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1 Fondamenti TLC PROCESSI CASUALI E SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI SEZIONE 7.

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Presentazione sul tema: "1 Fondamenti TLC PROCESSI CASUALI E SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI SEZIONE 7."— Transcript della presentazione:

1 1 Fondamenti TLC PROCESSI CASUALI E SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI SEZIONE 7

2 2 Fondamenti TLC Segnali deterministici Un segnale x(t) si dice DETERMINISTICO se ad un determinato tempo t o e associato il ben preciso valore x( t o ). Tutti i segnali visti sino ad ora sono deterministici. Ad esempio i valori assunti dal segnale x(t)=cos(2 t) sono noti con certezza per ogni valore di t t … … x(t) … Landamento della maggior parte dei segnali che si incontrano in pratica (ad esempio, il tipico ronzio prodotto da un trasformatore, il segnale radio captato da unantenna, il rumore presente in ogni dispositivo elettronico …) non e rappresentabile (se non in forma approssimata) con semplici e comode funzioni matematiche come quelle viste sino ad ora. Anche questi segnali (segnale radio,telefonico,ecc.) sono deterministici perche comunque ad ogni istante di tempo ciascuno ha un ben preciso valore.

3 3 Fondamenti TLC Introduzione ai processi casuali (1) Il rumore termico Un classico e importante esempio utile a introdurre il concetto di processo casuale e rappresentato dalla debole tensione elettrica v 1 (t) esistente ai capi di un resistore. Questa tensione, variabile nel tempo, e causata dal movimento caotico degli elettroni dovuto ad una temperatura del materiale superiore allo zero assoluto. Se si misura la tensione v 1 (t) si ottiene, secondo quanto detto in precedenza, un segnale deterministico. v1(t)v1(t) t R1R1 v1(t)v1(t) C ?

4 4 Fondamenti TLC Introduzione ai processi casuali (2) Se si prende un secondo resistore identico al primo e posto alla stessa temperatura e si esegue la misura della tensione elettrica ai suoi capi, si otterra di nuovo un segnale deterministico v 2 (t), con caratteristiche simili ma diverso dal precedente dato che gli elettroni si muovono in modi diversi ed indipendenti tra loro. v1(t)v1(t) t v2(t)v2(t) t R2R2 v2(t)v2(t) R1R1 v1(t)v1(t)

5 5 Fondamenti TLC Se il nostro scopo e determinare leffetto del rumore termico del resistore su unapparecchiatura elettronica, non e di nessuna utilita conoscere deterministicamente il comportamento della tensione v 1 (t) ai capi del primo resistore se poi il resistore effettivamente montato nellapparecchiatura e il secondo. E utile invece riuscire a descrivere quelle che sono le caratteristiche della tensione di rumore comuni a tutti i resistori dello stesso tipo e a quella temperatura. In questo modo, qualsiasi sia il resistore (di quel valore e a quella temperatura) montato nellapparecchiatura, potremo dire, per esempio, con quale probabilita si presenteranno certi valori di tensione o quale sara il valore atteso della potenza di rumore. Si abbandona dunque il concetto di certezza (proprio dei segnali deterministici) per passare a quello dellincertezza, descritto dalla teoria delle probabilita, proprio dei processi casuali. Introduzione ai processi casuali (3)

6 6 Fondamenti TLC ESEMPIO Introduzione ai processi casuali (4) Un processo casuale e: linsieme di tutti i segnali deterministici (detti le realizzazioni del processo) generati da altrettante sorgenti uguali, ma indipendenti tra loro. Il processo casuale rumore termico e: linsieme di tutte le tensioni elettriche v i (t) (realizzazioni del processo) esistenti ai capi di altrettanti resistori dello stesso tipo e temperatura.

