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U Ottimizzazione su Reti - Network Optimization u Testi : u Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Ahuja, Magnanti, Orlin u Linear Programming.

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Presentazione sul tema: "U Ottimizzazione su Reti - Network Optimization u Testi : u Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Ahuja, Magnanti, Orlin u Linear Programming."— Transcript della presentazione:

1 u Ottimizzazione su Reti - Network Optimization u Testi : u Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Ahuja, Magnanti, Orlin u Linear Programming and Network Flows, Bazaraa, Jarvis, Sherali grafi e reti

2 u Koenigsberg Bridge Problem u Introduzione alle Reti ed agli algoritmi di rete u Flusso su Reti e applicazioni grafi e reti

3 I ponti di Koenigsberg: Euler 1736 u Teoria dei Grafi 1736 u Leonard Eüler Visitò Koenigsberg La gente si chiedeva se fosse possibile effettuare un percorso con inizio e fine coincidenti attraversando ciascun ponte esattamente una volta Si diceva che fosse impossibile

4 I ponti di Koenigsberg: Euler 1736 A D C B E' possibile partire da A, attraversare ciascun ponte esattamente una volta, e tornare in A?

5 I ponti di Koenigsberg: Euler 1736 A D C B Modellazione (Concettualizzazione): I posti a terra sono nodi.

6 I ponti di Koenigsberg: Euler Modellazione : i ponti sono archi. A C D B

7 I ponti di Koenigsberg: Euler esiste un cammino che parte da A e termina in A e attraversa ciascun arco esattamente una volta? A C D B

8 Definizioni Nodi N = {1, 2, 3, 4} Rete G = (N, A) Archi A = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (2,4)} a b c d e Grafo (o Rete) non orientato a b c d e Grafo (o Rete) orientato in un grafo non orientato (i,j) = (j,i)

9 camm. orientato esempio: 1, 2, 5, 3,4 (oppure 1, a, 2, c, 5, d, 3, e, 4) nessun nodo è ripetuto. la direzione è rispettata. Ciclo (loop) 1, 2, 3, 1. (oppure 1, a, 2, b, 3, e) un cammino con 2 o più nodi, il primo coincide con l'ultimo. Cammino: esempio: 5, 2, 3, 4. (oppure 5, c, 2, b, 3, e, 4) nessun nodo è ripetuto. la direzione è ignorata. ciclo orientato: 1, 2, 3, 4, 1 oppure 1, a, 2, b, 3, c, 4, d, 1 ciclo in cui la direzione è rispettata ab c 1 5 d e a b c d 1 e ab c 1 5 d e a b c d 1 e

10 circuiti a b c d e 5 cammini in cui nodi e archi possono essere ripetuti esempio di circuito orientato: un circuito è chiuso se il primo e ultimo nodo coincidono.

11 alberi Albero: Grafo connesso privo di cicli Foglie: 1,2,3 Foglia: nodo con un solo arco incidente Albero ricoprente di un grafo G(N,A): N nodi N-1 archi a b c d e 5 f g

12 I ponti di Koenigsberg: Euler A C D B esiste un cammino che parte da A e termina in A e attraversa ciascun arco esattamente una volta? ciclo euleriano provate

13 aggiungiamo 2 ponti A, 1, B, 5, D, 6, B, 4, C, 8, A, 3, C, 7, D, 9, B, 2, A A C D B 8 9 ecco il cammino. Nota: il numero di archi incidenti in B è il doppio del numero di volte che B compare nel cammino.

14 cicli Euleriani A C D B 8 9 Il grado di un nodo in un grafo non orientato è uguale al numero di archi incidenti Teorema. un grafo non orientato possiede un ciclo euleriano se e solo se (1) ogni nodo ha grado pari (2) il grafo è connesso (esiste un cammino tra ogni coppia di nodi).

15 Cicli Hamiltoniani u un ciclo hamiltoniano è un ciclo che tocca ciascun nodo esattamente una volta u noto come traveling salesman tour.

16 il gioco di Hamilton Nel 1857 il matematico irlandese, Sir William Rowan Hamilton, inventò un gioco con la speranza di guadagnarci molto l'obiettivo del gioco era più o meno quello di trovare un circuito hamiltoniano. il gioco non ebbe successo commerciale ma la matematica dei cicli hamiltoniani è oggi molto conosciuta

17 il gioco di Hamilton viene risolto come problema del commesso viaggiatore start

18 Applicazioni u Trasporti Trasporto di beni su reti Scheduling di flotte di aerei: reti spazio/tempo u Produzione Scheduling di beni per la produzione Flusso di prodotti in sistemi inventariati u Comunicazioni Progetto e sviluppo di sistemi di comunicazione Flusso di informazioni su una rete u Assegnazione del personale Assegnazione di equipaggi allo scheduling di flotte Assegnazione di autisti a veicoli


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