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Studio di un problema di sequenziamento ottimale (scheduling) Corso di Ricerca Operativa- A.A. 2000/2001 Relatori: Depau Pierpaolo Piu Francesco Sulis.

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1 Studio di un problema di sequenziamento ottimale (scheduling) Corso di Ricerca Operativa- A.A. 2000/2001 Relatori: Depau Pierpaolo Piu Francesco Sulis Alessandro Docente: Prof.Paola Zuddas

2 In cosa consiste il problema di scheduling ? Riguarda lottimizzazione dei tempi di produzione in modo tale da minimizzarne i costi Permette di sequenziare opportunamente la lavorazione dei pezzi, programmare le operazioni di manutenzione e i set-up macchina, sfruttando al meglio le fasi di attesa

3 Scopo del lavoro Minimizzazione del tempo totale di completamento di m ordini su n macchine, dove: Tale tempo è funzione soltanto dei tempi di lavorazione richiesti da ciascun ordine su ogni macchina Lo scheduling deve essere eseguito nel rispetto delle date di consegna stabilite I tempi di lavorazione sono considerati comprensivi dei tempi di di set-up macchina tra due lavorazioni successive e di smontaggio e montaggio del pezzo

4 Analisi del problema Obiettivo: minimizzazione del tempo totale T di esecuzione di tutte le lavorazioni, nel rispetto dei seguenti vincoli: Rispetto di tempi e date di consegna Impedire la lavorazione simultanea di due ordini sulla stessa macchina Sequenzialità delle lavorazioni sulle macchine Non negatività dei tempi di lavorazione

5 Modello Matematico T tempo di completamento di tutte le lavorazioni d j data di consegna dellordine j s jk tempo di lavorazione dellordine j sulla macchina k t jk istante di avvio della lavorazione del prodotto j sulla macchina k M somma totale dei tempi di consegna y ijk variabile binaria introdotta per rispettare la sequenza di lavorazione

6 Modello Matematico (cont.) ( 1) tjm+sjm T (2) tjm+sjm dj (3) tik+sjk tik+M(1-yijk) (4) tik+sjk tik+Myijk (5) tjk+sjk tj, k+1 (6) tjk 0, T 0, yijk = {0,1} Definisce la funzione obiettivo Garantisce il rispetto delle date di consegna Impediscono la lavorazione simultanea di due ordini sulla stessa macchina Esecuzione delle lavorazioni nellordine previsto Vincoli di non negatività Min T

7 Modello Matematico:complessità Il numero delle equazioni di vincolo è proporzionale al numero delle macchine utilizzate e degli ordini da eseguire: se questi sono in numero elevato il problema si complica notevolmente. Vediamo il numero di equazioni per tipo di vincolo, in funzione di m ed n: (1) e (2): pari al numero n di ordini (3) e (4): Per ogni macchina m abbiamo (n-1)+(n-2)+…….1 equazioni (5): Sono pari ad n(m-1) (6): nm per le tik,1 per T, e dello stesso numero di (4) e (5) per le yijk Totale: n+n+3m[(n-1)+(n-2)+…..1]+n(m-1)+nm+1 equazioni!

8 Applicazione Numerica Consideriamo un sistema produttivo semplice composto da due macchine, che deve soddisfare due ordini, con i seguenti dati: Tempi di lavorazione dei prodotti 1 e 2 : s 11 =2h s 12 =10h s 21 =5h s 22 =7h Scadenze di consegna dei due ordini : d1=24h d2=13h

9 Applicazione numerica (cont.) Il modello è stato implementato facendo uso del programma Lindo, ha in tutto 18 equazioni di vincolo, e loutput fornito è il seguente: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST Y Y T T T T T

10 Applicazione numerica (cont.) Dallanalisi dei risultati otteniamo la seguente sequenza ottimale di lavorazione: 1) Ordine 2 sulla macchina 2 allistante t=0; 2) Ordine 2 sulla macchina 2 e ordine 1 sulla macchina 1 allistante t=5; 3) Ordine 1 sulla macchina 2 in t=12. Tempo di lavorazione ottimale: T=22h NB: Al termine della prima lavorazione, lordine 1 deve restare in attesa, in quanto la macchina 2 in quellistante è ancora impegnata con la lavorazione del secondo ordine.Una rappresentazione grafica di tale concetto è fornita dal diagramma di Gantt.

