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Nessun esperimento permette di distinguere due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme: Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che.

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Presentazione sul tema: "Nessun esperimento permette di distinguere due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme: Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che."— Transcript della presentazione:

1 Nessun esperimento permette di distinguere due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme: Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti [...] e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza [...] e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazi passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose [...] fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma (Galileo, Dialogo, giornata seconda) La relatività della Meccanica Classica – Galileo

2 Trasformazioni di Galileo S : sistema fisso S' : sistema in moto x y z y'y' x'x' z'z' x'x' v Il sistema di riferimento S' si muove con velocità v lungo la direzione x, rispetto al sistema fisso S S ed S' coincidono al tempo t=0 (x, y, z) e (x', y', z') sono le coordinate dello stesso punto misurate, rispettivamente, in S e S' Le trasformazioni di Galileo esprimono la relazione tra le coordinate di un punto misurate in S ed S. Corrispondono alla nostra usuale percezione della realtà S ed S sono sistemi di riferimento inerziali La prima relatività: le trasformazioni di Galileo

3 x y z y'y' x'x' z'z' v u', a' u', a' = velocità, accelerazione misurate in S' u, a = velocità, accelerazione misurate in S Secondo le trasformazioni di Galileo: u' = u – v a' = a Tutte le equazioni della Meccanica Classica sono invarianti per trasformazioni di Galileo. Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali Le equazioni di Maxwell non sono invarianti per trasformazioni di Galileo: la velocità della luce c è una costante universale La velocità della luce è indipendente dalla velocità della sorgente o del rivelatore

4 Le misure sperimentali della velocità della luce si sono sempre più raffinate, a partire dal diciassettesimo secolo. Gli esperimenti più recenti indicano una velocità di Le incertezze in questo valore sono principalmente legate a quelle della definizione operativa dellunità di lunghezza, il metro. Di conseguenza, si è adottato questo valore come valore standard, ridefinendo la lunghezza del metro in modo da essere consistente con il valore di c La velocità della luce in un mezzo è legata alle proprietà elettriche e magnetiche del mezzo. La velocità della luce nel vuoto può essere espressa come Velocità della luce

5 Equazioni di Maxwell Sorgenti dei campi c = velocità della luce, costante universale J = densità di carica = densità di corrente Le equazioni di Maxwell rappresentano uno dei modi più eleganti e concisi per formulare le leggi fondamentali dellelettricità e del magnetismo. A partire da esse si possono sviluppare tutte le relazioni effettive tra campi e sorgenti

6 trasformazione inversa Le trasformazioni di Lorentz Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz S : sistema fisso S' : sistema in moto x y z y'y' x'x' z'z' x'x' v notazioni usuali

7 P(x, y, z) in S'P(x, y, z) in S Le trasformazioni di Lorentz sono tali che: è la stessa (velocità della luce) 2 nei 2 sistemi Due eventi (x 1, t 1 ) e (x 2, t 2 ) che avvengono allo stesso tempo t 1 = t 2 in S non avvengono allo stesso tempo in S', t' 1 t' 2 S : sistema fisso S' : sistema in moto x y z y'y' x'x' z'z' x'x' v (invariante di Lorentz)

8 La contrazione delle lunghezze S : sistema fisso S' : sistema in moto x y z y'y' x'x' z'z' x'1x'1 v x'2x'2 La lunghezza di un qualunque oggetto in un sistema in moto apparirà contratta lungo la direzione del moto. Leffetto della contrazione può essere calcolato a partire dalle trasformazioni di Lorentz. La lunghezza di un oggetto è massima nel sistema in cui esso è a riposo. è la lunghezza della sbarretta misurata in S', dove è a riposo è la lunghezza della sbarretta misurata da un osservatore in S (la misura di x 1 e x 2 va fatta contemporaneamente, t 1 =t 2 ) contrazione delle lunghezze

9 Un orologio in un sistema in moto sarà in ritardo, ed il suo tempo apparirà "dilatato, come si ottiene dalle trasformazioni di Lorentz. Gli intervalli di tempo sono minimi se misurati nei sistemi di riposo. Il tempo misurato nel sistema in cui lorologio è a riposo si chiama tempo proprio". Dilatazione dei tempi S : sistema fisso S' : sistema in moto x y z y'y' x'x' z'z' v è lintervallo di tempo misurato in S', dove lorologio è a riposo è lintervallo di tempo misurato in S (la misura di t' 1 e t' 2 va fatta nello stesso punto, x' 1 =x' 2 ) dilatazione dei tempi

