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1 Fondamenti TLC Campionamento e ricostruzione di segnali SEZIONE 7.

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1 1 Fondamenti TLC Campionamento e ricostruzione di segnali SEZIONE 7

2 2 Fondamenti TLC Numerizzazione dei segnali Nei moderni sistemi di trasmissione e memorizzazione i segnali in ingresso sono di tipo numerico, normalmente rappresentati in formato binario {0,1}. In alcuni casi (si pensi ad esempio alle informazioni provenienti da una base dati di un calcolatore), i segnali da trasmettere o elaborare sono segnali numerici gia allorigine (la sorgente e una sorgente numerica). In alcuni casi la rappresentazione numerica dei segnali originari e molto semplice (alle lettere di un testo può essere facilmente associato un codice numerico ad es. binario: a 00001, b 00010, c ecc.). In molti altri casi, invece, la rappresentazione numerica dei segnali originari richiede unanalisi più accurata. Come, ad esempio, rappresentare numericamente il segnale tempo-continuo in uscita da un microfono?

3 3 Fondamenti TLC Molti dei segnali con cui abbiamo a che fare nella realtà quotidiana sono continui sia nel tempo che nelle ampiezze. t x(t) La rappresentazione di un segnale continuo con un segnale numerico richiede di discretizzare sia il tempo che le ampiezze.

4 4 Fondamenti TLC Campionamento dei segnali t T Segnale originale x(t) Campioni del segnale x(nT) T e detto periodo (o passo) di campionamento; f c =1/T e detta frequenza di campionamento.

5 5 Fondamenti TLC x(t) X(f) 1 TcTc fcfc fcfc x Tc (t)=x(t) Tc (t) X Tc (f)= X(u) Tc (f-u)du X Tc (f)= X(u) Tc (f-u)du = f c k X(u) (f-kf c -u)du = f c k X(f-kf c ) x Tc (t)=x(t) Tc (t) f c k X(f-kf c ) Tc (t)= k (t-kT c ) Tc (f)=f c k (f-kf c ) Tc (t) Tc (f) T c =1/f c Trasformata di un segnale campionato (teorema del campionamento) Trasformata di una sequenza periodica d impulsi

6 6 Fondamenti TLC X( f - kf c ) K=0K=1 K=-1 f c / 2 -f c / 2 fcfc -f c x(t) campionatore x(t) Tc (t) filtro passabasso ideale x(t) 1 TcTc Tc (t) X(f) k X(f-kf c )

7 7 Fondamenti TLC Ambiguita causata dal campionamento (esempio)

8 8 Fondamenti TLC Ambiguita causata dal campionamento Consideriamo il generico segnale x(t) e campioniamolo a passo T=1/ f c, ottenendo la sequenza di campioni x(nT). E immediato rendersi conto che si ottiene la stessa sequenza di campioni se campioniamo a passo T=1/ f c il segnale Infatti e j 2 n = 1 per qualsiasi n intero In generale, non e possibile dire quale, tra i segnali x k (t) o loro combinazioni lineari, abbia generato i campioni x(nT)

9 9 Fondamenti TLC Il teorema del campionamento Se e noto a priori che il segnale tempo continuo x(t) non contiene frequenze maggiori di f c / 2 e inferiori a -f c / 2, esiste un legame univoco tra il segnale continuo nel tempo e i suoi campioni x(nT): tra tutti i possibili segnali tempo continui x k (t), lunico che non contiene frequenze maggiori di f c / 2 e inferiori a -f c / 2 e x 0 (t). f c / 2 X(f) -f c / 2 Se un segnale x(t) e campionato con frequenza di campionamento f c almeno doppia della massima frequenza contenuta f M e perfettamente ricostruibile (repliche in frequenza disgiunte). Altrimenti, le repliche sono sovrapposte e non e piu possibile distinguere le componenti di X(f) alle frequenze f-n f c. X( f - kf c ) K=0K=1 K=-1 f c / 2 -f c / 2 fcfc -f c

10 10 Fondamenti TLC X( f - kf c ) K=0K=1 K=-1 f c / 2 -f c / 2 fcfc -f c X( f - kf c ) K=0K=1 K=-1 f c / 2 -f c / 2 fcfc -f c X( f - kf c ) K=0K=1 K=-1 f c / 2 -f c / 2 fcfc -f c f c =2f M f c >2f M f c < 2 f M

11 11 Fondamenti TLC x(t) S/H Tc (t) X(f) x(t) LPF f M < f 3dB f M f c >2f M Campionatore: S/H (sample&hold)