11 Applicazione Numerica (cont.) Diagramma di Gantt

12 Applicazione Numerica 2 Consideriamo ora come secondo esempio unestensione del caso precedente, con m=4 macchine e n=5 ordini: s 11 =4 s 12 =6 s 13 =1 s 14 =5 s 21 =3 s 22 =4 s 23 =2 s 24 =7 s 31 =2 s 32 =5 s 33 =4 s 34 =4 s 41 =1 s 42 =5 s 43 =1 s 44 =2 s 51 =2 s 52 =4 s 53 =6 s 54 =7 d 1 =26 d 2 =28 d 3 =54 d 4 =42 d 5 =36 M= =186 Il modello in questo caso è molto più complesso del precedente, con ben 166 vincoli Lindo ha fornito la soluzione ottima dopo ben iterazioni

13 Applicazione Numerica 2 (cont.) Come output del problema abbiamo stavolta : OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T NB: Lottimo risulta T=36, che coincide col termine di consegna più elevato (d5)

14 Applicazione Numerica 2 (cont.) Diagramma di Gantt

15 Applicazione Numerica 2 (cont.) Dallanalisi del diagramma precedente possiamo fare alcune importanti considerazioni: 1) Abbiamo ampi intervalli di attesa tra lesecuzione degli ordini nelle varie macchine 2) Il tempo totale dipende dal fatto che gli ordini con termini di consegna più bassi devono necessariamente essere eseguiti per primi 3) La sequenzialità è un fattore che influisce negativamente sulla minimizzazione, in quanto aumenta il tempo totale di esecuzione delle lavorazioni

16 Scheduling Modificato Consideriamo dunque una variante del modello precedente, ottenuta eliminando i vincoli di tipo 5 (cioè la sequenzialità delle lavorazioni) sostituendoli con dei vincoli di non simultaneità di esecuzione dello stesso pezzo da parte di 2 diverse macchine contemporaneamente.A questo scopo introduciamo delle nuove variabili binarie x ikr : (1)t jk +s jk T; (2)t jk +s jk d j ; (3)t ik +s jk t ik +M(1-y ijk ) (4)t ik +s jk t ik +My ijk (5)t ik +s ir t ir +M(1-x ikr ) (6)t ir +s ir t ik +Mx ikr (7)t jk 0, T 0, y ijk ={0,1}, x ikr ={0,1}

17 Scheduling Modificato: complessità La complessità del problema aumenta considerevolmente, perhè al posto degli n(m-1) vincoli di tipo (5) ne abbiamo messo 2n[ (m-1)+(m-2)+…..1 ] di tipo 3 e 4: infatti questi ultimi, in quanto vincoli di non simultaneità, sono più >, come numero di equazioni, rispetto a quelli di sequenzialità. Utilizzando i dati dellapplicazione 2, il modello presenta complessivamente ben 250 equazioni di vincolo Per tale motivo Lindo si è > di operare e non è stato possibile determinare lottimo di questo problema

18 Applicazione 3 Per verificare la correttezza del modello modificato lo abbiamo applicato sui dati del primo problema considerato (Applicazione 1): s 11 =2h s 12 =10h s 21 =5h s 22 =7h d1=24h d2=13h Le equazioni di vincolo in questo caso risultano 25, contro le 18 dell Applicazione 1; le iterazioni sono 66, mentre nel caso precedente erano solo 14 Tuttavia il valore della funzione obiettivo, comera da aspettarsi, è notevolmente migliorato, perché da 22 si è ridotto a 15

19 Applicazione 3 (cont.) Diagramma di Gantt:confronto con lApplicazione 1 NB:nel diagramma di destra non sono presenti tempi morti nella lavorazione del pezzo 2

20 Conclusioni Dagli esempi visti si può notare come la complessità del problema di scheduling cresca notevolmente al crescere del numero di macchine e di ordini considerato A causa di questo fatto non sempre il software Lindo è stato in grado di fornire la soluzione ottima Il modello modificato è risultato più complesso ma ha permesso di ridurre di molto il tempo totale, a parità di numero di macchine e ordini


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