10 Muon Experiment – Non relativistic

11 Muon Experiment – Muon observer

12 Muon Experiment – Earth observer Gli osservatori solidali con il muone e con la Terra sono daccordo sul numero di muoni che giungono a terra

13 La storia è che uno di due gemelli lascia la Terra per un viaggio su una navicella spaziale che viaggia a velocità prossima a quella della luce, mentre laltro rimane a casa. A causa della dilatazione dei tempi, il tempo scorre più lentamente sulla navicella, vista dalla Terra. Quindi il gemello di ritorno sulla Terra dovrebbe essere più giovane (il suo orologio dovrebbe essere più indietro) rispetto a quello rimasto a casa. La domanda sorge spontanea: è vero? Davvero un gemello sarebbe più giovane? Non vale la stessa cosa per il gemello sulla Terra, osservato da quello in viaggio? La questione fondamentale circa la dilatazione dei tempi è confermata in modo inequivocabile dallesperimento dei muoni. La chiara implicazione è che il gemello in viaggio dovrebbe davvero essere più giovane. Tuttavia lo scenario è complicato dal fatto che il gemello sulla navicella deve subire una accelerazione, una inversione della direzione del moto, ed una decelerazione per tornare a Terra. Ciò permette di distinguere tra I due gemelli (ed abolire il paradosso), ma per sistemi accelerati non basta applicare le regole della relatività speciale, e bisogna ricorrere a quelle della relatività generale. Il paradosso dei gemelli Nonostante le difficoltà tecniche, un esperimento a bordo di un areo commerciale conferma lesistenza di una differenza di tempo tra gli orologi di osservatori a Terra e quelli in moto rispetto ad essi.

14 La regola della trasformazione delle velocità della relatività ristretta fornisce la relazione tra la velocità di un oggetto osservata in un sistema di riferimento inerziale (S, u) e la velocità dello stesso oggetto osservata in un sistema in moto con velocità v rispetto ad esso (S',u'). Se A vede B muoversi alla velocità v, allora la velocità misurata da B (u') viene vista da A come: se v = u' = 0.9 c, si ottiene u = 1.8 c/1.81 < c se v o u' = c, allora anche u =c Trasformazione delle velocità con la trasformazione inversa nel limite v/c0 si ottengono le usuali relazioni

15 Prendendo i differenziali delle trasformazioni di Lorentz per x' e t' si ottiene: trasformazione inversa S : sistema fisso S' : sistema in moto con velocità v rispetto ad S x y z y'y' x'x' z'z' u sia la velocità della particella misurata in S cerchiamo la velocità misurata in S'

16 La relatività speciale conduce ad un aumento della massa effettiva di una particella con la velocità v, data dallespressione (massa relativistica) La dinamica relativistica e la massa Laumento della massa effettiva relativistica rende la velocità della luce c la velocità limite dellUniverso. Quando v c la massa effettiva diviene infinita, e non si può più accelerare la particella. Tale aumento della massa è evidente negli acceleratori di particelle, nei quali la velocità è prossima a c. Tuttavia la formula mostra che, per aumentare la massa anche solo dell1%, bisogna raggiungere una velocità pari al 14% di c, cioè 42 milioni di m/s. Le stesse trasformazioni di Lorentz perdono significato (presentano delle singolarità) quando v c

17 La formulazione della dinamica in Relatività Speciale conduce alla famosa relazione energia-massa E = mc 2 include sia lenergia cinetica che lenergia di riposo (E = m 0 c 2 ) di una particella. Lenergia cinetica T di una particella può essere calcolata da Limpulso relativistico di una particella è dato da Massa, energia e impulso Si noti che, per piccole velocità

18 Relazione relativistica tra energia ed impulso La famosa relazione di Einstein per lenergia può essere unita allespressione relativistica dellimpulso per ottenere unespressione alternativa per lenergia da cui Si noti che m 0 è la massa di riposo, e che m è la massa relativistica

19 La massa può essere convertita in energia secondo la relazione di Einstein: dove c = velocità della luce. La quantità che si ottiene dalla conversione di un kilogrammo è Il consumo medio di energia di un cittadino USA per 1 anno è circa quindi la conversione di 1 kg di massa in energia coprirebbe il fabbisogno di circa cittadini USA per 1 anno, oppure il fabbisogno di una città di 1 milione di abitanti per oltre 2 mesi Lenergia alla Einstein