7 7 Fondamenti TLC Descrizione dei processi casuali Di un processo casuale e utile conoscere le caratteristiche comuni a tutte le realizzazioni Per descrivere il processo casuale x(t) si utilizzano soprattutto due funzioni: La densita di probabilita delle ampiezze del processo p (a) Ci dice con quale probabilita una qualsiasi realizzazione del processo casuale x(t) assume un valore uguale ad a. In generale p (a) dipende dal tempo. Tuttavia noi ci occuperemo di una classe di processi casuali detti STAZIONARI le cui caratteristiche statistiche non dipendono dal tempo t. La funzione di autocorrelazione del processo R x ( ) Ci dice quanto il valore assunto da una realizzazione del processo casuale al tempo t + e legato al valore assunto dalla stessa realizzazione al tempo t. Anche in questo caso, limitando lanalisi ai processi casuali STAZIONARI, R x ( ) non dipende dal tempo t ma solo dal ritardo tra le due misure.

8 8 Fondamenti TLC Processi casuali ergodici Tra i processi casuali stazionari esistono alcuni processi per i quali la densita di probabilita e la funzione di autocorrelazione si possono ricavare da una sola realizzazione. Questi processi sono detti ERGODICI. tempo realizzazioni Osservare tutte le realizzazioni ad un istante di tempo (o per una coppia di istanti) permette di ricavare le stesse informazioni statistiche ottenibili dallosservazione prolungata nel tempo di una singola realizzazione Un esempio di processo ERGODICO è rappresentato dal rumore termico. Singola realizzazione

9 9 Fondamenti TLC La densita di probabilita del processo casuale La densita di probabilita (d.d.p.) di un processo stazionario non ha nulla di diverso rispetto alla densita di probabilita di una variabile casuale vista in precedenza. Infatti, per un tempo assegnato t = t o, il processo casuale e una variabile casuale X= x(t o ) e come tale puo essere trattata. A partire dalla d.d.p abbiamo definito due parametri del processo casuale di grande utilita pratica: mXmX a Il valor medio m x La varianza 2 x Esempio di d.d.p. gaussiana

10 10 Fondamenti TLC Lautocorrelazione dei processi casuali stazionari (1) Consideriamo due processi casuali stazionari a valor medio nullo, ma con caratteristiche differenti. Il primo ha realizzazioni che variano lentamente nel tempo (ad es. Il rumore di un motore di unauto al minimo), mentre il secondo ha realizzazioni che variano con grande rapidita (ad es. Il fruscio di fondo di un disco rovinato)... Definizione: Lindice i della sommatoria si riferisce a diverse realizzazioni x(t) x(t+ ) x(t) x(t+ )

11 11 Fondamenti TLC x(t) x(t+ ) Alcune realizzazioni di un processo variante lentamente Lautocorrelazione dei processi casuali stazionari (2) Se x(t) evolve lentamente nel tempo rispetto al valore fissato di, x(t+ ) cambia poco rispetto a x(t): il prodotto x i (t)x i (t+ ) ha segno molto spesso positivo nelle varie realizzazioni e ai vari tempi t. Per lautocorrelazione e minore della autocorrelazione per

12 12 Fondamenti TLC x(t) x(t+ ) Lautocorrelazione dei processi casuali stazionari (3) Alcune realizzazioni di un processo variante rapidamente Se x(t) evolve rapidamente nel tempo, x(t+ ) cambia molto rispetto a x(t): il prodotto x i (t)x i (t+ ) avra segno casuale al variare della realizzazione i e lautocorrelazione assumera un valore prossimo a zero.

13 13 Fondamenti TLC Calcolo dellautocorrelazione (1) i =1i =100

14 14 Fondamenti TLC Calcolo dellautocorrelazione (2) R x ( ) Si verifica che R x ( )= R x (- )

15 15 Fondamenti TLC Interpretazione dellautocorrelazione Lautocorrelazione in =0 coincide con la potenza media del processo casuale. Se il processo casuale e ergodico ogni realizzazione ha la stessa potenza. R x ( ) e il massimo valore che puo assumere lautocorrelazione. Dato un processo casuale a valor medio nullo, si definisce coefficiente di autocorrelazione del processo, lautocorrelazione normalizzata:

16 16 Fondamenti TLC Il coefficiente di autocorrelazione Il coefficiente di correlazione del processo e una funzione i cui valori sono limitati tra -1 e +1. Ovviamente il suo valore in =0 e unitario e, salvo casi molto particolari, e lunico massimo. Il valore del coefficiente di autocorrelazione in funzione di e una misura della predicibilita di una realizzazione del processo allistante t+ noto il valore della realizzazione allistante t. Piu il valore del coefficiente di autocorrelazione in e prossimo a 1 o -1, tanto piu precisamente si puo predire il valore assunto dalla realizzazione del processo allistante t+ noto il valore della realizzazione allistante t.

17 17 Fondamenti TLC Si dimostra (teorema di Wiener Khintchine) che la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione R x ( ) e lo spettro di potenza del segnale S x (f). R x ( ) S x (f) Se il segnale x(t) e bianco la sua funzione di autocorrelazione e nulla salvo per = 0 e il suo spettro di potenza e costante fino a frequenza di Hz. In pratica conviene considerare l autocorrelazione del rumore bianco pari a: R x ( )= Lo spettro di potenza R x ( ) f S x (f) Se il segnale y(t) e colorato, la sua funzione di autocorrelazione e piu larga e il suo spettro di potenza e stretto e di conseguenza sagomato. y(t) x(t) R y ( ) f S y (f)

18 18 Fondamenti TLC Lo spettro di potenza S x (f) f e il valore quadratico medio del segnale x(t) filtrato con un filtro ideale di ampiezza unitaria e banda f centrato alla frequenza f. Si dimostra infatti che, filtrando un generico segnale x(t) con un filtro avente risposta in frequenza H(f) si ottiene in uscita il segnale y(t) con spettro di potenza Se si applica un filtro ideale di banda f centrato alla frequenza f o otteniamo: Vale ovviamente anche la relazione inversa:

19 19 Fondamenti TLC La correlazione mutua (crosscorrelazione) tra due processi casuali y(t) e x(t) e definita nel modo seguente: Correlazione tra uscita e ingresso di un sistema LTI Se i due processi casuali y(t) e x(t) sono rispettivamente luscita e lingresso di un sistema LTI la loro correlazione mutua e uguale alla convoluzione tra lautocorrelazione dellingresso e la risposta allimpulso del sistema LTI: Si nota che se il processo dingresso e bianco (autocorrelazione impulsiva), la correlazione tra uscita e ingresso coincide con la risposta allimpulso del sistema. Questa proprieta e spesso utilizzata nei sistemi di telecomunicazione per stimare la risposta impulsiva del canale di trasmissione ignoto a priori.

20 20 Fondamenti TLC Dimostrazione della relazione R yx ( )=E[y(t+ )x(t)] = E[ x(t+ -a)h(a)x(t)da] = E [x(t+ -a) x(t)] h(a) da = R x ( t -a) h(a) da=R x ( t )* h(t) nuova

21 21 Fondamenti TLC Correlazione tra uscita e ingresso di rumore bianco (permette di determinare la risposta all impulso) h(t) ? x(t) y(t) h( ) = Per alcuni processi casuali detti ergodici, si ottiene il medesimo risultato eseguendo la sommatoria sui campioni di una sola realizzazione. =

22 22 Fondamenti TLC x(t) h(t) y(t) X(f) H(f) Y(f) R x ( ) h( R yx ( ) |H(f)| 2 S x (f)S y (f) x(t)*h(t) = y(t) R x ( )*h( ) = R yx ( ) S x (f)|H(f)| 2 = S y (f) X(f)H(f) =Y(f) Segnali deterministici Segnali ergodici nuova 2 )( fj yy df(f)eSR S yx (f)= S x (f)H(f)

