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Michael Scalora U.S. Army Research, Development, and Engineering Center Redstone Arsenal, Huntsville Alabama, 35898-5000 & Universita' di Roma "La Sapienza"

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1 Michael Scalora U.S. Army Research, Development, and Engineering Center Redstone Arsenal, Huntsville Alabama, & Universita' di Roma "La Sapienza" Dipartimento di Energetica OPTICS BY THE NUMBERS LOttica Attraverso i Numeri Rome, April-May 2004

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4 Athens

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7 1984: Montclair State College, Montclair NJ 1988: Master of Science, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy NY 1990: PhD in Physics, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy NY 1991: Huntsville Montclair * * Troy

8 Scopo di questi seminari: Introdurre e poi elaborare il concetto di integrazione numerica di equazioni differenziali per studiare la propagazione e linterazione della luce (di solito si intende un laser) con la materia. Ecco alcuni esempi (i) Loscillatore armonico (ottica, meccanica classica e quantistica...) (ii) Diffrazione ed interferenza (iii) Processi nonlineari: generazione di seconda e terza armonica, e in tutto questo il ruolo delloscillatore armonico. (iv) Propagazione di impulsi ultracorti (dal pico- al femto-secondo) (v) Guide donda (vi) Strutture a banda photonica (i semiconduttori per la luce) (vii) Sistemi Laser

9 (1)Oscillatore Armonico Smorzato: Latomo di Lorentz Soluzioni esatte ed approssimate (2) Slowly Varying Envelope Approximation (SVEA)

10 LAtomo di Lorentz Oscillatore Armonico Smorzato E x e-e- Nucleo: ~2000 volte la massa elettronica; i.e., massa infinita In seguito al passaggio dellonda, lelettrone assorbe energia ed oscilla rispetto ad un punto di equilibrio. Loscillazione, e quindi laccelerazione e decelerazione della carica, causa la riemissione dellenergia assorbita durante il passaggio dellonda. Il Modello Classico della materia

11 x Restoring Force Damping Damped Harmonic Oscillator Lenergia istantanea delloscillatore e data dalla somma di energia cinetica ed energia potenziale: …da cui…

12 Si puo dimostrare che in genere: = una sorta di Equipartion Theorem Raccogliendo i risultati…

13 Lenergia delloscillatore decade ad una rate…

14 Un atomo isolato nello spazio tende ad emettere spontaneamente in ~ secondi. Ciclo ottico

15 Nella maggior parte dei casi, lemissione spontanea avviene in tempi molto piu lunghi del ciclo ottico, … …e di 0 …

16 Si suppone una soluzione del tipo: La soluzione sara oscillatoria se:

17 La Soluzione esatta:

18

19 Inviluppo (lento) Oscillazione (veloce) La Soluzione … A

20 x(t)

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22 Una delle piu importanti approssimazioni e la S lowly V arying E nvelope A pproximation, SVEA: Un impulso o segnale puo generalmente essere scomposto in un inviluppo che varia lentamente nel tempo rispetto a 0, e un termine che oscilla sulla scala veloce determinata da 0.

23 …supponiamo una soluzione del tipo… …ed imponiamo la SVEA, cioe che p(t) sia una funzione che varia lentamente rispetto a Ritorniamo allequazione iniziale… …e invece di supporre…

24 …e si applica la SVEA… Matematicamente questo significa… sostituiamo…

25 Nel limite…

26 La SVEA in genere riduce equazioni di secondo grado ad equazioni di primo grado, che richiedono una sola condizione iniziale, e quindi la soluzione e immediata.

27 Sommario (1) Latomo di Lorentz: Soluzioni esatte ed approssimate (2) Slowly Varying Envelope Approximation (SVEA) (3) Da sottolineare e il fatto che mentre esistono metodi e approssimazioni (e.g. SVEA) che permettono di ottenere soluzioni accurate al problema fisico, non sempre purtroppo e cosi.

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