20 Alcune unità di misura nucleari Le masse nucleari sono misurate in unità di masse atomiche; la massa del nucleo di carbonio-12 è definita esattamente come 12 unità di massa atomica. Per massa si intende, se non vi sono altre indicazioni, la massa di riposo. La conversione in unità atomiche è data da: Una conveniente unità di energia, particolarmente utile per processi atomici e nucleari, è lenergia acquistata da un elettrone accelerato da una differenza di potenziale di 1 Volt. Il lavoro compiuto dalla forza elettrica, si trasforma in energia cinetica dellelettrone,

21 I nuclei sono fatti di protoni e neutroni, ma la massa del nucleo è sempre minore della somma delle singole masse dei protoni e neutroni che lo formano. La differenza è una misura dellenergia di legame, che tiene il nucleo unito. Questa energia di legame può essere calcolata a partire dalla relazione di Einstein: Energia di legame nucleare = (Δm)c 2 Per le particelle alpha Δm= u, che dà unenergia di legame di 28.3 MeV. Lenormità dellenergia di legame nucleare può essere meglio apprezzata se la si confronta con lenergia di legame di un elettrone in un atomo. Le energie di legame nucleare sono dellordine di un milione di volte più grandi delle eenergie di legame degli elettroni negli atomi. Lenergia di legame nucleare

22 Energia prodotta nella Fissione e nella Fusione 1 unit = consumo medio di energia di un cittadino USA per 1 anno

23 La fusione deuterio-trizio e la fissione uranio-235 sono confrontati in termini di energia liberata. Sia lenergia per singolo evento e per kg di combustibile sono raffrontate. Sono quindi espresse in termini del consumo medio annuale pro-capite di energia negli USA: 5 x Joules. I valori sopra riportati rappresentano la produzione totale di energia, non quella usufruibile dai consumatori. Energia prodotta nella Fissione e nella Fusione

24 La fissione e la fusione possono produrre energia La curva della energia di legame è ottenuta dividendo lenergia totale di legame nucleare per il numero di nucleoni. Il fatto che ci sia un massimo nellandamento della curva in funzione della massa atomica (in corrispondenza del ferro), significa che sia la frammentazione di nuclei pesanti (fissione) o la combinazione di nuclei leggeri (fusione) produrrà nuclei più fortemente legati (meno massa per nucleone).

25 Questo è il processo di fusione che avviene nel Sole ed in altre stelle che hanno una temperatura interna minore di 15 milioni di gradi Kelvin. Un intero ciclo di reazioni produce circa 25 MeV di energia Fusione protone-protone

26 Nota che entrambe le reazioni che producono deuterio producono anche un neutrino. La misura dellenergia emesa dal Sole ed il confronto con questo modello ci permettono di predire il numero di neutrini che dovrebbero colpire la Terra. Il fatto che i primi esperimenti rivelarono solo circa un terzo di quel numero originò il cosiddetto "solar neutrino problem" Reazioni nucleari nella catena p-p Questo è il processo di fusione che avviene nel Sole ed in altre stelle che hanno una temperatura interna minore di 15 millioni di gradi Kelvin. Un intero ciclo di reazioni produce circa 25 MeV di energia. Questa descrizione della catena di reazioni fa parte del cosiddetto standard solar model

27 Sebbene una grande energia sia richiesta per superare la barriera coulombiana ed iniziare la fusione dellidrogeno, il rilascio di energia sarebbe così alto da incoraggiare la continuazione delle ricerche in tale campo. La fusione dellidrogeno sulla Terra potrebbe far uso delle seguenti reazioni: Queste reazioni sono più promettenti della fusione protone-protone che avviene nelle stelle, come possibile fonte di energia. Tra queste la fusione deuterio-trizio sembra la più favorevole ed è stata oggetto di molti esperimenti. In un reattore deuterio-deuterio, unaltra favorevole reazione potrebbe avvenire, creando un ciclo del deuterio: Fusione dellidrogeno

28 Per ogni particella conosciuta esiste la sua antiparticella; se si incontrano, esse si annichilano, con la produzione di due raggi gamma. Lenergia quantistica dei due raggi gamma è uguale alla somma delle energie delle particelle (energia totale, cioè energia di riposo e cinetica). E anche possibile che un fotone perda la sua energia quantistica nellinterazione con la materia, per formare una coppia particella-antiparticella. La massa di riposo di un elettrone è MeV/c 2, quindi la soglia in energia per la produzione di una coppia electtone-positrone è 1.02 MeV. Per i raggi X e gamma di energie ben superiori a 1 MeV, questa produzione di coppie diventa uno dei principali canali di interazione con la materia. Ad energie ancora più alte, molti tipi di particella- antiparticella possono essere prodotti. La produzione di coppie