23 23 Fondamenti TLC Indicando per brevita con x 1 e x 2 due processi casuali x(t 1 ) e x(t 2 ), stazionari a valor medio nullo ed uguale potenza, dimostreremo che: 1 - quanto piu due variabili casuali x 1 e x 2 (a valor medio nullo) sono correlate, tanto meglio possiamo stimare il valore di una da quello dell altra. 2 - la stima sara la migliore possibile, se lerrore di stima e incorrelato con i dati. Una semplice dimostrazione del legame correlazione/predicibilita Dire che la variabile casuale x 2 e correlata con la variabile casuale x 1 equivale a dire che il valore assunto da x 2 e in parte proporzionale a quello assunto da x 1 (con fattore di proporzionalita r) piu una variabile casuale indipendente da x 1 e quindi non predicibile. In breve:

24 24 Fondamenti TLC Poiche la varianza 2 delle due variabili casuali x 1 e x 2 e la medesima, determiniamo il legame tra la varianza di n e il coefficiente r. In formule abbiamo: = 0 perche indipendenti Quindi la potenza (varianza) della variabile n e nulla se r=1 !

25 25 Fondamenti TLC Conoscendo il valore assunto da x 1, cerchiamo predire al meglio (stimare) il valore che assumera x 2 cercando il coefficiente di proporzionalita a Il valore ottimo di a si ha se la differenza (in media quadratica) tra il valore stimato e il valore effettivamente assunto da x 2 e minima. Cioe se e minimo l errore medio che e funzione della variabile a: Stima lineare di x 2 da x 1 (predire il futuro) Derivando rispetto ad a e uguagliando a zero si ottiene il valore ottimo di a Il valore ottimo di a coincide, ovviamente, con il coefficiente r, infatti: [ ] = E[x 2 2 ]+a 2 E[x 1 2 ]-2aE[x 1 x 2 ] )ax(xE)x E ] [

26 26 Fondamenti TLC Come si fa a predire il futuro? Il valore ottimo di a coincide con r che e il coefficiente di correlazione delle variabili casuali x 1 e x 2 ponendo x 2 (t)=x 1 (t+ ) Questa considerazione ci consente di definire una procedura per stimare al meglio il valore che assumera x 2 una volta noto il valore assunto da x 1 1 a fase: apprendimento - Analizzando N (numero grande) realizzazioni del processo casuale, si calcola il coefficiente di correlazione 2 a fase: predizione - Si stima x(t+ ) da x(t)

27 27 Fondamenti TLC Lerrore di stima Si nota che lerrore di stima, essendo causato solo dalla variabile casuale n, ha valore quadratico medio pari a quello di n Da questa espressione si capisce subito che: 1 - lerrore di stima e nullo se le variabili casuali sono totalmente correlate (|r|=1) 2 - lerrore di stima e massimo se le variabili casuali sono incorrelate (|r|=0) Infine, e importante notare che lerrore di stima e incorrelato con il dato (x 1 ), infatti:

28 28 Fondamenti TLC Una sequenza di campioni e detta bianca se i suoi campioni sono incorrelati tra loro e quindi se la funzione di autocorrelazione e nulla per 0. Lincorrelazione implica limpredicibilita. Una sequenza di campioni e detta colorata se i suoi campioni sono correlati tra loro e quindi se la funzione di autocorrelazione non e nulla per 0. Possiamo colorare un segnale bianco, x n filtrandolo con il filtro di risposta allimpulso h n ottenendo il segnale colorato y n. Ci riferiremo, per semplicita, a segnali campionati e indicheremo con y n, x n, h n, rispettivamente y(nT), x(nT), h(nT). Il segnale campionato y(nT) e ottenuto convolvendo x(nT) e h(nT) Il colore dei segnali

29 29 Fondamenti TLC Si consideri, ad esempio, la risposta impusiva con solo due campioni diversi da zero: I campioni del segnale duscita sono espressi da: Perche la convoluzione colora i segnali bianchi 0.5 x n … 0.5 x x x x 1 … x n-1 … 0.5 x x x x 0 … = y n … y -2 y -1 y 0 y 1 … … (x -2 +x -3 )/2 (x -1 +x -2 )/2 (x -0 +x -1 )/2 (x 1 +x 0 )/2 … Campioni consecutivi di y n contengono in parte la stessa informazione. Ad esempio i campion y 0 e y 1 contengono entrambi x 0. Lautocorrelazione di y n a distanza di un campione sara sicuramente diversa da zero.

