 e uguale allintegrale del segnale nei tempi. la Il segnale in t=0 e uguale allintegrale della TdF (nelle frequenze). Dualita: dato il segnale x(t) e la sua TdF X(f), e vera la seguente relazione duale: X(-t ) x(f) TdF Scalatura: TdF x(-t ) X(-f)

5 5 Fondamenti TLC x(t-t 0 ) e -j2 f t 0 X(f) TdF Proprieta della TdF (4) Traslazione nei tempi: la TdF del segnale ritardato e uguale a quella del segnale originale moltiplicata per un esponenziale complesso Traslazione nelle frequenze: traslare in frequenza la TdF del segnale, equivale a moltiplicare il segnale nei tempi per un esponenziale complesso x(t ) e j2 f 0 t X(f- f 0 ) TdF Derivazione nei tempi: la TdF del segnale derivato nel tempo e uguale a quella del segnale originale moltiplicata per una rampa immaginaria in frequenza: TdF

6 6 Fondamenti TLC X(f)H(f) TdF Proprieta della TdF (5) Moltiplicazione nelle frequenze: la TdF inversa del prodotto delle TdF di due segnali e uguale allintegrale di convoluzione dei segnali nei tempi. Lintegrale di convoluzione e un operatore utilizzato, per esempio, per descrivere come vengono modificati i segnali quando passano attraverso sistemi lineari tempo- invarianti. Moltiplicazione nei tempi: la TDF del prodotto di due segnali e uguale allintegrale di convoluzione delle due TDF (nelle frequenze). x(t )y(t) TdF

7 7 Fondamenti TLC integrata su tutto lasse delle frequenze fornisce lenergia del segnale. rappresenta lenergia del segnale in ogni intervallo di frequenze infinitesimo df. viene detta DENSITA SPETTRALE DI ENERGIA Proprieta della TdF (6) La relazione di Parseval: lenergia di un segnale e uguale allintegrale del modulo quadrato della sua TdF =

8 8 Fondamenti TLC Banda di un segnale Viene definita Banda (B) del Segnale x(t) lintervallo di frequenze (misurato sul semiasse positivo) allinterno del quale X(f) assume valori diversi da 0. Molto spesso X(f) è a rigore diversa da 0 da - a, in questo caso la Banda corrisponde allintervallo di frequenza in cui X(f) è significativamente diversa da 0. Operativamente nella definizione di banda, consideriamo due classi di segnali: f |X(f)| B Segnali di tipo passa-basso X(f) concentrata intorno a f=0 f |X(f)| Segnali di tipo passa-banda X(f) concentrata intorno a f= f 0 -f 0 B

9 9 Fondamenti TLC La trasformata di Fourier del coseno Un impulso di area unitaria in frequenza ha come TdF inversa una costante unitaria nei tempi: La trasformata di Fourier del coseno si ricava da quella della costante utilizzando le proprieta di traslazione nelle frequenze e di linearita: TdF Quindi la TdF di una costante unitaria e un impulso nelle frequenze.

10 10 Fondamenti TLC La trasformata di Fourier del seno La trasformata di Fourier del seno si ricava da quella della costante utilizzando le proprieta di traslazione nelle frequenze e di linearita: TdF

11 11 Fondamenti TLC Esempi di trasformata di Fourier (il rettangolo) AT -1/T1/Tf -T/2T/2 A t F x(t) X(f)

12 12 Fondamenti TLC Esempi di trasformata di Fourier (il triangolo) -T T A AT -1/T 1/T f F x(t) X(f)

13 13 Fondamenti TLC oo ooo o o o o o Si annulla per tutti i valori interi di t tranne nellorigine dove ha valore unitario Seno cardinale

14 14 Fondamenti TLC Esempi di trasformata di Fourier (il sinc) A -T-TT t -1/2T1/2T AT f F x(t) X(f)

15 15 Fondamenti TLC Esempi di trasformata di Fourier (la gaussiana) f t F x(t) 1 X(f)

16 16 Fondamenti TLC Risposta in frequenza del filtro reale passa-basso La risposta allimpulso e quindi un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di 1/ 2 f c La risposta allimpulso e quindi un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di 1/ 2 f c f H(f) fcfc - f c 1

17 17 Fondamenti TLC Risposta in frequenza del filtro reale passa-alto La risposta allimpulso e quindi data da un impulso di area unitaria (t) meno un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di 1/ 2 f c f H(f) fcfc - f c 1

18 18 Fondamenti TLC Risposta in frequenza del filtro reale passa-banda f H(f) 1 f o + f c f o - f c fofo - f o + f c - f o - f c - f o La risposta allimpulso e quindi data da un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di 1/ 2 f c moltiplicato per


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