29 Un fotone si muove con la velocità della luce in ogni sistema di riferimento; non può mai essere a riposo e la sua massa di riposo è zero, m 0 = 0. Per un fotone lespressione relativistica dellimpulso si riduce a zero su zero, quindi non può essere usata direttamente per determinare limpulso di una particella di massa nulla. Tuttavia, si può usare la relazione: Ponendo a zero la massa di riposo ed applicando la relazione di Planck si ottiene lespressione dellimpulso per un fotone: = frequenza = speed Il fotone

30 La misura di una velocità assoluta non è possibile (esperimento di Michelson-Morley) La velocità della luce è indipendente dalla velocità della sorgente e dellosservatore (aberrazione della luce stellare, etc.) c è una costante universale Le leggi della Fisica sono invarianti per Trasformazioni di Lorentz Le trasformazioni di Galileo ed il concetto di tempo universale debbono essere abbandonate Schema concettuale della Relatività Speciale

31 La contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi (decadimento dei muoni nellatmosfera) La conservazione dellimpulso conduce alla massa relativistica (acceleratori di particelle) Equivalenza massa-energia (energia di legame dei nuclei, fusione, fissione, …) La velocità della luce diventa la velocità limite nellUniverso (legge di composizione relativistica delle velocità)

32 Nella trattazione matematica della Relatività le coordinate spazio-tempo ed energia- impulso sono spesso espresse in forma di quadri-vettori. Essi sono definiti in modo tale che la lunghezza di un quadri-vettore è invariante per trasformazioni di coordinate (trasformazioni di Lorentz). Questa invarianza è associata con (e riflette) le leggi della Fisica. Linvarianza del quadri-vettore spazio-tempo è associata con la costanza della velocità della luce. Linvarianza del quadri-vettore enegia-impulso è associata con il fatto che la massa di riposo di una particella è invariante per trasformazione di coordinate. Lo Spazio-Tempo ed i quadri-vettori in Relatività quadri-vettore spazio-tempo spazio-tempo della Relatività Speciale = spazio di Minkowski quadri-vettore energia impulso è Lorentz invariante

33 Il prodotto scalare di 2 quadri-vettori spazio-tempo è definito come: e il prodotto scalare di 2 quadri-vettori energia-impulso come Si noti che questa definizione di prodotto scalare differisce dal prodotto scalare ordinario (di vettori euclidei) a causa del segno meno. Queso segno meno è necessario per la proprietà di invarianza della lunghezza dei quadri-vettori. (prodotto scalare euclideo) con

34 La lunghezza al quadrato del quadri-vettore spazio-tempo è data da: La lunghezza di un quadri-vettore è invariante, cioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Questa invarianza è associata con la costanza della velocità della luce. Questa espressione può essere vista come lequazione di un sfera, associata alla luce che si propaga in tutte le direzioni a partire dallorigine, con velocità c. Il raggio della sfera ad un tempo t, vale ct. La lunghezza di questo quadri-vettore è lenergia di riposo della particella, moltiplicata per la velocità della luce. Linvarianza è associata al fatto che la massa di riposo e la velocità della luce sono le stesse in tutti I sistemi di riferimento inerziali. La lunghezza al quadrato del quadri-vettore energia-impulso è data da:

35 Il Cono Luce è il quadrato della distanza percorsa dalla luce nel tempo t Se tralasciamo una delle variabili spaziali, ad esempio la z, otteniamo lequazione di un cono: Il Cono Luce indica lo spazio nel quale sono confinati gli eventi fisici (le Linee-Universo). Solo le particelle di massa nulla (come il fotone) possono viaggiare lungo il cono. Quelle di velocità minore sono confinate allinterno del cono. ct x y past future Solo per gli eventi allinterno del Cono Luce la sequenza temporale è fissata (cioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento)

36 Principio di equivalenza Gli esperimenti compiuti in un sistema di riferimento uniformemente accelerato con accelerazione a non sono distinguibili dagli stessi esperimenti compiuti in un sistema di riferimento non accelerato, il quale sia situato in un campo gravitazionale con accelerazione di gravità g = – a. Un altro modo di affermare questo principio fondamentale della Relatività Generale è quello di dire che la massa gravitazionale e quella inerziale coincidono. Relatività generale – Il principio di equivalenza La relatività generale nasce da due esigenze teoriche: 1) Estendere il principio di relatività agli osservatori non inerziali. 2) Descrivere la gravità.