30 30 Fondamenti TLC Calcolo dellautocorrelazione del segnale filtrato (un esempio) Consideriamo un segnale bianco e valore quadratico medio unitario: Riferendoci allesempio precedente abbiamo: 0 se 0 ]xE[x nn Lautocorrelazione dell uscita e massima in zero, diminuisce, ma non si annulla in 1 e diventa nulla da 2 in poi.

31 31 Fondamenti TLC Calcolo dellautocorrelazione del segnale filtrato (caso generale) *)( nn K k kknny hhhhyyER m mm In generale, lautocorrelazione delluscita y n di un filtro alimentato con un segnale bianco a valor medio nullo x n, ha unespressione semplice da ricordare che dipende solo dalla risposta impulsiva del filtro h n. Posto: Lautocorrelazione delluscita y n di un filtro avente all ingresso un segnale bianco ha la seguente espressione

32 32 Fondamenti TLC Dimostrazione R y (m)=E[y n y n+m ] = E[ k (x n-k h k ) p (x n+m-p h p )] con k,p =0 K R y (m)= k (E[ p (x n-k x n+m-p ]) h k h p ma E[ p (x n-k x n+m-p ] = 2 per n-k=n+m-p, cioe per p=m+k quindi R y (m)= 2 k h k h m+k = 2 n h n+m h n 2 h n *h -n *)( nn K k kknny hhhhyyER m mm

33 33 Fondamenti TLC Se si fa la trasformata di Fourier di una qualsiasi realizzazione dei segnali x n (bianco), y n (colorato), si ottiene uno spettro periodico di periodo 1/T, che cambia con la realizzazione. Tuttavia, dagli esempi che seguono si vede che lo spettro del segnale colorato y n si attenua alle frequenze vicine a 1/2T mentre invece lo spettro relativo a x n si mantiene ad un livello uniforme (spettro bianco come la luce del sole che contiene tutte le frequenze). Negli esempi che seguono si e assunto per semplicita T=1. Il segnale y n (colorato) e stato ottenuto da x n (bianco) convoluto con la risposta impulsiva h n. Lo spettro di potenza y n = x (n-k) h k K=K K= - K

34 34 Fondamenti TLC Lo spettro di potenza (esempi) Trasformata di Fourier (parte immaginaria; quella reale e simile) di alcune realizzazioni dei segnali x n (bianco) y n (colorato con h n ) In ascisse le frequenze normalizzate alla frequenza di campionamento

35 35 Fondamenti TLC Lo spettro di potenza (esempi) x n (bianco) y n (colorato con h n ) Trasformata di Fourier (parte immaginaria; quella reale e simile) di alcune realizzazioni dei segnali In ascisse le frequenze normalizzate alla frequenza di campionamento

36 36 Fondamenti TLC Lo spettro di potenza (esempi) x n (bianco) y n (colorato con h n ) Trasformata di Fourier (parte immaginaria; quella reale e simile) di alcune realizzazioni dei segnali In ascisse le frequenze normalizzate alla frequenza di campionamento

37 37 Fondamenti TLC Lo spettro di potenza (esempi) x n (bianco) y n (colorato con h n ) Trasformata di Fourier (parte immaginaria; quella reale e simile) di alcune realizzazioni dei segnali In ascisse le frequenze normalizzate alla frequenza di campionamento

38 38 Fondamenti TLC Lo spettro di potenza (esempi) x n (bianco) y n (colorato con h n ) Trasformata di Fourier (parte immaginaria) di alcune realizzazioni dei segnali In ascisse le frequenze normalizzate alla frequenza di campionamento


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