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1 Fondamenti TLC SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI SEZIONE 7.

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1 1 Fondamenti TLC SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI SEZIONE 7

2 2 Fondamenti TLC Sistema: Da un punto di vista fisico e un dispositivo che modifica un segnale x(t), detto ingresso, generando il segnale y(t), detto uscita. Da un punto di vista formale il segnale dingresso x(t) viene manipolato tramite un generico operatore matematico indicato con O[.]. Il risultato delle operazioni matematiche eseguite sullingresso e il segnale duscita y(t). x(t) y(t) Sistema O[. ] Definizione di Sistema Schema a blocchi

3 3 Fondamenti TLC Lineare: quando luscita generata dalla combinazione lineare di due o piu ingressi e uguale alla combinazione lineare delle uscite generate dai singoli ingressi Tempo Invariante: quando luscita generata da un segnale ritardato e uguale alluscita generata dal segnale originale ritardata. x 1 (t)+x 2 (t) y 1 (t)+y 2 (t) Sistema Lineare O [ x 1 (t)+x 2 (t) ]= O [ x 1 (t) ]+ O [ x 2 (t) ] x(t y(t Sistema Tempo Invariante O[x(t )] Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI)

4 4 Fondamenti TLC Risposta allimpulso: e luscita del sistema quando lingresso e limpulso. Viene solitamente indicata con il simbolo h(t) Risposta allimpulso (t) h(t) Sistema O[ (t) ] Se il sistema e tempo-invariante, la forma della risposta allimpulso non dipende dallistante in cui si applica limpulso. Quando lingresso e un impulso anticipato o ritardato luscita e uguale ad h(t) anticipata o ritardata : Se il sistema e anche lineare, nota la risposta allimpulso, e possibile calcolare luscita del sistema quando lingresso e una qualsiasi combinazione lineare dimpulsi:

5 5 Fondamenti TLC t x(t) t t x(t- )d h(t) h( ) y(t) nuova y(t)= x(t- ) h( ) d = x(t)*h(t) x(t) h(t) ? y(t) t dy(t)=h( )x(t- )d

6 6 Fondamenti TLC t Rappresentazione dei segnali come combinazione lineare di impulsi Un qualsiasi segnale x(t) puo essere rappresentato come somma integrale di impulsi x(t)= x( ) (t- ) d (t- )

7 7 Fondamenti TLC Come abbiamo visto: 1 - Nota la risposta allimpulso, e possibile calcolare luscita di un sistema LTI quando lingresso e una qualsiasi combinazione lineare dimpulsi 2 - Un qualsiasi segnale x(t) puo essere rappresentato come somma integrale di impulsi Ne segue che: La convoluzione uscita = convoluzione tra ingresso e risposta allimpulso del sistema LTI dthx )( = dtxh )( = = t x)( * t h)( Integrale di convoluzione (o semplicemente convoluzione)

8 8 Fondamenti TLC I due modi di calcolare la convoluzione: a) come somma dei contributi della risposta all impulso y(t)= x(t- ) h( ) d = x(t)*h(t) b) Dalla definizione della trasformazione y(t)= x( ) h(t- ) d = x(t)*h(t) nuova Si ottengono reciprocamente scambiando t- con

9 9 Fondamenti TLC t x(t) t x(t- ) h(t) h( ) nuova 0 0 y(t)= x(t- ) h( ) d = x(t)*h(t) x( ) t h( ) h(t- ) 0 0 y(t)= x( ) h(t- ) d = x(t)*h(t)

10 10 Fondamenti TLC nuova x( ) t h(t- ) 0 0 y(t)= x( ) h(t- ) d = x(t)*h(t)

11 11 Fondamenti TLC L Integrando Calcolo dellintegrale di convoluzione e il prodotto tra il segnale x(t- ) e la risposta allimpulso h( ) ribaltata in t t t1t1 t2t2 t3t3 x(t- ) h( ) x(t- ) h( ) d = x(t)*h(t) x(t)

12 12 Fondamenti TLC Esempi di calcolo della convoluzione (1) t t y(t)= x(t- ) h( ) d = x(t)*h(t)

13 13 Fondamenti TLC t t = -1/4 t = 0 t = +1/4 t = +1/2 t = +3/4 t = +1 t = +5/4 t y(t) / Esempi di calcolo y(t)= x(t- ) h( ) d = x(t)*h(t) x(t) x(t- ) h(- )

14 14 Fondamenti TLC Esempi di calcolo della convoluzione (3) t t y(t)= x(t- ) h( ) d = x(t)*h(t)

15 15 Fondamenti TLC Integrando Esempi di calcolo della convoluzione (4) t = -1 t = -2/3 t = -1/3 t = 0 t = +1/3 t = +1 Integrale t y(t) y(t)= x(t- ) h( ) d = x(t)*h(t)

16 16 Fondamenti TLC Definizione: Un Sistema L.T.I. è detto causale se luscita y(t) per un t=t, dipende dai valori dellingresso x(t) solo per valori della variabile t t. La condizione di causalità è molto importante se la variabile indipendente è il tempo: in questo caso un sistema fisico deve essere causale. Se ciò non fosse infatti il sistema sarebbe in grado di predire il futuro. Condizione da rispettare per garantire la causalità: Causalità dei Sistemi L.T.I. (1) x(t) y(t) Sistema

17 17 Fondamenti TLC Causalità dei Sistemi L.T.I. (2) Spesso utilizzeremo risposte allimpulso del tipo: h(t) t Questa risposta allimpulso non è causale, puo essere resa causale attraverso: opportuni troncamenti (nel tempo, se h(t) si estende da - a ) e ritardi. h 1 (t) t Utilizzare h(t) invece che h 1 (t) significa trascurare i ritardi necessari a rendere causale la risposta allimpulso.

18 18 Fondamenti TLC Effetti della convoluzione (filtro passa-basso) Simbolo della convoluzione Le componenti del segnale rapidamente varianti nel tempo (ad alta frequenza) vengono eliminate dalla convoluzione con una risposta allimpulso lentamente variante nel tempo (filtro passa-basso)

19 19 Fondamenti TLC Effetti della convoluzione (filtro passa-alto) Simbolo della convoluzione Le componenti del segnale lentamente varianti nel tempo (a bassa frequenza) vengono eliminate dalla convoluzione con una risposta allimpulso rapidamente variante nel tempo (filtro passa-alto)

20 20 Fondamenti TLC Campionare i segnali t T Segnale originale x(t) Campioni del segnale x(nT) T e detto periodo (o passo) di campionamento; f c =1/T e detta frequenza di campionamento.

21 21 Fondamenti TLC Espressione del segnale campionato: x c (t)= n x(t) (t-nT 0 ) Sistema di ricostruzione T0T0 x(nT 0 ) (t-nT 0 ) t t nuova x c (t) h(t) y(t)= n h(t-nT 0 )

22 22 Fondamenti TLC + + = La ricostruzione del segnale tempo-continuo h(t)


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