37 a g = – a Nella scatola la massa sente unaccelerazione g = – a Un raggio di luce che si sposti dal punto A sulla parete destra, raggiungerà la parete sinistra in un un punto B situato più in basso, poiché la scatola accelera verso lalto durante il tempo che la luce impiega per andare da A a B. Questa deflessione è quasi inavvertibile sulla Terra, a causa della grande velocità della luce. m A B Nessun esperimento può distinguere localmente tra un campo gravitazionale ed un sistema di riferimento accelerato La luce deve essere deflessa dalla forza di gravità Anche la luce pesa Sistema di riferimento accelerato

38 Effetti gravitazionali sulla luce I calcoli di Einstein basati sulla sua teoria della relatività generale indicarono che I raggi della luce di una stella radente il Sole dovrebbero essere deflessi di un angolo di 1.75 secondi di arco. Ciò fu misurato durante leclisse di sole totale del 1919 e durante quasi tutte quelle successive.

39 Lespressione relativistica dellenergia attribuisce una massa ad ogni particella dotata di energia Lenergia potenziale gravitazionale è quindi Quando il fotone sfugge al campo gravitazionale avrà una frequenza diversa: Poiché la frequenza risulta ridotta, questo effetto è chiamato gravitational red shift, oppure Einstein red shift. La gravità ed il fotone

40 Se lenergia potenziale gravitazionale del fotone è esattamente uguale allenergia quantistica del fotone, cioè allora il fotone è red-shifted a frequenza nulla. Si noti che questa condizione è indipendente dalla frequenza, e per ogni massa gravitazionale M fornisce un raggio critico, il raggio di Schwarzchild (in realtà, il raggio di Schwarzchild differisce da questo risultato per un fattore 2). Lenergia di fuga per il fotone R S = 9 Km per M = 3 masse solari R S = 3 Km per il Sole R S = 9 mm per la Terra

41 Il tempo di un orologio in un campo gravitazionale scorre più lentamente, secondo la legge della dilatazione gravitazione dei tempi della relatività generale ( si noti che questo effetto è diverso dalla dilatazione dei tempi della Relatività Speciale, legata al moto relativo) Dove T è il tempo misurato da un orologio molto lontano dal campo gravitazionale (R molto grande). Per un orologio sulla superficie della Terra, questa espressione diventa Questa dilatazione è circa di 1 parte su 10 9 : La dilatazione dei tempi gravitazionale R=h in questa espressione dà la differenza di tempo tra due orologi posti ad altezze che differiscono di h dilatazione gravitazionale del tempo sulla superficie terrestre

42 a box = sistema accelerato A B R Gli orologi A e B emettono, ad esempio, 10 segnali al secondo. Ma il ricevitore R si muove verso lalto, e raccoglie più segnali, ad esempio 11. Quindi conclude che lorologio A ha emesso 11 segnali mentre lorologio B ne ha emessi 10: lorologio B è più lento, in ritardo. La differenza negli intervalli di tempo è dovuta al rapporto tra la velocità raggiunta da R durante la trasmissione del segnale (v = g t = gh/c) e la velocità della luce. h = altezza del box in accordo con il risultato precedente Principio di equivalenza: ciò che accade in un sistema accelerato deve accadere in un campo gravitazionale

43 Principio di equivalenza della massa gravitazionale ed inerziale (deflessione della luce delle stelle da parte del Sole) Dilatazione dei tempi per effetti gravitazionali (red shift gravitazionale) Schema concettuale della Relatività Generale La dilatazione dei tempi per effetti gravitazionali è stata osservata sperimentalmente. Lapplicazione più nota di tale effetto riguarda luso del navigatore satellitare per determinare la posizione di punti sulla Terra, mediante la misura della distanza tra il punto e satelliti. Tale distanza è misurata attraverso misure precise di tempi e la sincronizzazione degli orologi sulla Terra e sui satelliti è cruciale.

44 Gli effetti di relatività speciale e generale sugli orologi sono vericati dal GPS. La correzione è di circa 40 microsecondi/giorno. Senza questa correzione la posizione di un oggetto sulla Terra sarebbe determinata con un errore di 10 km (la precisione del GPS è di 10 metri). Il navigatore satellitare


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