12 12 Fondamenti TLC La ricostruzione del segnale tempo-continuo Il segnale tempo continuo x(t) a banda limitata tra -f c / 2 e f c / 2 si ottiene sommando seni cardinali centrati ai tempi nT, con ampiezze massime uguali a x(nT) e zeri in t = mT per tutti gli m n. Infatti questa somma di segnali e a banda limitata e, se campionata, rida x(nT). + + =

13 13 Fondamenti TLC Il contenuto in frequenza di un segnale costituito da una sequenza di campioni impulsivi (1) Consideriamo ancora il segnale utilizzato nellesempio precedente … : … e tutti i segnali che producono gli stessi campioni se campionati a passo T=1 Proviamo a sommare tra loro i segnali x k (t)...

14 14 Fondamenti TLC … otteniamo

15 15 Fondamenti TLC Il contenuto in frequenza di un segnale costituito da una sequenza di campioni impulsivi (2) Al crescere di K (numero degli elementi della sommatoria), il risultato della somma e pari a Kx(nT) agli istanti di campionamento nT, mentre altrove tende a zero. Ogni elemento della sommatoria corrisponde ad una diversa replica di X(f) centrata alla frequenza kf c. Quindi la somma di infinite repliche in frequenza di X(f) corrisponde ad un segnale campionato pari a n x(nT) (t-nT). Lo spettro di un SEGNALE CAMPIONATO con impulsi a passo T (nel tempo) e pertanto PERIODICO di passo f c =1/T (in frequenza)

16 16 Fondamenti TLC Il contenuto in frequenza del segnale campionato K=0 K=1 K= -1 fcfc -f c K=2 K= -2 -2f c 2f c FdT

17 17 Fondamenti TLC La ricostruzione del segnale tempo-continuo (1) 1 - La trasformata di Fourier del segnale campionato con impulsi e quella del segnale tempo-continuo replicata a passo f c in frequenza infinite volte. 2 - Per ottenere la trasformata di Fourier del segnale tempo-continuo da quella del segnale campionato con impulsi, bisogna eliminare tutte le repliche spettrali tranne quella in k= Per eliminare tutte le repliche spettrali tranne quella in k=0 si moltiplica la trasformata di Fourier del segnale campionato con impulsi per un rettangolo con banda compresa tra -f c / 2 e +f c / 2. Si applica un FILTRO PASSA-BASSO IDEALE. K=0 K=1 K= -1 fcfc -f c K=2 K= -2 -2f c 2f c -f c / 2 +f c / 2

18 18 Fondamenti TLC La ricostruzione del segnale tempo-continuo (2) Moltiplicare in frequenza per un rettangolo con banda compresa tra -f c / 2 e +f c / 2 equivale a convolvere nel tempo il segnale campionato con impulsi con un seno cardinale che ha ampiezza unitaria in t = 0 e zeri in t = nT. + + =

19 19 Fondamenti TLC La ricostruzione del segnale tempo-continuo (3) Operativamente e inutile passare attraverso un segnale impulsivo (che peraltro e unastrazione). Basta sommare seni cardinali centrati ai tempi nT, con ampiezze massime uguali a x(nT) e zeri in t = mT per tutti gli m n. + + =

20 20 Fondamenti TLC La ricostruzione del segnale tempo-continuo (4) Se la frequenza di Nyquist f c / 2 e maggiore della massima frequenza del segnale, il filtro passa-basso di ricostruzione puo avere transizioni piu morbide. Ne segue che la sua risposta allimpulso puo non essere un seno cardinale (che peraltro ha durata infinita e non e realizzabile), ma una forma donda di durata praticamente finita. K=0 K=1 K= -1 fcfc -f c K=2 K= -2 -2f c 2f c -f c / 2 +f c / T TT TT

21 21 Fondamenti TLC La trasformata di Fourier di un segnale costituito da una sequenza di campioni x(nT) e definita in modo identico a quella di un segnale costituito da campioni impulsivi n x(nT) (t-nT). Quindi, la trasformata di Fourier della sequenza di campioni x(nT) e uguale (a parte un fattore moltiplicativo pari a f c ) a quella del segnale tempo-continuo x(t) replicata a passo f c in frequenza infinite volte. La trasformata di Fourier di un segnale campionato fcfc -f c -2f c 2f c Trasformata di Fourier della sequenza di campioni x(nT) Trasformata di Fourier del segnale x(t)


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